Sáng kiến Bồi dưỡng học sinh giỏi Phương trình bậc cao môn Toán Lớp 9

 PHẦN THỨ NHẤT
 ĐẶT VẤN ĐỀ
 Trong các môn học ở phổ thông, môn toán giữ một vị trí quan trọng. Qua 
việc học toán học sinh được rèn luyện về mọi mặt như: trí thông minh, 
phương pháp tính toán hợp lý, nhanh gọn, tạo cho bộ óc làm việc ngăn nắp, có 
kế hoạch. Từ cuộc sống hàng ngày của con người như : cân đo, đong 
đếm,cho đến các ngành công nghiệp phát triển đều rất cần đến toán học.
 “ Giáo dục là quốc sách hàng đầu, nhiệm vụ của ngành giáo dục là nâng 
cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Việc bồi dưỡng học sinh 
giỏi là một trong những công tác mũi nhọn của ngành Giáo dục và Đào tạo nói 
chung, của từng cơ sở nói riêng nên việc phát triển bồi dưỡng học sinh giỏi 
nuôi dưỡng nhân tài là một việc làm thường xuyên, liên tục. Môn toán là một 
trong những bộ môn thường xuyên tổ chức thi học sinh giỏi nên đòi hỏi từng 
cơ sở phải xây dựng được đội ngũ học sinh giỏi cho đơn vị mình. Với tâm 
huyết nghề nghiệp tôi luôn cố gắng phấn đấu để đào tạo và bồi dưỡng ngày 
càng nhiều học sinh giỏi các cấp bằng cách đi sâu nghiên cứu và giúp các em 
nắm chắc, sâu từng phần từng nội dung trong chương trình toán lớp 9. Phương 
trình bậc cao là một đề tài hấp dẫn, thú vị của toán học, vì vậy phương trình 
bậc cao đã được rất nhiều nhà toán học nghiên cứu. Tuy nhiên, với người học 
thì giải phương trình bậc cao là một vấn đề khó. Sau nhiều năm giảng dạy 
môn Toán ở bậc trung học cơ sở tôi nhận thấy mảng giải phương trình bậc cao 
được đưa ra ở sách giáo khoa lớp 8, 9 là rất khiêm tốn, nội dung sơ lược, 
mang tính chất giới thiệu khái quát, quỹ thời gian giành cho nó là quá ít ỏi, 
trong chương trình học lại không có một bài học cụ thể nào. Bên cạnh đó là 
các nội dung bài tập ứng dụng thì rất phong phú, đa dạng và phức tạp. Các 
phương trình bậc cao là một nội dung thường gặp trong các kỳ thi ở Bậc 
THCS và đặc biệt trong các kỳ thi tuyển sinh vào THPT. Chính vì vậy tôi 
quyết định chọn chủ đề: ''phương trình bậc cao '' làm sáng kiến cho riêng 
 Trang 1 II.KIẾN THỨC CƠ BẢN TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH :
1. Các định nghĩa :
 1.1 Định nghĩa phương trình :
 Giả sử A(x) = B(x) là hai biểu thức chứa một biến x. Khi nói A(x) = 
B(x) là một phương trình, ta hiểu rằng phải tìm giá trị của x để các giá trị 
tương ứng của hai biểu thức này bằng nhau.
 Biến x được gọi là ẩn.Giá trị tìm được của ẩn gọi là nghiệm.
 Việc tìm nghiệm gọi là giải phương trình. Mỗi biểu thức gọi là một vế 
của phương.
 1.2. Tập xác định của phương trình :
Là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho mọi biểu thức trong phương trình có nghĩa.
 1.3. Định nghĩa hai phương trình tương đương :
Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm.
 1.4. Các phép biến đổi tương đương :
 Khi giải phương trình ta phải biến đổi phương trình đã cho thành những 
phương trình tương đương với nó ( nhưng đơn giải hơn). Phép biến đổi như 
thế được gọi là phép biến đổi tương đương.
 2. Các định lý biến đổi tương đương của phương trình :
 a) Định lý 1 :Nếu cộng cùng một đa thức của ẩn vào hai vế của một 
phương trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã 
cho. Ví dụ : 2x = 7 2x + 5x = 7 +5x.
 Chú ý : Nếu cộng cùng một biểu thức chứa ẩn ở mẫu vào hai vế của 
 một phương trình thì phương trình mới có thể không tương đương với 
 phương trình đã cho.
 Ví dụ : x -2 (1) Không tương đương với phương trình 
 1 1
 x 2 
 x 2 x 2
 Trang 3 2. Phương trình bậc cao:
2.1. Phương trình bậc hai một ẩn :
 Phương trình bậc hai một ẩn số là phương trình có dạng 
 ax2 + bx + c = 0; trong đó x là ẩn số; a, b, c là các hệ số đã cho; a 0.
