Báo cáo Giải pháp Giúp học sinh Lớp 9 làm tốt các dạng toán liên quan đến căn bậc hai

 CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
 Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
Tên giải pháp: 
 GIÚP HỌC SINH LỚP 9 LÀM TỐT CÁC DẠNG TỐN LIÊN 
 QUAN ĐẾN CĂN BẬC HAI
( Đề nghị cơng nhận danh hiệu chiến sĩ thi đua cấp cơ sở - năm học 2016 - 2017)
1. Họ và tên giáo viên: Phan Thị Kim Chung
2. Chức vụ: giáo viên
3. Đơn vị cơng tác: Trường THCS Liên Hà 
4. Lí do chọn đề tài:
 “Căn bậc hai” là một phạm trù kiến thức khá phức tạp, tương đối trừu tượng và 
là kiến thức mới đối với đại trà học sinh lớp 9. Khi gặp một bài tốn “cĩ chứa căn bậc 
hai” khơng ít học sinh lúng túng khơng biết phải bắt đầu từ đâu và đặc biệt khơng biết 
xoay xở ra sao. Điều đĩ cũng dễ hiểu vì tuy đã được học phần lý thuyết cơ bản song số 
bài tập trong Sách giáo khoa để củng cố, để khắc sâu, để bao quát hết các dạng thì lại 
khơng nhiều, chưa cĩ sức thuyết phục để lơi kéo sự hăng say học tập của học sinh. 
 Qua các bài kiểm tra 15 phút và các bài kiểm tra 45 phút trong chương I- Đại số 
9 ở các năm học 2014 – 2015 tơi cĩ được bảng thống kê sau:
 Bài kiểm tra Tổng Điểm 8 -10 Trên TB Dưới TB Điểm 0 - 3
 số HS TS % TS % TS % TS %
 15 phút 75 5 7% 40 53% 35 47% 12 13%
 45 phút 75 3 4% 42 56% 33 44% 16 16%
 Trong bài kiểm tra này tơi nhận thấy số học sinh khơng nhớ được các cơng thức 
biến đổi căn thức chiếm 45%, học sinh mắc sai lầm trong khi trình bày lời giải là 32%. 
Ngồi ra qua quá trình giảng dạy thực tế trên lớp, tơi đã phát hiện ra rằng cịn rất nhiều 
học sinh thực hành kỹ năng giải tốn cịn kém trong đĩ cĩ rất nhiều học sinh chưa thực 
sự hiểu về căn bậc hai; trong khi thực hiện các phép tốn về căn bậc hai rất hay cĩ sự 
nhầm lẫn, hiểu sai đề bài, thực hiện sai mục đích Việc giúp học sinh nắm vững các 
 1 - Cách thức trình bày kiến thức, rèn luyện kỹ năng được SGK chú ý để HS cĩ 
thể tham gia chủ động nhiều hơn thơng qua hệ thống câu hỏi ? cĩ ngay trong phần bài 
học mỗi bài.
5.2 Phạm vi áp dụng giải pháp:
 Trong sáng kiến này tơi chỉ nêu ra một số giải pháp giúp học sinh khắc sâu kiến 
thức về căn bậc hai, chú trọng hình thành một số kỹ cần thiết trong chương I – Đại Số 
9; một số sai lầm mà học sinh hay mắc phải trong quá trình làm bài tập về căn bậc hai 
Phân tích sai lầm trong một số bài tốn cụ thể để học sinh thấy được những lập luận 
sai hoặc thiếu chặt chẽ dẫn tới bài giải khơng chính xác. Từ đĩ định hướng cho học 
sinh phương pháp giải bài tốn về căn bậc hai và một số dạng tốn giúp học sinh hình 
thành kĩ năng giải căn bậc hai. Như vậy giải pháp này ứng dụng trong các tiết lí thuyết 
và tiết luyện tập trong khi giảng dạy chương I – Đại Số 9
5.3 Thời gian thực hiện:
Từ năm học 2015 – 2016, tơi tiến hành thực hiện các giải pháp đã nêu ra và tiếp tục 
thực hiện đến các năm học tiếp theo.
5.4 Giải pháp thực hiện:
5.4.1 Tính mới của giải pháp:
 Qua nhiều năm giảng dạy bộ mơn tốn và nhiều lần tham khảo ý kiến của các 
đồng nghiệp nhiều kinh nghiệm, tơi nhận thấy: trong quá trình hướng dẫn học sinh giải 
tốn Đại số về căn bậc hai thì học sinh rất lúng túng khi vận dụng các khái niệm, định 
lý, bất đẳng thức, các cơng thức tốn học. Sự vận dụng lí thuyết vào việc giải các bài 
tập cụ thể của học sinh chưa linh hoạt. Khi gặp một bài tốn địi hỏi phải vận dụng và 
cĩ sự tư duy thì học sinh khơng xác định được phương hướng để giải bài tốn dẫn đến 
lời giải sai hoặc khơng làm được bài. Một vấn đề cần chú ý nữa là kỹ năng giải tốn và 
tính tốn cơ bản của một số học sinh cịn rất yếu. Do đĩ tơi mạnh dạn đưa ra những 
giải pháp và thực hiện đầu tiên ở lớp 9 Trường THCS Liên Hà. Tính mới của nĩ thể 
hiện qua các mục đích sau:
 - Giúp học sinh ( kể cả học sinh yếu) nắm bắt nội dung lý thuyết sách giáo khoa 
 một cách vững chắc bao gồm các khái niệm, các định lí và các cơng thức vận 
 dụng 
 3 được căn bậc hai thì nên đưa đưa chung vào một dấu căn tức là đưa về dạng AB . 
