Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở

 Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở 
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI 
 MÃ SKKN 
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL 
 CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ 
 Lĩnh vực/ Môn : TOÁN 
 Cấp học : TRUNG HỌC CƠ SỞ 
 Người thực hiện : Chức vụ : Giáo viên 
 Đơn vị : 
 NĂM HỌC 2016 - 2017 
 1 Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở 
1. ĐẶT VẤN ĐỀ 
1.1 Lý do chọn đề tài 
 Nghị quyết Đại hội đại biểu toàn quốc của Đảng lần thứ XI đã khẳng định 
“Đổi mới căn bản, toàn diện nền giáo dục Việt Nam theo huớng chuẩn hoá, hiện 
đại hoá, xã hội hóa , dân chủ hóa và hội nhập quốc tế... giáo dục và đào tạo có sứ 
mệnh nâng cao dân trí, phát triển nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, góp phần 
quan trọng xây dựng đất nước, xây dựng nền văn hóa và con người Việt Nam...” 
 Để đạt được mục tiêu đó, ngoài việc thiết kế chương trình giáo dục phổ
thông, đổi mới chương trình sách giáo khoa, đổi mới phương pháp dạy học,  thì 
việc giúp cho người học có được cơ hội học tập hết chương trình phổ thông, định 
hướng nghề nghiệp là một trong những việc làm rất quan trọng. Cấp học trung học 
cơ sở là một trong những cấp học quan trọng trong việc giúp học sinh có cơ hội 
học tập tiếp theo theo hướng học trung học phổ thông hoặc học nghề. 
 Từ năm học 2006 – 2007 đến nay, Sở GD&ĐT Hà Nội đã lựa chọn phương 
án thi vào lớp 10 theo hướng kết hợp thi tuyển với xét tuyển. Đối với phương án 
này thì kết quả bài thi môn Toán và Văn được nhân đôi, đóng vai trò quan trọng 
trong việc quyết định tổng điểm của học sinh. Chính vì vậy, giáo viên luôn trăn trở 
việc làm thế nào để luyện cho học sinh của mình đạt điểm cao trong bài thi vào lớp 
10. Với vai trò là giáo viên dạy môn Toán ôn thi cho học sinh cuối cấp, tôi nhận 
thấy học sinh khá bỡ ngỡ trong bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol. 
Bài toán này không chỉ quan trọng trong cấp học trung học cơ sở mà còn rất quan 
trọng khi học sinh học toán cấp trung học phổ thông. Chính vì những lí do đó, tôi 
viết sáng kiến, kinh nghiệm “Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và 
parabol cấp trung học cơ sở”. 
 3 Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở 
2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 
2.1 Một số kiến thức cơ bản về phương trình bậc hai và các vấn đề liên quan 
2.2.1 Công thức nghiệm phương trình bậc hai: 
 Cho phương trình ax2 +bx + c = 0 ( a 0) 
 Công thức nghiệm Công thức nghiệm thu gọn 
 =b2 − 4 ac Nếu b=2b’ ta có '' =b2 − ac 
+) Nếu >0, phương trình có hai +) Nếu ’>0, phương trình có hai 
nghiệm phân biệt: nghiệm phân biệt: 
 −bb + − − −bb'''' + − − 
 xx==; xx12==; 
 1222aa aa
+) Nếu =0, phương trình có nghiệm +) Nếu ’=0, phương trình có nghiệm 
 −b −b'
kép: xx== kép: xx12== 
 122a a
+) Nếu <0, phương trình vô nghiệm. +) Nếu ’<0, phương trình vô nghiệm. 
 2
2.1.2 Hệ thức Vi-et : Phương trình ax+bx + c = 0 ( a 0) có hai nghiệm x1 ; x2 
 −b
 xx+=
 12a
Ta có hệ thức Vi-ét : 
 c
 xx. =
 12 a
2.1.3 Một số bài toán về dấu của nghiệm phương trình bậc hai : 
 Cho phương trình 
 −bc
 =b2 − 4 ac ; S= x + x =;. P = x x = 
 1 2aa 1 2
+) Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu a.c<0 
 0
+) Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu 
 P 0
 0
+) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt P 0 
 S 0
 5 Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở 
x2=-x+2 x2 + x - 2=0 
Giải phương trình ta có x=1; x = -2 
x=1 y = 1 A(1;1); x=-2 y = 4 B(-2;4) 
Vậy d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(1;1); B(-2;4) 
b) (P): y = -x2 và (d): y=4x+4 
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 
-x2=4x+4 x2 + 4x +4=0 
Giải phương trình ta có nghiệm kép x1=x2=-2 
x=-2 y = -4 M(-2;-4) 
Vậy d tiếp xúc với (P). Tiếp điểm là M(-2;-4) 
Ví dụ 2:(Trích trong Đề thi vào môn Toán vào lớp 10 Hà Nội, năm học 2014-
2015) 
Cho d: y = - x + 6 và (P): y=x2. 
