Báo cáo Sáng kiến Rèn kĩ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình

 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
 Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
 ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
 Kính gửi: Hội đồng Sáng kiến huyện Bù Đăng.
 Ngày, Trình độ 
 Số Chức Tỷ lệ (%) 
 Họ và tên tháng, Nơi công tác chuyên
TT danh đóng góp
 năm sinh môn
1 Nông Ích Sơn 06/02/1981 Trường THCS Giáoviên CĐSP 100%
 Quang Trung, Toán- TD
 huyện Bù Đăng, 
 tỉnh Bình Phước
 Số điện thoại: 0981.060.281; Email: nongichson@gmail. com
 Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: “Rèn kĩ năng giải bài toán 
 bằng cách lập phương trình và hệ phương trình”. 
 - Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Nông Ích Sơn
 - Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học. 
 - Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu: 15/12/2018
 I. Mô tả bản chất sáng kiến: 
 1. Đặt vấn đề:
 Toán học là một môn khoa học tự nhiên quan trọng. Thực tế thông qua quá 
 trình giảng dạy môn toán tại trường THCS tôi thấy dạng toán giải bài toán bằng 
 cách lập phương trình và hệ phương trình luôn luôn là một trong những dạng toán 
 cơ bản và khó đối với học sinh, dạng toán này không thể thiếu được trong các bài 
 kiểm tra chương III, IV (Đại số) và học kì môn toán lớp 9, cũng như là các đề thi 
 1 Rút kinh nghiệm từ những bài kiểm tra, bài thi của học sinh qua thực tế giải dạy, qua 
các tiết dự giờ, rút kinh nghiệm với đồng nghiệp. Để có hiệu quả cao trong rèn luyện kỹ 
năng giải bài toán bằng cách lập phương trình ,hệ phương trình giáo viên cần: 
 + Củng cố và rèn luyện cho học sinh nắm các bước giải bài toán bằng cách lập 
phương trình thật vững chắc. 
 + Học sinh nắm chắc yêu cầu về giải một bài toán bằng cách lập 
phương trình. 
 + Phân loại dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình (hệ phương trình) . 
 + Các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phương trình (hệ phương trình) . 
 + Tạo điều kiện để mỗi học sinh tự mình giải được và nâng dần lên giải thành 
thạo. Đặc biệt là chú trọng nhiều đến kỹ năng trình bày và tính toán chính xác. 
 Trước hết học sinh cần nắm vững kiến thức cơ bản hình thành kỹ năng theo 
từng bước giải theo từng loại cụ thể. 
 4.2. Giải bài toán bằng cách lập phương trình cần phải dựa vào quy tắc chung 
gồm các bước như sau: 
 * Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình) . 
 - Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn, ghi rõ đơn vị (nếu có) . 
 - Tìm mối quan hệ giữa các đại lượng để lập phương trình (hệ phương trình) . 
 * Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình) . 
 * Bước 3: Chọn kết quả thích hợp và trả lời. (chú ý đối chiếu ngiệm tìm được 
với điều kiện đặt ra, thử lại vào đề toán) . 
 Kết luận: Đối với học sinh giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán 
học, giải toán giúp cho học sinh củng cố và nắm vững tri thức, phát triển tư duy và 
hình thành kĩ năng, kĩ xảo, áp dụng toán học vào thực tiễn cuộc sống. Vì vậy tổ 
chức có hiệu quả việc dạy giải bài toán góp phần thực hiện tốt các mục đích dạy 
học trong nhà trường, đồng thời quyết định đối với chất lượng dạy học. 
 4.3. Phân loại dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình (hệ phương 
trình) . 
 3 - Với bài toán: Giải bài toán bằng cách lập phương bậc hai một ẩn là dạng 
toán sau khi xây dựng phương trình, biến đổi tương đương đưa về dạng: 
 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) . 
 - Để đảm bảo 6 yêu cầu về giải một bài toán và 3 bước trong quy tắc giải bài 
toán bằng cách lập phương trình (hệ phương trình) , thì ở lớp 9 khi giải một bài 
toán tôi luôn chú ý hình thành đầy đủ các thao tác, các giai đoạn giải toán bằng 
cách lập phương trình (hệ phương trình) . Cụ thể có 7 giai đoạn đó là: 
 * Giai đoạn 1: Đọc kĩ đề bài rồi ghi giả thiết, kết luận của bài toán. Giúp học 
sinh hiểu bài toán cho những dữ kiện gì? cần tìm gì? có thể mô tả bằng hình vẽ 
được không?
 * Giai đoạn 2: Nêu rõ các vấn đề liên quan để lập phương trình. Tức là chọn 
ẩn như thế nào cho phù hợp, điều kiện của ẩn như thế nào cho thỏa mãn. 
 * Giai đoạn 3: Lập phương trình. Dựa vào các quan hệ giữa ẩn số và các đại 
lượng đã biết; dựa vào các công thức, tính chất để xây dựng phương trình, biến đổi 
tương đương để đưa phương trình đã xây dựng về phương trình ở dạng đã biết, đã 
giải được. 
