Báo cáo Sáng kiến Hướng dẫn học sinh vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải một số dạng toán

 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
 Qua một số năm giảng dạy môn Toán 9 bản thân tôi thấy việc vận dụng hệ 
thức Vi et vào giải toán các em làm chưa linh hoạt, chưa biết khai thác và sử dụng 
hệ thức Vi et vào giải nhiều loại bài toán trong khi đó hệ thức Vi et có ứng dụng rất 
rộng rãi trong việc giải toán. Đặc biệt trong những năm gần đây các đề thi vào 
THPT áp dụng hệ thức Vi et để giải chiếm 1 đến 2 điểm trong đề thi.Vậy tại sao ta 
không ôn luyện cho học sinh những dạng toán, những bài tập có vận dụng của hệ 
thức Vi et để giải? Bản thân tôi luôn suy nghĩ trong điều kiện kinh tế gia đình của 
nhiều em học sinh còn nhiều khó khăn nên sự quan tâm và tạo điều kiện cho con 
em mình học tập còn nhiều hạn chế.Vì vậy phần nhiều học sinh còn thiếu tài liệu 
học tập và sách nâng cao để học. Do đó việc ôn tập, hướng dẫn cho học sinh vận 
dụng hệ thức Vi et vào giải toán là rất cần thiết đối với các em bởi các dạng toán 
liên quan đến hệ thức Vi et rất đa dạng phong phú, thời lượng học theo chương 
trình lại rất ít chỉ có 01 tiết lý thuyết và 01 tiết luyện tập trên lớp. Do đó nếu không 
được hướng dẫn thì học sinh sẽ không khỏi lúng túng khi gặp một số dạng toán lạ 
hoặc một bài toán khó.Vì vậy sự định hướng trước cho học sinh khi gặp các bài 
toán liên quan đến hệ thức Vi et là một việc làm thiết thực. Từ thực tế nêu trên để 
dạy học sinh lớp 9 phần hệ thức Vi et và hướng dẫn học sinh lớp 9 ôn thi vào 10 có 
kết quả cao tôi đã nghiên cứu đề tài: ‘Hướng dẫn học sinh vận dụng hệ thức Vi et 
vào giải một số dạng toán’.
2. Tên sáng kiến:
 Hướng dẫn học sinh vận dụng hệ thức Vi et vào giải một số dạng toán
3. Tác giả sáng kiến:
 - Họ và tên : Phan Thị Huệ
 - Địa chỉ tác giả sáng kiến : Giáo viên trường THCS Tân Phong - Bình Xuyên-
Vĩnh Phúc
 - Số điện thoại : 0914792223 
 E mail : phanthihue179@gmail.com
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:
 Tác giả sáng kiến kinh nghiệm: Phan Thị Huệ.
 Giáo viên: Trường THCS Tân Phong - Bình xuyên -Vĩnh Phúc.
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến :
 Sáng kiến kinh nghiệm được áp dụng trong lĩnh vực giảng dạy môn Toán, 
vấn đề được giải quyết là Hướng dẫn học sinh vận dụng hệ thức Vi et vào giải một 
số dạng toán bậc THCS 
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 
 1 7.1.3. Hướng dẫn học sinh vận dụng hệ thức Vi et vào giải một số dạng toán.
a. Hệ thức Vi ét:
 - Nếu x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai : 
 ax2 + bx + c = 0 a 0 
 b
 x x 
 1 2 a
 thì 
 c
 x .x 
 1 2 a
 3 2
- Nếu phương trình bậc ba: ax + bx + cx + d = 0 a 0 có 3 nghiệm là x1 ; x2 ; x3 
 b
 x x x 
 1 2 3 a
 c
 thì x1x2 x2 x3 x3 x1 I 
 a
 d
 x1.x2 x3 
 a
 Và ngược lại nếu 3 số x1 ; x2 ; x3 là thỏa mãn hệ thức I thì x1 ;x2 ;x3 là 
nghiệm của phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = 0 a 0 
 +) Hệ quả 1: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 a 0 có a + b + c = 0
 c
 thì phương trình có một nghiệm x 1 còn nghiệm kia là x .
 1 2 a
 +) Hệ quả 2: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 a 0 có a - b + c = 0
 c
 thì phương trình có một nghiệm x 1 còn nghiệm kia là x .