a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P). 
b) Gọi giao điểm là A và B. Tính diện tích tam giác OAB. 
Giải: 
a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P). 
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của d và (P): 
 2 x = 2
 x+ x −6 = 0 ( x − 2)( x + 3) = 0 
 x =−3
Với x = 2 , y = 4 
Với x= -3, y = 9 
Ta có tọa độ giao điểm của d và (P) là A(2;4); B(-3;9) 
b) Tính diện tích tam giác OAB: 
Kẻ AH và BK vuông góc với Ox. 
 7 Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở 
 2
 22 1 19
 =−++=−+=(m 1) m 4 m m 5 m − + 0  m 
 24
 (*) luôn có hai nghiệm phân biệt (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. 
Ví dụ 3: Cho (P) y = x2. Viết phương trình tiếp tuyến của (P) biết: 
a) Tiếp tuyến song song với (d) y = x - 5 
b) Tiếp tuyến đi qua A(1;-3) 
Giải 
a) Gọi (d') y = x + m (m -5) song song với (d) y = x-5 . 
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d') và (P): 
x2=x +m x2 - x - m=0 (*) 
(d') tiếp xúc với (P) (*) có nghiệm kép 
 =0 1 + 4m=0 m=-1/4 (tmđk) 
 Vậy (d')" y = x -1/4 
b) Gọi (d'') y = ax + b là tiếp tuyến của (P). 
+) A(1;-3) (d") a+ b = -3 b = -3-a (d"): y = ax - 3 - a. 
+) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d") và (P): 
x2=ax -3-a x2 - ax +a + 3=0 (*) 
(d') tiếp xúc với (P) (*) có nghiệm kép 
 =0 aa2 − 4 − 12 = 0 
Giải pt ta được a = 6; a = -2 
Vậy qua A(1;-3) có hai tiếp tuyến với (P) là (d") y = 6x-9; (d'"): y = -2x-1 
3.3 Dạng 3: Đường thẳng cắt parabol thỏa mãn các điều kiện về tọa độ giao 
điểm; vị trí giao điểm 
Ví dụ 1. (Trích trong Đề thi vào môn Toán vào lớp 10 Hà Nội, năm học 2011-
2012) 
 Cho (P) y = x2 và đường thẳng (d): y = 2x- m2+9 
1) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 1 
2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía trục 
tung. 
 Giải 
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 
 x2=2 x − m 2 + 9 x 2 − 2 x + m 2 − 9 = 0 (1) 
 9 Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở 
Toạ độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của hệ phương trình: 
 yx=− 2 −x22 = mx − 1 x + mx − 1 = 0 (*)
 22 
 y=− mx 1 y= − x y = − x
Xét phương trình (*): x2 + mx −1 = 0 (*) 
Ta có =m42 + 
 m22 0  m m + 4 4 0  m 0  m 
 Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m 
 (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m 
2) Gọi x1 và x2 lần lượt là hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). 
 22
Tìm giá trị của m để x1 .x 2+ x 2 .x 1 − x 1 .x 2 = 3 
Vì (*) luôn có hai nghiệm phân biệt nên áp dụng hệ thức Vi-et cho (*) ta có: 
 x12+ x = − m
 (**) 
 xx12.1=−
 22
 x.x122112+ x.x − x.x = 3 x.x 1212( x + x) − x.x 12 = 3 (***) 
Thay (**) vào (***) ta có: −1.( −mm) − ( − 1) = 3 = 2 
Ví dụ 4. (Trích trong Đề thi vào 10 Hà Nội năm học 2016-2017) 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y=3x + m2 – 1 và parabol (P): 
y= x2. 