 * Giai đoạn 4: Giải phương trình. Vận dụng các kĩ năng giải phương trình đã 
biết để tìm nghiệm của phương trình. 
 * Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm của phương trình để xác định lời giải của 
bài toán. Tức là xét nghiệm của phương trình với điều kiện đặt ra của bài toán, với 
thực tiễn xem có phù hợp không? 
 * Giai đoạn 6: Trả lời bài toán, kết luận nghiệm của bài toán có mấy nghiệm 
sau khi đã được thử lại. 
 * Giai đoạn 7: Phân tích biện luận cách giải. Phần này thường để mở rộng 
cho học sinh tương đối khá, giỏi sau khi đã giải song có thể gợi ý học sinh biến đổi 
bài toán đã cho thành bài toán khác bằng cách: 
 - Giữ nguyên ẩn số thay đổi các yếu tố khác. 
 - Giữ nguyên các dữ kiện thay đổi các yếu tố khác. 
 5 Chu vi khu vườn: 2 (x + y) = 2. (45 + 15) = 120 (m) (đúng) . 
 * Giai đoạn 6: Trả lời bài toán. 
 Vậy: Chiều dài của khu vườn là 45 m
 Chiều rộng của khu vườn là 15 m. 
 * Giai đoạn 7: Nên cho học sinh nhiều cách giải khác nhau từ việc chọn các 
ẩn số khác nhau, dẫn đến xác định phương trình khác nhau, từ đó tìm cách giải hay 
nhất, ngắn gọn nhất. 
 - Có thể từ bài toán này xây dựng hoặc giải các bài toán tương tự. 
 Ví dụ: 
 + Thay lời văn và tình tiết bài toán, giữ nguyên số liệu, ta có bài toán mới: 
"Tuổi của cha nhân với tuổi của con bằng 675; hai lần tổng số tuổi của cha và con 
bằng 120. Tính số tuổi của cha và con". 
 + Thay số liệu giữ nguyên lời văn. 
 + Thay kết luận thành giả thiết và ngược lại ta có bài toán "Một phân số có tử 
số gấp ba lần mẫu số. Biết tích của tử và mẫu bằng 675. Tìm tổng số của tử và 5 lần 
mẫu của phân số đó". 
 Bằng cách đó có thể xây dựng cho học sinh có thói quen tập hợp các dạng 
bài toán tương tự và cách giải tương tự. Đến khi gặp bài toán học sinh sẽ nhanh 
chóng tìm ra cách giải. 
 5.4. Hướng dẫn học sinh làm các dạng toán thường gặp
 DẠNG 1: DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG
 A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
 1. Công thức chuyển động đều: 
 S = v. t (1) 
 Trong đó: S - Quãng đường (km, m, cm...) 
 v - Vận tốc (km/h, m/s.... .) 
 t - Thời gian (giờ, phút, giây) 
 7 Vận tốc xe thứ hai là y (km/h) 
Điều kiện: y > x > 10
Xe thứ hai có vận tốc lớn hơn xe thứ nhất 10 km/h, ta có phương trình: 
y – x = 10 (1) 
Thời gian xe thứ nhất đi từ A đến B: 120 (giờ) 
 x
Thời gian xe thứ hai đi từ A đến B: 120 (giờ) 
 y
Vì xe thứ hai đến nơi sớm hơn xe thứ nhất 36 phút, nên ta có phương trình: 
120 - 120 = 3 (2) 
 x y 5
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
 y x 1 0
 y x 10 y x 10
 1 2 0 1 2 0 3
 x y 5 120.5.y 120.5.x 3xy 200y 200x xy
 y x 10 (*)
 200(x 10) 200x x(x 10)(**)
Giải (**) : 200x + 2000 – 200x = x2 + 10x 
 x2 + 10x – 2000 = 0
∆' = 25 + 2000 = 2025, ' = 45
x1 = - 5 + 45 = 40 (TMĐK) 
x2 = - 5 – 45 = - 50 (loại) 
Thay x1 = 40 vào (*) ta được: y = 50 (TMĐK) 
Trả lời: Vận tốc của xe thứ nhất là 40 km/h 
Vận tốc của xe thứ hai là 50 km/h. 
Chú ý: Có thể giải bài toán bằng cách đặt ẩn gián tiếp. 
* Tóm lại: 
 9 x y 1006 x y 1006
 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
 x 2y 124 x 2y 124
 x 712
 (TMĐK) 
 y 294
 Trả lời: Số lớn là 712; số nhỏ là 294
 Chú ý: Bài toán trên có thể lập phương trình. 
 Bài toán 2: Cho một số có hai chữ số, chữ số hàng chục bằng nửa chữ số 
hàng đơn vị. Nếu đặt ở giữa hai chữ số đó bởi chữ số 1 thì ta được một số mới lớn 
hơn số đã cho 370 đơn vị. Tìm số đã cho. 
