Sáng kiến kinh nghiệm Các phương pháp giải phương trình một ẩn trong chương trình Toán THCS

 UBND QUẬN THANH XUÂN
 TRƯỜNG THCS THANH XUÂN NAM
 ***************
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG 
TRÌNH MỘT ẨN TRONG CHƯƠNG TRÌNH 
 TOÁN THCS
 Tên tác giả: Nguyễn Thị Thanh Tâm
 Lĩnh vực/Môn: Toán
 Cấp học: Trung học cơ sở
 Năm học: 2020- 2021
 1/27 Các phương pháp giải phương trình một ẩn trong chương trình toán THCS 
 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
 STT Nội dung viết tắt Kí hiệu viết tắt
 1 Trung học cơ sở THCS
 3/27 Các phương pháp giải phương trình một ẩn trong chương trình toán THCS 
với từng đối tượng học sinh, đồng thời nâng cao trình độ nghiệp vụ của giáo 
viên.
 - Đối với học sinh: Nắm được một cách có hệ thống các khái niệm về phương 
trình, các tính chất và đặc biệt là các phép biến đổi tương đương, các hệ quả. Từ 
đó nhằm phát trển khả năng tư duy lôgic cho học sinh. Giúp học sinh phát triển 
trí tuệ thông qua hệ thống bài tập. Học sinh thấy được sự thuận tiện hơn giữa 
giải bài toán số học và phương trình.
II . NỘI DUNG.
A- Những kiến thức cần thiết để giải phương trình :
1. Các định nghĩa.
 a) Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn:
 Cho A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa biến x, khi nói A(x) = B(x) là một 
phương trình ta hiểu rằng phải tìm các giá trị của x để các giá trị tương ứng của 
hai biểu thức này bằng nhau.
 - Biến x gọi là ẩn.
 - Giá trị tìm được gọi là nghiệm.
 - Mỗi biểu thức gọi là một vế của phương trình.
 - Việc tìm nghiệm gọi là giải phương trình. 
 b) Tập xác định của phương trình: Là những giá trị của biến làm cho mọi 
biểu thức trong phương trình đều có nghĩa.
 c) Đối với hai phương trình tương đương: Hai phương trình gọi là tương 
đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm.
 d) Định nghĩa hai phương trình hệ quả. 
 Nếu mỗi nghiệm của phương trình thứ nhất đều là nghiệm của phương 
trình thứ hai thì phương trình thứ hai gọi là phương trình hệ quả của phương 
trình thứ nhất.
 5/27 Các phương pháp giải phương trình một ẩn trong chương trình toán THCS 
 Nhận xét : Giải phương trình : m x + n = 0. Phương trình đã cho chưa 
chắc là phương trình bậc nhất một ẩn nên khi giải cần phải xét hết các trường 
hợp.
 m ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = - n/ m 
 m = 0 thì phương trình có dạng 0 x = - n 
 - Nếu n = 0 thì phương trình có vô số nghiệm 
 - Nếu n ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm 
2. Phương trình bậc hai một ẩn.
 Dạng tổng quát : ax2 + b x + c = 0 (a, b, c € R , a≠ 0) 
 Cách giải : 
a) Dùng công thức nghiệm : 
 = b2 - 4ac = b’2 - ac (b’ = b/2)
 < 0 phương trình vô nghiệm , < 0 phương trình vô nghiệm
 = 0 phương trình có nghiệm kép , = 0 phương trình có nghiệm kép
 x1 = x2 = - b/2a x1 = x2 = - b’/a 
 > 0 phương trình có 2 nghiệm , > 0 phương trình có 2 nghiệm phân 
phân biệt biệt
 b b' '
 x1,2 = x1,2 = 
 2a a
 2
b) Dùng định lý Vi-et: Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c có hai nghiệm x1, 
x2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là:
 S = x1 + x2 = -b/a và P= x1x2 = c/a
c) Phân tích vế trái thành tích.
d) Giải bằng phương pháp đồ thị.
 7/27 Các phương pháp giải phương trình một ẩn trong chương trình toán THCS 
 Giải phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 
 ax2 = - bx - c
 Nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của đường cong
 P : y = ax2 và đường thẳng D: y = - bx - c
 - Nếu P và D không cắt nhau thì phương trình vô nghiệm.
 - Nếu P và D tiếp xúc thì phương trình có nghiệm kép.
 - Nếu P và D cắt nhau tại hai điểm thì phương trình có 2 nghiệm phân 
biệt.