a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m. 
b) Gọi x1; x2 là hoành độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm m để 
 (xx12+1) .( + 1) = 1 
Giải 
a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m 
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 
 x22=31 x + m −
 x22 −3 x − m + 1 = 0(*)
 =( − 3)2 − 4.1.( −mm 2 + 1) = 4 2 + 5 
 m22 0  m 4 m + 5 0  m
 0 m
 Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m 
 11 Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở 
 b) Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt C(x1;y1); D(x2;y2) 
thỏa mãn: y1+ y2 = x1.x2 + 57 
Giải 
a) Khi m=2. Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d) 
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 
 x2=2( m − 3) x − m 2 + 7 x 2 − 2( m − 3) x + m 2 − 7 = 0(*) 
Khi m=2 pt (*) xx2 +2 − 3 = 0 
Giải được nghiệm xx12=1; = − 3. 
Vậy toạ độ giao điểm của (d) và (P) là: A(1;1) B(-3;9) 
b) Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt C(x1;y1); D(x2;y2) thỏa 
mãn: y1+ y2 = x1.x2 + 57 
+) (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt (*) có hai nghiệm phân biệt 
 8
 ' >0 m 
 3
 22 2
+) yyxx1212+=. + += 57 xxxx 1212 . + +− 57( xx 12) 3 xx 12 . = 57 (**) 
 2
Áp dụng hệ thức Vi-et cho pt (*) ta có x1+x2=2(m-3); x1.x2=m -7 
 (**) 4(m − 3)2 − 3( m22 − 7) = 57 m − 24 m = 0
 m= 0( tmdk ) 
 m= 24( loai )
Vậy m = 0 
Ví dụ 7. Cho Parabol (P): yx= 2 và đường thẳng (d): y=(2 m + 1) x − 2 m . 
a) Khi m=1. Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d) 
b) Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt P(x1;y1); Q(x2;y2) sao cho 
 T= y1 + y 2 − x 1 x 2 nhỏ nhất 
Giải. 
a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 
 x22=(2 m + 1) x − 2 m x −( 2 m + 1) x + 2 m = 0(*) 
(*) x2 −(2 m + 1) x + 2 m = 0 
Khi m=1 pt xx2 −3 + 2 = 0 
Giải được nghiệm xx12==1; 2 . 
Vậy toạ độ giao điểm của (d) và (P) là: A(1;1) B(2;4) 
 13 Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở 
 2 −1
(**)(2m) − 4( m2 − 2 m − 2) = 4 m = (tmđk) 
 2
 −1
Vậy m = 
 2
Ví dụ 9. Cho ():P y= − x2 ;(d): y = − 2( m + 1) x + 2 m + 1. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai 
điểm phân biệt có hoành độ giao điểm đều lớn hơn -1 
Giải: 
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d') và (P): 
 x2 −2( m + 1) x + 2 m + 1 = 0 (*) 
 (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ giao điểm đều lớn hơn -1 phương 
trình (*) có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn -1 
+) Pt có 2 nghiệm pb ' 0 mm2 0 0 
+) Vì a + b + c = 0, nên theo hệ thức Vi-et, pt đã cho có 2 nghiệm pb: 
 x12= 1;x = 2m + 1 
Để 2 nghiệm của pt đều lớn hơn -1 2mm + 1 − 1 − 1 
 m1 −
Kết hợp điều kiện: 
 m0 
Ví dụ 10. Cho Parabol (P): yx= 2 và đường thẳng (d): y=(2 m + 1) x − 2 m . 
a) Khi m=1. Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d) 
b) Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt trong đó có một điểm có 
hoành độ nhỏ hơn 1. 
Giải 
a) Xét pt hoành độ giao điểm của (d) và (P): 
Khi m=1 pt xx2 −3 + 2 = 0 
Giải được nghiệm . 
Vậy toạ độ giao điểm của (d) và (P) là: A(1;1) B(2;4) 
b) +) (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt (*) có hai nghiệm phân biệt 
 >0 m 0,5 
 x2 −(2 m + 1) x + 2 m = 0
Từ (*) chỉ ra được hai nghiệm của pt là: x= 1 và x = 2m 
+) Để để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt trong đó có một điểm có hoành 
 xx12==1; 2
 15