 *Cách giải:
 *Ta dùng các phép biến đổi tương đương ,biến đổi phương trình 
 đã cho về các dạng phương trình đã biết cách giải (phương trình bậc 
 nhất ,phương trình dạng tích ) để tìm nghiệm của phương trình 
 *Khi nghiên cứu về nghiệm số của phương trình bậc hai
 a x2 +b x +c=o (a 0)Cần đặc biệt quan tâm tới biệt số của 
 phương trình: =b2- 4ac, Vì biểu thức = b2- 4ac quyết định nghiệm 
 số của phương trình bậc hai .Ta thấy có các khả năng sau xảy ra :
 a , <0  phương trình bậc hai vô nghiệm 
 b , =0  phương trình bậc hai có hai nghiệm kép (hai nghiệm trùng 
 b
nhau): x =x =
 1 2 2a
 c , >0  phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:
 b b 
 x = ; x = 
 1 2a 2 2a
 *Chú ý : 
 - Nếu a và c trái dấu , nghĩa là a.c<0 thì phương trình bậc hai có 2 
nghiệm phân biệt (vì acb2-4ac >0 hay >0 )
 - Đối với một số phương trìnhbậc hai đơn giản (với hệ số nguyên ) 
trong trường hợp có nghiệm ( 0 ) ta có thể dùng địnhlí Vi ét để tính nhẩm 
nghiệm 
Định lí Viét : Nếu phương trình bậc hai a x 2 + bx +c = 0 (1) ( a 0 ) có 
hai nghiệm là : x 1, x2 thì tổng và tích hai nghiệm là 
 Trang 5 Để kết luận nghiệm của (1) ta cần phải kiểm tra xem các nghiệm của (2) có 
thuộc TXĐ của (1) hay không ?
 ở đây ta nhận thấy x1=1 thoả mãn điều kiện 
 x 2=3 không thoả mãn điều kiện 
 -Do đó ta mới kết luận nghiệmcủa (1) là x=1
 *Nhận xét : 
-Những phương trình được trình bày ở trên là dạng phương trình gặp nhiều
-Khi giải các phương trình này ta cần chú ý những vấn đề sau : 
 + Tìm TXĐ của phương trình 
 + Sau khi giải được kết quả cần so sánh kết quả và kết luận nghiệm 
( loại bỏ những nghiệm của phương trình trung gian không nằm trong miền 
xác định )
* Bài luyện tập:Giải các phương trình :
 a ,3(x2+x) -2(x2+x ) -1= 0 , b, 5x2 - 7x = 0
 x 5 x 3 5 3 2x x2 x 8
 c. d, 
 3 5 x 3 x 5 x 1 (x 1)(x 4)
 3x 2x
 e, 1
 x2 x 3 x2 x 3
2.2. Phương trình bậc ba 
 a x3 +bx2 +cx =d =0
 ( trong đó x là ẩn ; a,b,c,d là các hệ số ;a 0 )
 * Cách giải : 
-Để giải một phương trình bậc ba ta thường biến đổi về phương trình tích .Vế 
trái là tích của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai , vế phải bằng 0 . 
Muốn làm tốt việc này cần đồi hỏi HS phải có kĩ năng phân tích đa thức thành 
nhân tử một cách thành thạo 
 *Ví dụ : giải phương trình 2x3 +7x2 +7x + 2=0 
 Giải Phân tích vế trái thành nhân tử ta có
 Trang 7 2.3. Phương trình bậc 4 : 
 4 3 2 
Phương trình bậc 4 dạng : a x + bx + cx + dx +e =0 
 Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; ( a 0 )
Một phương trình bậc 4 mà qua phép đặt ẩn phụ ta có thể quy về PT bậc hai
 2.3.1. Phương trình tam thức bậc 4 (Phương trình trùng phương )
 Phương trình trùng phương có dạng tổng quát : a x4 +bx 2 +c=0 (1) 
 Trong đó x là ẩn ; a , b ,c là các hệ số ; ( a 0 ) 
 *Cách giải :
 Khi giải phương trình này ta dùng phương pháp đổi biến 
 2
 x =t (t 0) (2)
Khi đó phương trình (1) dưa được về dạng phương trình bậc hai trung gian 
 a t2 +b t +c =0 (3)
Giải phương trình (3) rồi thay giá trị của t tìm được ( với t 0) vào (2) ta 
được phương trình bậc ha với biến x giải phương trình này ta tìm được 
nghiệm của phương trình trùng phương ban đầu 
 *Ví dụ : Giải phương trình sau: 4x 4 - 109x2+ 225 =0 (1)
 Giải 
 Đặt x 2 =t (t 0) phương trình (1) trở thành 4t2 – 109t +225=0(2) 
 9
 Giải phương trình (2) được nghiệm là t1 = ; t2 =25 
 4
 Cả hai nghiệm của phương trình (2) đều thoả mãn điều kiện t 0 
 9 2 9
 + Với t1 = ta có x = => x1=3/2 ; x2= -3/2 
 4 4
 2
 + Với t2=25 ta có x = 25 => x3 =5 ; x4=-5 
 Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm là : x1=3/2 ; x2= -3/2 ; x3 =5 ; x4=-5 
 * Nhận xét : 
 - Khi nghiên cứu số nghiệm của phương trình trùng phương (1) ta thấy :
 - Phương trình vô nghiệm khi :
 + Hoặc phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm .
 Trang 9 5 1 5 2
 + Với t1=- (x+ ) =-  2x +5x+2=0 có nghiệm là x1=-2 ; x2=-1/2
 2 x 2
 26 1 26 2
 +Với ; t 2=  (x+ ) =  5x -26x+5 =0 có nghiệm là x3=5 ; x4=1/5
 5 x 5
 1 1 
 Vậy phương trình (1) có tập nghiệm là S= ; 2; ;5
 2 5 
 * Nhận xét : 
 - Về phương pháp giải gồm 4 bước 
 +Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của (1) ta chia cả hai vế (1) 
 cho x2rồi nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng 
 nhóm ta được phương trình (2) 
 1 1
 +Đặt ẩn phụ : (x+ ) =t (3) => x2+ =t2 -2 thay vào (2) 
 x x2
 +Giải phương trình đó ta được t .
 +Thay các giá trị của t vào (3) để tìm x và trả lời nghiệm (1)
 1
 - Về nghiệm số của phương trình: x 0 là nghiệm của (1) thì cũng là 
 x0
 nghiệm của nó 
 (ví dụ trên : -2 là nghiệm và -1/2 là ngịch đảo của nó cũng là nghiệm ;5 
 và 1/5là nghịch đảo của nhau)
 * Bài luyện tập: Giải các phương trình :
 a, x4 - 7x3 + 14 x2 - 7x + 1 = 0; b. x 6 + 3x5 - 30x4 - 29 x3 - 30 x2 + 3x + 1 = 0
 c, x5 - 5x4 + 4x3 + 4x2 - 5x + 1 = 0 d, x4 - 3x3 - 6x2 + 3x + 1 = 0
 e, x4 + 3x3 - 14 x2 - 6x + 4 = 0 
 2.3 .3.Phương trình hồi quy :
 4 3 2 
 Phương trình bậc 4 dạng : a x + bx + cx + dx +e =0 (1) Trong đó x 
 c d
là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; a 0 và ( )2 ; ( c 0) 
 a b
 Trang 11 2 5 33
 + Với t2=5  x -5x -2 =0 có nghiệm là x3,4 =
 2
 5 33 
 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S= 1; 2.; 
 2 
 *Nhận xét : 
 - Cũng tương tự như giải phương trình bậc 4 hệ số đối xứng , chỉ khác 
 2
 m 2 2m
 m + y 
bước đặt ẩn phụ Đặt x+ =y b => x2 2 2
 bx b x b
 2.3 .4 .Phương trình dạng : (x+a ) ( x+b ) (x+c) (x+d )=m (a+d=b+c) 
 *Cách giải :
 nhóm ( x+a) với (x+d) ; (x+b) với (x+c) rồi triển khai các tích đó 
Khi đó phương trình có dạng [x2 +( a+d)x +ad ] [ x2 + (b+c )x +bc ] =0 
do a+d=b+c nên ta đặt [x2 +( a+d)x + k ] =t (2) ( k có thể là ad hoặc bc ) 
 ta có phương trình At2 +Bt+ C =0 (Với A=1)
 Giải phương trình ta tìm được t thay vào (2) rồi giải tìm được nghiệm x 
* Ví dụ :
 Giải phương trình (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15 (1) 
 ￿ nhận xét 1+7 =3+5 
 ￿ Nhóm hợp lý  (x+1) (x+7 ) . (x+3) (x+5 ) +15=0 
 2 2
  (x +8x +7 ) (x + 8x + 15) +15 =0 (2) 
 2
 *Đặt (x +8x +7 ) =t (3) thay vào (2) ta được 
  t( t+ 8) + 15=0
 2
 y +8y +15 =0 có nghiệm y1=-3 ; y2=-5 
 Thay vào (3) ta được hai phương trình 
 2 2
 1/ x +8x +7 = -3  x + 8x +10=0 có nghiệm x1,2 = -4 6
 2 2
 2/ x +8x +7 = -5  x +8x +12 = 0 có nghiệm x3=-2; x4 =-6 
 Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S = 2; 6; 4 6
 * Nhận xét :
 Trang 13