 Ví dụ: Giải phương trình : x2 - 9x + 20 = 0 x2 = 9x - 12 
 P: y = x2 ; D: y = 9x - 20
 Trong phương trình bậc hai, ngoài việc trang bị cho học sinh cách giải 
còn phải cho học sinh tiếp cận với một số dạng toán khác như:
2.1/ Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm.
 Để xét một phương trình bậc 2 có nghiệm ta có thể:
 - Chứng tỏ 0
 Ví dụ: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi m
 mx2 - 2(m - 1)x- (8m + 3) = 0 (1)
 Nếu > 0 thì , = (m-1)2 + m(8m + 3)
 = m2 - 2m + 1 + 8m2 + 3m
 = 9m2 + m + 1 > 0  m 
 Nếu m = 0 => (1) 2x - 3 = 0 => x = 3/2
 Trong khi xét điều kiện có nghiệm của phương trình ta cần chú ý
 Nếu ac 0 mà a ≠ 0 ta cũng có 0 nên phương trình ax2 + bx + c = 0 
có nghiệm.
 9/27 Các phương pháp giải phương trình một ẩn trong chương trình toán THCS 
 x2 + 2ax + b = 0 (1)
 x2 + 2bx + a = 0 (2)
 Bài 3: Cho phương trình f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1). Chứng minh 
rằng nếu tồn tại 2 giá trị ,  của x mà f(x) đổi dấu (tức là f( ), f( ) 0) thì 
phương trình (1) có nghiệm.
 Dùng điều kiện có nghiệm của một phương trình bậc hai để chứng minh 
một phương trình có nghiệm.
2.2/ Quan hệ giữa các nghiệm của hai phương trình bậc 2.
 Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của m để hai phương trình sau có ít nhất một 
nghiệm chung.
 2x2 - (3m - 1)x - 3 = 0 (1)
 6x2 - (2m - 3)x - 1 = 0 (2)
 Giải: Gọi x0 là nghiệm chung của (1) và (2). Thay vào 2 phương trình ta 
được:
 (11m - 6) x0 = 8
 Với m = 6 thì 2 phương trình (1) và (2) vô nghiệm.
 11
 6 8
 Với m ≠ thì x0 = thay vào (1) và rút gọn
 11 11m 6
 99m2 - 164m - 68 = 0 (3)
 Nghiệm nguyên của (3) là m = 2
 Với m = 2 (1) là : 2x2 + 5x - 3 = 0, nghiệm là: 1/2 và -3
 (2) là : 6x2 - x - 1 = 0, nghiệm là: 1/2 và -1/3
2.3/ So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số cho trước.
 • So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số 0.
 11/27 Các phương pháp giải phương trình một ẩn trong chương trình toán THCS 
 Cho tam thức bậc 2: f(x) = ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và một số thực nằm 
trong khoảng hai nghiệm đó: 
 - Nếu af( ) > 0 và ≠ 0 thì f(x) có nghiệm và nằm ngoài khoảng hai 
nghiệm đó.
 - Nếu af( ) < 0 thì f(x) có hai nghiệm x1; x2 và x1 < < x2 
Ví dụ: Tìm m để phương trình 3x 2 - 4x + 2(m - 1) = 0 (1) có hai nghiệm phân 
biệt nhỏ hơn 2.
 Giải: Đặt X = x - 2 => x = X + 2
 (1) trở thành 3(X + 2)2 - 4(X + 2) + 2(m - 1) = 0
 3X2 + 8X + 2(m + 1) = 0 (2)
 Phương trình có nghiệm khi:
 > 0 m < 5/3
 P > 0 m > -1 -1 < m < 5/3
 S < 0 -8/3 < 0
 Ta phải tìm điều kiện của m để phương trình (2) có 2 nghiệm âm 
 -1 < m < 5/3.
 Vậy với -1 < m < 5/3 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt nhỏ 
hơn 2.Nhận xét:
 Như vậy với trường hợp so sánh nghiệm của phương trình với số ≠ 0 
ta đặt ẩn phụ đưa về một phương trình bậc hai khác mà ta cần so sánh nghiệm 
của phương trình đó với 0.