 1 2 a
 3 2
 +) Hệ quả 3: Nếu phương trình ax + bx +cx + d = 0 a 0 có nghiệm x0 
 2
 thì phương trình phân tich được thành x-x0 . Ax +Bx + C = 0 
 +) Có nghiệm x 1 nếu a b c d 0
 +) Có nghiệm x 1 nếu a b c d 0
b. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: 
 Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S vả tích u.v = P thì hai số u và v là hai 
nghiệm của phương trình bậc hai: x 2 Sx P 0
 Thật vậy: Các số u; v nếu tồn tại là các nghiệm của phương trình: 
 x - u . x - v = 0 x2 - u+v x + u.v = 0 x2 - Sx + P = 0
 Như vậy khi biết tổng và tích hai số thì ta sẽ tìm được hai số đó thông qua 
việc giải phương trình bậc hai. Điều kiện để có hai số là: S2 - 4P 0 
 * Một số ví dụ 
 3 1 1
 phương trình có hai nghiệm là: x1 1 ; x2 
 3 3
 d) m - 1 x2 - 2m + 3 x + m + 4 = 0 a m - 1 ;b = - 2m + 3 ; c = m + 4 
 Vì a - b + c = m - 1 - - 2m + 3 + m + 4 = 0
 m 1 1 m
 phương trình có hai nghiệm là: x 1 ; x .
 1 2 m 4 m 4
 Sau khi tính được nghiệm của phương trình xong tôi đã yêu cầu các em sử 
dụng máy tính bỏ túi Casio giải phương trình để kiểm tra các nghiệm vừa tìm được ở 
phần a và b. 
 Kết luận: 
 - Khi giải một phương trình bậc hai ta cần chú ý vận dụng hệ thức Vi et để 
 tính nhẩm nghiệm của phương trình nếu có thể. Nếu không tính nhẩm được 
 nghiệm của phương trình thì ta mới dùng công thức nghiệm để giải. 
 - Việc vận dụng hệ quả của hệ thức Vi et và tính toán cho phép tính nhanh 
 chóng nghiệm của phương trình.
 Các em có nhận xét gì nếu ta thay đổi yêu cầu của bài toán như sau:
+. Ví dụ 2: Giải phương trình 
 a) 5x3 - 6x2 + 8x - 7 = 0 b) 4x3 +2x2 + 8x +10 = 0
 Hướng dẫn cách giải:
 Hãy vận dụng hệ thức Vi – ét vào tính nhẩm các nghiệm của phương trình 
 bậc ba: ax3 + bx2 +cx + d = 0 a 0 
 +) Có nghiệm x 1 nếu a b c d 0
 +) Có nghiệm x 1 nếu a b c d 0
 - Khi đó các em trình bày lời giải như sau:
 Giải:
 a) 5x3 - 6x2 + 8x - 7 = 0 có tổng các hệ số a + b + c + d = 5 - 6 + 8 - 7 = 0 
 nên phương trình có nghiệm x 1 khi đó phương trình 5x3 - 6x2 + 8x - 7 = 0 
 5x3 - 5x2 - x2 - x + 7x - 7 = 0
 5x2. x - 1 - x. x - 1 + 7. x - 1 = 0
 x - 1 . 5x2 - x + 7 = 0
 x - 1 = 0 1 
 2 
 5x - x + 7= 0 2 
 +) Giải phương trình 1 x - 1= 0 x =1 
 +) Giải phương trình 2 5x2 - x + 7 = 0 
 Ta có 1 2 4.5.7 1 140 141 0 141
 5 x2
 Đặt y ta dược phương trình y2 5y 6 0 
 x +1
 bằng phương pháp nhẩm nghiệm ta tính được y1 1 và y2 6
 x2
 +) Với y 1 1 x2 1. x 1 x2 x 1 0 
 1 x +1
 1 5 1 5
 Giải phương trình này ta được 2 nghiệm x ; x 
 1 2 2 2
 x2
 +) Với y 6 6 x2 6 x 1 x2 6x 6 0 
 2 x +1
 Giải phương trình này ta được 2 nghiệm x3 3 3 ; x4 3 3
 1 5 1 5
 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm x ; x ;x 3 3 ;
 1 2 2 2 3
 x4 3 3
 ➢ Qua ví dụ 3 tôi đã hướng dẫn cho học sinh cách giải phương trình 
 bằng cách vận dụng hệ thức Vi ét vào tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc 
 hai một ẩn và hướng dẫn cách biến đổi linh hoạt (đặt ẩn phụ) để đưa phương 
 trình bậc 4 về phương trình bậc hai một ẩn có thể nhẩm nghiệm được qua đó các 
 em được rèn luyện kĩ năng biến đổi và trình bày lời giải, vận dụng kiến thức, 
 khả năng phân tích, dự đoán. . . 
 Phương pháp chung: 
 - Vận dụng các hệ quả của hệ thức Vi ét để tính nhẩm các nghiệm của 
phương trình bậc hai, bậc ba. Hoặc các phương trình đưa được về dạng cơ bản 
để tinh nhẩm nghiệm.
 *. Dạng II: Vận dụng hệ thức Vi et vào việc tìm 2 số khi biết tổng và 
tích của chúng: 
 Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì hai số u và v là hai 
nghiệm của phương trình bậc hai: x 2 Sx P 0 ( SGK Toán 9 - Trang 52)
 Điều kiện để có hai số là: S2 - 4P 0 
 +. Ví dụ 1: 
 a) Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng 180.
 b) Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 1 và tích của chúng bằng 5.