 (Tài liệu ôn thi vào 10) 
 Lời giải: 
 Gọi chữ số hàng chục là: x. Điều kiện: x nguyên; 0<x 4. 
 Thì chữ số hàng đơn vị là: 2x
 Số ban đầu là: x(2x) 10x 2x 12x
 Số mới là: x1(2x) 100x 10 2xx 102x 10
 Theo bài ra ta có phương trình: 
 102x 10 12x 370 90x 360 x 4
 Với x=4 thoả mãn điều kiện bài toán
 Như vậy: Chữ số hàng chục là 4 và chữ số hàng đơn vị là 8. 
 Trả lời: Số đã cho là 48. 
 Chú ý: - Bài toán có thể giải bằng cách lập hệ phương trình. 
 - Điều kiện 0<x 4 là do x nguyên và chữ số hàng đơn vị luôn nhỏ hơn hoặc 
bằng 9. 
 DẠNG 3: DẠNG TOÁN VỀ NĂNG SUẤT LAO ĐỘNG
 A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 
 1. Quy tắc giải bài toán. 
 2. Mối liên hệ giữa các đại lượng: K, N, T
 11 Ta có phương trình 10x + 15y = 48 (2) 
 100 100
 x 240
 x y 400
 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: (TMĐK) 
 10 x 15 y
 48 y 160
 100 100
 Trả lời: Tháng đầu tổ I làm được 240 chi tiết
 Tổ II làm được 400 – 240 = 160 chi tiết
 Chú ý: - Với loại toán liên quan đến tỉ lệ %, giáo viên cần gợi mở để học 
sinh hiểu rõ bản chất của bài toán để dẫn tới mối liên quan giữa các đại lượng để 
lập phương trình (hệ phương trình) . 
 - Khi gọi ẩn, điều kiện của ẩn cần lưu ý bám sát ý nghĩa thực tế của bài toán. 
 DẠNG 4. DẠNG TOÁN VỀ CÔNG VIỆC LÀM CHUNG, LÀM RIÊNG
 A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 
 1. Mối quan hệ: K, N, T
 2. Sự tương quan tỷ lệ giữa K, N, T
 3. Kỹ năng chọn ẩn, đưa dữ kiện quy về đơn vị chung (phần việc) 
 4. Phân tích các giai đoạn làm việc, biểu thị mối liên hệ qua ẩn và đơn vị đã chọn. 
 B. BÀI TOÁN ÁP DỤNG. 
 Bài toán 1: Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm 
xong trong 12 ngày. Họ cùng làm với nhau được 8 ngày thì đội I được điều động 
làm việc khác, đội II tiếp tục làm. Do cải tiến kỹ thuật, năng suất lao động tăng gấp 
đôi, nên đội II làm xong phần công việc còn lại trong 3 ngày rưỡi. Hỏi nếu mỗi đội 
làm một mình thì bao nhiêu ngày xong công việc. (Với năng suất bình thường) 
 (SGK toán 9 tập 2) 
 Hướng dẫn học sinh: 
 - Chọn ẩn là thời gian (đơn vị số ngày) của từng đội làm một mình xong 
công việc. 
 - Chọn toàn bộ khối lượng công việc quy về đơn vị một công việc. 
 - Lập và giải hệ phương trình. 
 13 Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể là x (giờ) . Điều kiện x > 0. 
 Thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể: x + 2 (giờ) . 
 Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được: 1 bể
 x
 Trong một giờ vòi thứ hai chảy được: 1 bể
 x 2
 Trong một giờ cả hai vòi chảy được: 1 + 1 = 1
 x x 2 12
 5
 hay 1 + 1 = 5
 x x 2 12
 12 (x + 2) + 12x = 5x (x + 2) 5x2 – 14x – 24 = 0
 6
 Giải phương trình ta được: x1 = 4 (TMĐK) ; x2 = (loại) 
 5
 Trả lời: Mở riêng từng vòi thì vòi 1 chảy trong 4 giờ, vòi 2 chảy trong 6 giờ 
đầy bể. 
 DẠNG 5. DẠNG TOÁN VỀ TỶ LỆ, CHIA PHẦN, TĂNG GIẢM, 
THÊM BỚT, TỶ SỐ CÁC ĐẠI LƯỢNG
 A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 
 1. Kỹ năng biểu thị mối liên hệ giữa các đại lượng. 
 2. Biểu diễn các tỷ lệ dưới dạng: Phần trăm, thập phân, tỷ lệ thức... 
 3. Các tính chất của tỷ lệ thức. 
 4. Sự tăng giảm, thêm bớt qua các biểu thức. 
 B. BÀI TOÁN ÁP DỤNG. 
 Bài toán 1: Hai giá sách có 450 cuốn. Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất 
sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ hai sẽ bằng 4 số sách ở giá thứ nhất. Tính số 
 5
sách lúc đầu trong mỗi giá. 
 (SGK toán 9 tập 2) 
 Lời giải: 
 Gọi số sách trong giá thứ nhất lúc đầu là x (cuốn) 
 15