Báo cáo Giải pháp Ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán

 1/17
 A- ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
 Ngày nay, với sự phát triển như vũ bão của khoa học kĩ thuật và sự phát triển 
mạnh mẽ của đất nước, đòi hỏi ngành giáo dục phải thay đổi tầm nhìn và phương 
thức hoạt động là yêu cầu tất yếu, vì sản phẩm của giáo dục là con người. Nó 
quyết định vận mệnh tương lai của một đất nước, điều này thể hiện rõ trong chính 
sách: “Coi giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu cùng với khoa học công 
nghệ là yếu tố quyết định góp phần phát triển khoa học và xã hội”. Do đó cần phải 
đổi mới căn bản, toàn diện nền giáo dục và đào tạo của Việt Nam theo hướng 
chuẩn hóa, hiện đại hóa, xã hội hóa, dân chủ hóa và hội nhập quốc tế. 
 Toán học ra đời gắn liền với con người, với lịch sử phát triển và cuộc sống 
xã hội loài người nói chung, con người nói riêng. Nó có lí luận thực tiễn lớn lao 
và quan trọng như đồng chí: Phạm Văn Đồng đã nói: “Toán học là môn thể thao 
của trí tuệ nó giúp chúng ta rèn luyện tính thông minh và sáng tạo”. 
 Như chúng ta đã biết, hệ thức Vi-ét là một trong những kiến thức trọng tâm 
trong chương trình lớp 9. Đây là một trong những chuyên đề ôn thi trọng tâm 
vào lớp 10 - THPT. Nhìn hệ thức thì rất đơn giản nhưng để áp dụng được hệ 
thức Vi-ét vào giả các loại toán thì quả là một vấn đề không đơn giản. Nó cần 
đòi hỏi sự chuyên cần, nhanh nhạy của học sinh. Nó cần sự giúp đỡ hay sự 
hướng dẫn của giáo viên. Người giáo viên cần phân thành từng dạng toán cụ thể 
và đưa ra cách làm để hướng dẫn các em.
 Qua thực tế giảng dạy môn toán 9 cũng như ôn thi vào 10 cho học sinh lớp 
9, đồng thời qua quá trình kiểm tra đánh giá sự tiếp thu của học sinh và sự vận 
dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán. Tôi nhận thấy học sinh vận dụng các 
kiến thức toán học trong phần này còn nhiều hạn chế và thiếu sót. Đặc biệt là 
các em rất lúng túng khi vận dụng hệ thức Vi-ét, biến đổi bài toán như thế nào 
để có thể áp dụng được hệ thức Vi-ét. Trên cơ sở nghiên cứu đó tôi đã phân chia 
thành nhiều dạng toán, cùng áp dụng hệ thức Vi-ét vào để biến đổi, tôi rút ra một 
vài kinh nghiệm nhỏ để giúp các em có được phương pháp để áp dụng vào giải 
toán trong năm học 2020 – 2021 và đồng thời chia sẻ cùng đồng nghiệp một số 
kinh nghiệm khi thực hiện đề tài này. 
 Xuất phát từ lý do trên và sự tâm huyết với nghề, tình yêu thương các em 
học sinh, niềm đam mê dành cho bộ môn toán tôi không ngừng trau dồi kiến 
thức, học hỏi kinh nghiệm, nâng cao tay nghề trong việc soạn giảng bằng những 
kinh nghiệm riêng của bản thân và đây cũng là lý do để tôi chọn đề tài này. 3/17
 PHẦN II – NỘI DUNG
A. CỞ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN:
 Hệ thức Vi-ét là một trong những kiến thức trọng tâm của học sinh lớp 9. 
Mặc dù số lượng tiết học dành cho phần kiến thức này là không nhiều, xong tính 
ứng dụng của nó để giải các dạng bài tập thì quả là không nhỏ. Nhìn thì rất đơn 
giản nhưng để áp dụng nó vào bài tập thì đòi hỏi học sinh phải có lượng kiến 
thức sâu, rộng, không những thế, nó đòi hỏi học sinh phải linh hoạt để biến đổi 
đưa được bài toán về dạng để có thể áp dụng được hệ thức Vi-ét.
 Khi ứng dụng được hệ thức Vi-ét, học sinh có thể tìm ngay được nghiệm 
của phương trình bậc hai trong những trường hợp đặc biệt mà không cần sử 
dụng tới công thức nghiệm. Bởi vậy, học sinh có thể tiết kiệm thời gian khi làm 
bài, tránh được những sai sót không đáng có.
 Hơn nữa, nó lại là một trong những nội dung kiến thức cơ bản trong kì thi 
tuyển vào cấp 3. Bởi vậy người giáo viên cần xây dựng hệ thống bài tập, phân 
dạng bài tập, đồng thời khái quát cách giải để đáp ứng được cho nhu cầu của học 
sinh. Tránh cho các em tâm lý sợ khi gặp dạng toán này, giúp các em thật tự tin 
trong thi cử .
B. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ.
 1/ Tình trạng thực tế khi chưa thực hiện:
 Trước khi thực hiện đề tài, tôi nhận thấy các em học sinh đã nắm được nội 
dung của hệ thức Vi-ét, xong ứng dụng của nó vào giải toán thì rất còn lúng 
túng, vì các em chưa biết cách biến đổi các hệ thức để có thể áp dụng được hệ 
thức vi-ét. Phần nhiều các em chưa được làm quen với các dạng toán , chưa biết 
làm cách nào để có thể áp dụng được hệ thức Vi-ét. Học sinh chỉ biết giải các 
bài toán một số bài toán đơn giản, khi gặp các bài toán phức tạp thì các em chưa 
biết cách định hướng.
2/ Số liệu điều tra trước khi thực hiện:
 Khi chưa đưa đề tài này vào áp dụng thì qua kiểm tra cho thấy học sinh 
nắm được nội dung hệ thức Vi-ét là 90%. Nhưng số lượng học sinh chưa biết 
cách biến đổi các hệ thức để đưa về dạng có thể áp dụng Vi-ét là 70%. Số lượng 
học sinh không biết phân dạng bài toán để đưa ra định hướng cách giải là 80%. 
 Thông qua kết quả trên tôi thấy rằng cần phải khuấy động phong trào học 
toán, khơi dậy lòng ham học của các em để các em đạt được kết quả cao hơn. 
Vì vậy tôi đã áp dụng đề tài này vào lớp 9c trường THCS Tản Hồng mà tôi đang 
trực tiếp giảng dạy. 5/17
 11
 b) Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm x 1 và x 
 1 2 3
 c) x2 ( 3 5)x 15 0 (3) có : a.c 15 0 , phương trình có hai nghiệm 
phân biệt. Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 
 b
 S x1 x2 
 a x1 x2 3 5 3 5
 c
 P x x x1x2 15 3. 5
 1 2 a
 x 3 ; x 5
 Vậy phương trình có hai nghiệm là : 1 2
 x1 5 ; x2 3
1.2/ Phương trình bậc hai chứa tham số cho trước một nghiệm, tìm giá trị của 
tham số và tìm nghiệm còn lại.
 Cách giải:
 - Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm 
 - Thay giá trị nghiệm đã cho vào phương trình, tìm được giá trị của tham số, 
đối chiếu với điều kiện
 - Tìm nghiệm còn lại bằng một trong hai cách sau:
 + Thay giá trị tìm được của tham số vào phương trình và giải phương trình
 + Thay giá trị tìm được của tham số và giá trị nghiệm đã cho vào tổng hai 
nghiệm hoặc tích hai nghiệm để tìm nghiệm còn lại
 BÀI TẬP ÁP DỤNG
Cho phương trình: x2 - 2(m - 3)x - 1 = 0 (1). 
Xác định m để (1) có nghiệm x = -2, tìm nghiệm còn lại.
Giải:
 PT : x2 - 2( m - 3 )x - 1 = 0 có: a = 1; b = - 2(m - 3); c = -1; b’ = - (m - 3)
 2 2 2
 ' (b') ac m 3 1 m 3 1 0,m
Phương trình luôn có nghiệm.
 x1 x2 2(m 3)
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 
 x1.x2 1
 9
Thay x 2 vào phương trình (1) ta được : 4 4(m 3) 1 0 m (TM )
 1 4
 1 1 1
 Từ x1x2 1 suy ra x2 
 x1 2 2
 9 1
Vậy với m thì phương trình có một nghiệm là x = -2, nghiệm còn lại là x 
 4 2 7/17
3. ỨNG DỤNG 3: TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ 
MÃN HỆ THỨC CHỨA HAI NGHIỆM ĐÃ CHO
* Cách giải
 - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2
 (a 0 và 0), áp dụng hệ thức Vi-ét tìm được ( x1 x2 ) và x1x2 theo tham số.
 - Từ hệ thức chứa nghiệm đã cho, biến đổi hệ thức để xuất hiện ( x1 x2 ) và 
 x1x2 , kết hợp với hệ thức Vi-ét để giải phương trình có ẩn là tham số.
 - Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
 * Chú ý: 
Đối với các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là học sinh phải biết cách 
biến đổi hệ thức chứa hai nghiệm đã cho về hệ thức có chứa tổng hai nghiệm S 
và tích hai nghiệm P để áp dụng được hệ thức Vi-ét 
 Một số phép biến đổi để xuất hiện ( x1 x2 ) và x1x2
 2 2 2 2 2
 1) x1 x2 (x1 2x1x2 x2 ) 2x1x2 (x1 x2 ) 2x1x2
 2) x3 x3 x x x2 x x x2 x x x x 2 3x x 
 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 
 2 2
 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
 3) x1 x2 (x1 ) (x2 ) x1 x2 2x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 2x1 x2
 1 1 x x
 4) 1 2
 x1 x2 x1x2
 5) x1 x2 ?