 Hướng dẫn cách giải: Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của 
chúng bằng 180. 
 x1 x2 27
 Tức là ta cần tìm 2 số x1 và x2 biết . Nếu áp dụng hệ thức Vi et 
 x1.x2 180
 2
đảo thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc hai x - 27x + 180 = 0 ta có lời giải 
như sau:
 7 b) Gọi các cạch của hình chữ nhật là a và b ta có hệ phương trình 
 2. a b 20 a b 10
 a.b 32 a.b 32
 Nên a và b là 2 nghiệm của phương trình bậc hai: x2 - 10x + 32 = 0 
 Ta có: ' 52 1.32 7 0 phương trình vô nghiệm 
 Vậy không tồn tại hình chữ nhật nào có chu vi là 20 cm và diện tích bằng 
32 cm2.
 Kết luận: Muốn tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng, ta áp dụng hệ 
thức Vi et để đưa về dạng phương trình bậc hai một ẩn rồi giải. 
* Dạng III: Vận dụng hệ thức Vi et vào việc tìm hệ thức liên hệ giữa các 
nghiệm không phụ thuộc vào tham số. 
 - Xét các bài toán đối với các nghiệm của một phuơng trình chứa tham số. 
Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào tham số. 
 Muốn giải bài toán này trước hết ta phải đặt điều kiện để phương trình đã 
cho có nghiệm, sau đó áp dụng hệ thức Vi et để tính tổng và tích các nghiệm của 
phương trình (S và P)
 +) Nếu tổng và tích không chứa tham số thì ta có ngay hệ thức liên hệ giữa 2 
nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
 +) Nếu tổng và tích có chứa tham số thì khử tham số từ S và P. Từ đó tính 
được hệ thưc phải tìm 
 +. Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 - 2 m + 1 x + m - 4 = 0 (1)
 a) CMR: Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
 b) CMR: Giá trị biểu thức A = x1 1 - x2 + x2 1 - x1 không phụ thuộc vào m.
 Giải
 a)Xét phương trình: x2 - 2 m + 1 x + m - 4 = 0 1 
 2
 2 2 1 19
 Ta có: ' m + 1 1. m 4 m m 5 m 0 m R 
 2 4
 Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m 
 b) - Áp dụng hệ thức Vi et cho phương trình x2 - 2 m + 1 x + m - 4 = 0 1 
 x1 x2 2m 2
 ta có: 
 x1.x2 m 4
 Khi đó A x1 1 - x2 + x2 1 - x1 
 x1 x1x2 + x2 x1x2 x1 + x2 2x1x2 2m 2 2 m 4 10 m R 
 Vậy giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào m.
 +. Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 - 2m - 1 x + m2 - m - 1 = 0 (1)
 9 *. Dạng IV: Vận dụng hệ thức Vi et vào việc tính giá trị biểu thức của 
các nghiệm - tìm điều kiện để 2 nghiệm liên hệ với nhau theo một hệ thức cho 
trước.
 +. Ví dụ 1: Cho phương trình x2 4x 1 0 1 
 a) Giải phương trình 1 
 b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình 1 . Tính giá trị của biểu thức: 
 3 3
 B x1 x2 
 Hướng dẫn cách giải:
 - Khi tôi nêu ví dụ các em đã nhanh chóng vận dụng công công thức 
 nghiệm để giải phương trình tìm được nghiệm đối với phần a.
 3 3
 - Đối với biểu thức B x1 x2 ta có thể vận dụng hằng đẳng thức tổng 
 của hai lập phương A3 B3 A B A2 AB B2 ; A3 B3 A B 3 3AB A B 
 hoặc thay vào trực tiếp để tính. Khi đó các em có thể trình bày lời giải như sau 
 Giải:
 a) Xét phương trình x2 4x 1 0 1 
 Ta có: ' 22 1.1 4 1 3 0
 2 3
 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x 2 3 và 
 1 1
 2 3
 x 2 3
 2 1
 Vậy phương trình có nghiệm ;x 1 2 3 x2 2 3
 x1 x2 4
 b) áp dụng đinh lí Vi ét ta có: 
 x1.x2 1
 3 3 3 2 2 3 2 2
 Khi đó B x1 x2 = x1 3x1 .x1 3x1 x2 x2 3x1 .x1 3x1 x2 
 3
 = x1 x2 3x1 .x2 x1 x2 
 = 4 3 3.1. 4 64 12 52 
 3 3
 Vậy B x1 x2 52 
 Hoặc học sinh có thể thay trực tiếp x1 2 3 ; x2 2 3 vào biểu thức B 
 ta có 
 3 3
 3 3
 B x1 x2 2 3 2 3 8 12 3 18 3 3 8 12 3 18 3 3 
 8 12 3 18 3 3 8 12 3 18 3 3 52
 3 3
 Vậy B x1 x2 52 
 +. Ví dụ 2: Cho phương trình ( ẩn x): x2 - 2x - 2m = 0. 
 11