Đề cương SKKN Một số phương pháp phát triển bài toán chia hết để rèn luyện tư duy và giải quyết vấn đề toán học cho học sinh khá, giỏi từ các đề thi HSG

 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ VINH
 TRƯỜNG THCS TRUNG ĐÔ
 ----------  ----------
ĐỀ CƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI: Một số phương pháp phát triển bài toán chia 
hết để rèn luyện tư duy và giải quyết vấn đề toán học cho học 
 sinh khá, giỏi từ các đề thi HSG.
 HỌ VÀ TÊN: Võ Phượng Linh
 Năm học: 2021 – 2022 Phần II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
 Bài toán : Chứng minh rằng với số mọi nguyên n thì: n3 – n chia hết cho 6.
 Nhận xét: Đối với bài toán này thì hầu hết các em giải được một cách dễ dàng 
bằng cách phân tích biểu thức thành tích của ba số nguyên liên tiếp. 
 Gợi ý: Ta có: n3 – n = (n - 1) n (n + 1)
 (n - 1) n (n + 1)  2;
 (n - 1) n (n + 1)  3;
 Mà (2, 3) = 1 nên n3 – n  6
 Nhận xét: Nếu sau khi học sinh đã giải quyết được bài toán này mà chúng ta 
cho học sinh chỉ dừng lại ở việc giải quyết một bài toán đơn giản thì sẽ không phát triển 
được các năng lực tư duy và năng lực giải quyết vấn đề toán học một cách sáng tạo cho 
học sinh. Từ kết luận của bài toán này, tôi mạnh dạn đề xuất hướng khai thác và phát 
triển một số bài toán để rèn luyện năng lực tư duy và năng lực giải quyết vấn đề toán 
học cho học sinh như sau: 
 Hướng phát triển thứ nhất: Thêm, bớt một số bội của 6 để phát triển bài toán 
mới:
 Một số ví dụ:
 Bài toán 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên thì n3 - 19n  6.
 Gợi ý lời giải:
 Ta có: n3 - 19n = (n3 – n) -18n
 n3 – n  6 và 18 n  6
 Nên, n3 - 19n  6
 Bài toán 2: Chứng minh rằng: A = -11n3 + 12n2 - 19n - 18  6, Với n Z
 Gợi ý:
 Ta có: A = -11n3 + 12n2 - 19n – 18 = (-12n3 + 12n2 - 18n – 18) + (n3 – n)
 Vì -12n3 + 12n2 - 18n – 18  6; n3 – n  6 nên A  6
 Thông qua các hoạt động của học sinh để giải quyết các bài toán này sẽ 
góp phần rèn luyện năng lực tư duy, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng 
lực tính toán, năng lực giao tiếp, và phẩm chất chăm chỉ, trách nhiệm của 
mình trong hoạt động nhóm.
 Hướng phát triển thứ 2: Mở rộng bài toán đã cho đối với nhiều biểu thức:
 Nhận xét: Nếu ta mở rộng bài toán 1 cho nhiều biểu thức, chẳng hạn: 
 B = (a3 – a) + (b3 – b) + (c3 –c) = (a3 + b3 + c3) – ( a + b + c). 
 Ta có phát biểu thành bài toán: (c – 1).c.(c+1) 6 (3)
 Ta lại có: 6c3 6 (4) 
 Từ (1); (2); (3); (4) B  6
 Mà (a + b + c) 6 Nên a3 + b3 - 5c3  6
 Nhận xét: Thay thế giả thiết một biểu thức chia hết cho 6 bằng một đẳng 
thức và thêm bớt một số bội của 6 vào phần giả thiết , kết luận của bài toán 3. 
 Thông qua việc phát triển các bài toán này đã rèn luyện cho học sinh 
thao tác tư duy khái quát hóa, tương tự hóa, phát triển tư duy sáng tạo cho học 
sinh. Ngoài ra, khi học sinh thực hiện các nhiệm vụ để giải quyết ở các bài toán 
này còn rèn luyện được năng lực ngôn ngữ, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng 
lực tính toán,
 Từ đó học sinh sẽ giải quyết được các bài toán có dạng tương tự.
 Hướng phát triển thứ 3: Khai thác kết quả để giải quyết một số dạng toán 
khác
 Ví dụ: Bài toán 5: Chứng minh rằng: M = 7n3 + 12n2 - 19n - 28 không phải là số 
chính phương với mọi số nguyên n.
 Gợi ý: Ta có: M = (7n3 + 12n2 - 19n – 30) + 2
 Suy ra: M chia cho 3 dư 2 (được suy ra từ kết luận của bài toán 2).
 Mà số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1
 Thông qua hoạt động giao nhiệm vụ cho học sinh tự đề xuất một số bài 
toán mới (có gợi ý, định hướng của giáo viên khi cần thiết) đã góp phần rèn 
luyện năng lực tư duy sáng tạo, năng lực tự học, tự chủ, năng lực giao tiếp, năng 
lực ngôn ngữ, 
 Phần III. KẾT LUẬN
 - Biện pháp này sẽ góp phần rèn luyện cho học sinh biết cách tìm tòi và mở 
rộng một bài toán. Từ đó rèn luyện năng lực tư duy, năng lực giải quyết vấn đề và 
sáng tạo cho học sinh. 
 - Các bài toán khai thác để góp phần phát triển năng lực tư duy và năng lực 
giải quyết vấn đề phù hợp với năng lực của học sinh khá giỏi và phù hợp với mức 
độ các đề thi HSG toán cấp huyện, thị xã, thành phố .
 TÀI LIỆU THAM KHẢO
 MỤC LỤC