Tương tự như vậy đối với liên hệ giữa phép chia và phép khai phương.
 A 1
 + Khử mẫu ở biểu thức lấy căn: . AB ( Với A.B > 0)
 B B
Trong phép biến đổi này, khi học sinh vận dụng vào các bài tốn thì các em lúng túng 
vì biểu thức ở vế trái của đẳng thức trên giống với liên hệ giữa phép chia và phép khai 
phương nên dẫn đến học sinh vận dụng sai. Do đĩ giáo viên cần nhấn mạnh cho học 
sinh là: Khi A,B là các số ( biểu thức) tính được căn bậc hai thì ta vận dụng quy tắc 
 A A
 cịn khi 1 trong 2 số A,B khơng tính được căn bậc hai thì ta dùng quy tắc 
 B B
khử mẫu. Cho học sinh nhận dạng phép biến đổi được dùng trong 2 trường hợp sau : 
 9
 dùng liên hệ giữa phép chia và phép khai phương vì 9; 121 là các số tính được 
 121
 9 9 3 5
căn bậc hai, do đĩ . Và thì dùng phép khử mẫu vì 5; 7 khơng 
 121 121 11 7
 5 5.7 1
tính được căn bậc hai, đo đĩ . 35 . Từ đĩ khi gặp các bài tốn cĩ dạng 
 7 72 7
này thì học sinh nhanh chĩng nhận dạng phép biến đổi thích hợp trong từng trường 
hợp.
 + Trục căn thức ở mẫu trong trường hợp mẫu là biểu thức tổng ( hiệu). Sách giáo 
khoa cung cấp các cơng thức sau:
 C C( A  B) 2
 (với A, B, C là biểu thức mà A≥ 0 và A ≠ B )
 A B A B 2
 C C( A  B)
 ( với A, B, C là biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B)
 A B A B
 Tuy nhiên trong thực tế khi tính tốn cĩ những bài tập cần sự linh hoạt nên khi 
dạy giáo viên cần phải lưu ý thêm là khi gặp các biểu thức cĩ chứa căn thức ở mẫu mà 
chúng ta cần trục căn thức ở mẫu, các em cĩ 2 hướng để suy nghĩ: một là nếu biểu 
thức ở trên tử khơng phân tích được thì ta vận dụng đúng cơng thức trên, cịn nếu tử 
phân tích được thì nên phân tích tử để kiểm tra tử và mẫu cĩ nhân tử chung khơng, nếu 
 5 Ngồi hai kỹ năng nêu ở trên ta cịn thấy cĩ những kỹ năng được hình thành và 
củng cố trong phần này như :
 - Giải tốn so sánh số 
 - Giải tốn tìm x
 - Lập luận để chứng tỏ số nào đĩ là căn bậc hai số học của một số đã cho
 - Một số lập luận trong giải tốn so sánh số (củng cố tính chất bất đẳng thức nêu 
ở tốn 8)
 - Một số kỹ năng giải tốn tìm x ( kể cả việc giải phương trình tích)
 - Kỹ năng sử dụng máy tính bỏ túi. 
 Cĩ thể nĩi rằng, hình thành và rèn luyện kỹ năng chiếm thời gian chủ yếu của 
phần kiến thức này (ngay cả việc hình thành kiến thức cũng chú ý đến các kỹ năng 
tương ứng và nhiều khi, chẳng hạn như giới thiệu phép biến đổi, chỉ thơng qua hình 
thành kỹ năng).
Giải pháp 3: Phát hiện và phân tích một số sai lầm cơ bản của học sinh hay gặp 
trong chương để học sinh tránh lặp lại những sai lầm này.
a) Sai lầm trong sử dụng tên gọi (thuật ngữ) Tốn học :
Định nghĩa về căn bậc hai :
 *Ở lớp 7 đưa ra nhận xét 32 = 9; (-3)2 = 9. Ta nĩi 3 và -3 là các căn bậc hai của 9.
- Định nghĩa : Căn bậc hai của một số a khơng âm là số x sao cho x2 = a.
- Số dương a cĩ đúng hai căn bậc hai, một số dương ký hiệu là a và một số âm ký 
hiệu là - a .
 * Ở lớp 9 chỉ nhắc lại ở lớp 7 rồi đưa ra định nghĩa căn bậc hai số học.
 Định nghĩa căn bậc hai số học :
 Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a.
 x 0
 a
 Sau đĩ đưa ra chú ý : x= 2
 x a
 7 Ví dụ 1 : Tìm x, biết : 4(1 x) 2 - 6 = 0
* Lời giải sai : 4(1 x) 2 - 6 = 0 2 (1 x) 2 6 2(1-x) = 6 1- x = 3 x = - 2.