 2 2
 x1 x2 x1 x2 4x1x2
 2
 x1 x2 x1 x2 4x1x2
 2 2
 6. x1 x2 x1 x2 x1 x2 =.
 7. x3 x3 = x x x2 x x x2 x x x x 2 x x =. 
 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 
 4 4 2 2 2 2
 8. x1 x2 = x1 x2 x1 x2 = 
 6 6 2 3 2 3 2 2 4 2 2 4
 9. x1 x2 = (x1 ) (x2 ) x1 x2 x1 x1 x2 x2 =
 BÀI TẬP ÁP DỤNG
Cho phương trình: mx2 6 m 1 x 9 m 3 0 (1)
Tìm giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ 
thức: x1 x2 x1.x2
Giải: 
Phương trình: mx2 6 m 1 x 9 m 3 0 (1) có hệ số:
 a m;b 6(m 1);b, 3(m 1);c 9.(m 3) 9/17
5. ỨNG DỤNG 5: TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
 Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của 
phương trình: x2 Sx P 0 (Điều kiện để có hai số đó là S2 4P 0)
 BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = -3 và tích P = ab = -4
 Giải
Vì a + b = -3 và ab = - 4 nên a, b là nghiệm của phương trình: x2 3x 4 0
Giải phương trình trên ta được x1 1 và x2 4
Vậy: Nếu a = 1 thì b = - 4. Nếu a = - 4 thì b = 1
Bài 2: Tìm 2 số a và b biết: a + b = 9 và a2 + b2 = 41
 Giải
 Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b, vậy để áp dụng hệ thức Vi-ét thì cần 
tìm tích của a và b.
 a b 9 a b 9
 2 2 2
 a b 41 (a b) 2ab 41
Từ a b 9
 a b 9 a b 9
 2
 2 (a b) 41 
 2ab (a b) 41 ab ab 20
 2
 2 x1 4
Suy ra: a, b là nghiệm của phương trình có dạng: x 9x 20 0 
 x2 5
 Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5. Nếu a = 5 thì b = 4
6. ỨNG DỤNG 6: XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH 
BẬC HAI
Cho phương trình: ax2 bx c 0 (a 0). Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 
nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm .
Ta dựa vào bảng xét dấu sau để tìm điều kiện của bài toán. 
 Dấu nghiệm x1 x2 S x1 x2 P x1x2 Điều kiện chung
 trái dấu  P < 0 0 0; P < 0
 cùng dấu P > 0 0 0; P > 0
 cùng dương + + S > 0 P > 0 0 0; P > 0; S > 0
 cùng âm S 0 0 0; P > 0; S < 0
 BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Xác định tham số m sao cho phương trình:
 2x2 3m 1 x m2 m 6 0 có 2 nghiệm trái dấu. 11/17
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng âm thì :
 a 0 1 0 (TM )
 2 1
 0 4m 1 0,m 2m 1 0 m 
 2 m 0
 S 0 2(2m 1) 0 m 0
 m 0
 P 0 4m 0
Vậy m 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng âm.
7. ỨNG DỤNG 7: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 
CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM
 Cách giải:
 Muốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức C, ta áp dụng tính chất 
về bất đẳng thức: Trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được:
 A2 m
 C (trong đó A, B là các biểu thức, m, k là hằng số) (*)
 2
 k B
+ Nếu C m (vì A 0) min C m A 0
+ Nếu C k (vì B 0) max C k B 0
 2
Bài 1: Cho phương trình: x 2m 1 x m 0 . Gọi x1 và x2 là các nghiệm của 
 2 2
phương trình. Tìm m để: A x1 x2 6x1x2 có giá trị nhỏ nhất.
 Giải:
 Phương trình: x2 2m 1 x m 0 , có a = 1, b = 2m – 1, c = -m
 , 2m 1 2 4m 4m2 4m 1 4m 4m2 1 0, m
 x1 x2 (2m 1)
 Theo Vi-ét ta có:: 
 x1x2 m
Theo đề bài: 
 2 2 2 2 2 2
 A x1 x2 6x1x2 x1 x2 8x1x2 [ 2m 1 ] 8m 4m 4m 1 (2m 1) 0
 1 1
Suy ra: min A 0 2m 1 0 m . Vậy m thì min A 0
 2 2
 2
Bài 2: Cho phương trình:x mx m 1 0 . Gọi x1 và x2 là các nghiệm của 
phương trình. 
 2x1x2 3
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B 2 2
 x1 x2 2 x1x2 1 
 Giải:
 Phương trình x2 mx m 1 0 có a = 1, b = -m, c = m-1
 , m 2 4(m 1) m2 4m 4 (m 2)2 0, m
 x1 x2 m
Theo hệ thức Vi-ét thì: 
 x1x2 m 1