Bài tập: 
 1. Cho phương trình: mx2 - 2(m - 1)x + (m - 1) = 0 (1) (m là tham số)
 a) Giải phương trình với m = -2.
 b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
 13/27 Các phương pháp giải phương trình một ẩn trong chương trình toán THCS 
 n N, n > 2 ta phân tích P(x) thành một tích các thừa số bậc nhất hoặc bậc 
 hai, ta thường sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm. Nếu a là nghiệm của đa 
 thức P(x) thì P(x) chia hết cho x - a, từ đó hạ bậc phương trình.
 Chú ý: 
 - Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm.
 - Nếu đa thức có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng 
 các hệ số của các số hạng bậc lẻ thì -1 là một nghiệm.
 Ví dụ: Giải phương trình : 2x3 - x2 + 3x + 6 = 0
 Tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng 5, tổng các hệ số 
 của các số hạng bậc lẻ cùng bằng 5 do đó phương trình có nghiệm là 
 x = -1, ta biến đổi
 2x3 - x2 + 3x + 6 = 0
 2x2(x + 1) - 3x(x + 1) + 6(x + 1) = 0
 (x + 1) . (2x2 – 3x + 6) = 0
 Giải: x + 1 = 0 => x = -1.
 2x2 - 3x + 6 = 0 vô nghiệm.
 Phương trình đã cho có một nghiệm là: x = -1
 - Sai lầm của học sinh hay mắc phải là không biến đổi cho một vế 
bằng 0.
 + Ví dụ: Giải phương trình.
 x4 - 1 = 3 (x - 1).(x + 1).( x2 + 1) = 3
 x - 1 = 3
 x + 1 = 3 (sai)
 x2 + 1 = 3
 b) Phương pháp đặt ẩn phụ.
 15/27 Các phương pháp giải phương trình một ẩn trong chương trình toán THCS 
 x 2 4x 1 0
 x1,2 2 3
 2 1 5
 + Với X ta có: x 
 2 5 x 2
 2 x2-5x +2 =0
 x3=1/2 , x4=2
 Phương trình đã cho có các nghiệm là:
 x1,2 = - 2 3 x3 = 1/2 , x4 = 2
+ Phương trình dạng (x a) 4 (x b) 4 c
 a b
 Đặt ẩn phụ y = x 
 2
 Ví dụ: Giải phương trình: (x 2) 4 (x 4) 4 16
 Đặt x + 3 = y. Ta có: (y 1) 4 (y 1) 4 16
 Rút gọn ta được y 4 6y 2 7 0
 y 2 1; y 2 7 ( loại )
 Với y = 1. Ta được x = - 2
 y =-1. Ta được x= - 4
 + Phương trình dạng: (x + 4)(x + b)(x +c)(x + d) = mx 2
 Với ad = bc
 Đặt ẩn phụ là y = x + ad hoặc y = (x + a)(x + d)
 2
 + Phương trình dạng: ( x + a)(x + b)(x + c)( x + d) = mx 2
 Với ad = bc 
 Đặt ẩn phụ là y = x + ad hoặc y = (x + a) (x+d)
 2
 17/27 Các phương pháp giải phương trình một ẩn trong chương trình toán THCS 
 - Quy đồng khử mẫu đưa về các dạng phương trình đã nêu ở trên 
tuy nhiên có một số phương trình phân thức hữu tỷ có thể giải bằng biến đổi dẫn 
đến đặt ẩn phụ để đưa về các phương trình đơn giản .
 18
 Ví dụ : Giải phương trình x 2 + x - = 3
 x 2 x
 Giải :
 TXĐ : x ≠ 0 ; x ≠ -1 
 18
 Đặt x2 + x = y ta có y - = 3 ( y ≠ 0 )
 y
 y2 - 3y - 18 = 0
 y1 = - 3 ; y2 = 6
 Với y1 = - 3; y2 = 6
 2 2
 Với y = 6 thì x + x - 6 = 0 => x1 = 2; x2 = -3
 Nghiệm của phương trình là : x1 = 2 ; x2 = - 3
 Nhận xét : Sai lầm của học sinh đối với dạng này là không tìm TXĐ 
của các biểu thức trong phương trình dẫn đến biến đổi không tương đương 
. Vì vậy đã không loại nghiệm không phù hợp .
 Bài tập : Giải các phương trình :
 1 1
 1. x2 + x + + = 0 
 x x 2
 1 1
 2. 2(x2 + ) - (x + ) = 6 
 x 2 x
 x 2 1
 3. + x = - 5
 x x 2 1 2
 2
 4. x4 + 2x 1 = 2
 2x 2 1 x 4
5. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối .
 19/27