* Phân tích sai lầm : Học sinh cĩ thể chưa nắm vững được chú ý sau : Một cách tổng 
quát, với A là một biểu thức ta cĩ A2 = | A|, cĩ nghĩa là :
 A2 = A nếu A ≥ 0 ( tức là A lấy giá trị khơng âm );
 A2 = -A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ).
Như thế theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm.
* Lời giải đúng : 
 4(1 x) 2 - 6 = 0 2 (1 x) 2 6 | 1- x | = 3. Ta phải đi giải hai phương trình sau : 
1) 1- x = 3 x = -2
2) 1- x = -3 x = 4. Vậy ta tìm được hai giá trị của x là x1= -2 và x2= 4.
Ví dụ 2 : Tìm x sao cho B cĩ giá trị là 16.
B = 16x 16 - 9x 9 + 4x 4 + x 1 với x ≥ -1
* Lời giải sai :
B = 4 x 1 -3 x 1 + 2 x 1 + x 1
B = 4 x 1
16 = 4 x 1 4 = x 1 42 = ( x 1 )2 hay 16 = (x 1) 2
 16 = | x+ 1|
Nên ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 16 = x + 1 x = 15
 2) 16 = -(x+1) x = - 17.
* Phân tích sai lầm : Với cách giải trên ta được hai giá trị của x là x 1= 15 và x2=-17 
nhưng chỉ cĩ giá trị x1 = 15 là thoả mãn, cịn giá trị x2= -17 khơng đúng. Đâu là 
nguyên nhân của sự sai lầm đĩ ? Chính là sự áp dụng quá rập khuơn vào cơng thức mà 
khơng để ý đến điều kiện đã cho của bài tốn, với x ≥ -1 thì các biểu thức trong căn 
luơn tồn tại nên khơng cần đưa ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.!
 9 giải vì khơng cĩ căn cứ lập luận, vì vậy biểu thức trên cĩ thể khơng tồn tại thì làm sao 
cĩ thể cĩ kết quả được.
* Lời giải đúng : Biểu thức đĩ là một phân thức, để phân thức tồn tại thì cần phải cĩ x 
 x 2 3 (x 3)(x 3)
+ 3 ≠ 0 hay x ≠ - 3 . Khi đĩ ta cĩ: = = x - 3 (với x ≠ - 3 ).
 x 3 x 3
Ví dụ 3 : Cho biểu thức : 
 x x 3 x
Q = với x ≠ 1, x > 0
 1 x 1 x x 1
a) Rút gọn Q b) Tìm x để Q > -1.
 Giải : 
 x x 3 x x(1 x) x(1 x) 3 x
a) Q = = - 
 1 x 1 x x 1 (1 x)(1 x) 1 x
 x x x x 3 x 2 x 3 x 2 x (3 x)
 = = = 
 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
 3 x 3 3 3
 = = = - 
 1 x 1 x 1 x
 3
b) * Lời giải sai : Q > -1 nên ta cĩ - > -1 3 > 1+ x 2 > x 4 > x 
 1 x
hay x < 4. Vậy với x < 4 thì Q < -1.
 * Phân tích sai lầm : Học sinh đã bỏ dấu âm ở cả hai vế của bất đẳng thức vì thế cĩ 
được bất đẳng thức mới với hai vế đều dương nên kết quả của bài tốn dẫn đến sai.
 * Lời giải đúng : 
 3 3
Q > -1 nên ta cĩ - > -1 3 x > 2 x > 4.
 1 x 1 x
Vậy với x > 4 thì Q > - 1.
Giải pháp 4: Lồng ghép một số dạng tốn ngồi SGK để phát triển tư duy cho học 
sinh khá giỏi trong các tiết Luyện tập và phơ tơ thêm bài tập giao về nhà cho học 
sinh.
 11 Bài 1: Tính
a.3a3 . 12a với a>0 b.19,6. 810 c.
 25 16 196
 . . d. 6 2 5 6 2 5
 81 49 36
Bài 2: Rút gọn:
 2 2 15 3
a. 75 48 300 b. c. c.
 3 1 3 1 5 1
 5 a 4b 25a3 5a 16ab2 2 9a (với a > 0,b > 0)
6. Dạng 6: Giải phương trình 
 a.3x 5 5 b.2x 3 2 8x 12 18x 27 4 
 c. x2 6x 9 5 d. 8 x 3 5 x 3 5
 2 2 2
 e. 2x 4x 3 3x 6x 7 2 2x x
7. Dạng 7: Chứng minh đẳng thức.
 3 1
 a. 2 3 b. (1- 2 3)(1 2 3) 2 2
 3 1
 (2 a)2 ( a 1)2 a b b a 1
 c. 1 d. : a b
 2 a 3 ab a b
 e. Chứng minh rằng: n 1,n N thì 
 1 1 1 1 1
 .... 2
 2 3 2 4 3 5 4 n 1 n
Dạng 8.Tính giá trị của các biểu thức sau: 
 2 2 2
a.C b. D (3 3)( 2 3) (3 3 1)
 5 2 5 2
 13