Sáng kiến Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong ôn thi vào Lớp 10

 Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
 ôn thi vào lớp 10 ”
 A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài:
 Nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường THCS nơi tôi đang công tác 
là nhiệm vụ rất quan trọng và cũng là mục tiêu phấn đấu của mỗi giáo viên .Đặc 
biệt là vấn đề chất lượng giáo dục đối với học sinh lớp 9 .Bởi vì đây là lớp cuối 
cấp , quyết định kết quả thi tuyển vào lớp 10 THPT, đánh dấu một bước ngoặt 
chuyển tiếp quan trọng trên con đường học tập của học sinh .
 Là một giáo viên đang giảng dạy môn Toán 9 . Tôi luôn trăn trở một điều 
làm thế nào để nâng cao chất lượng bộ môn .Muốn vậy tôi cho rằng giáo viên 
cần nâng cao chất lượng ngay từng giờ lên lớp , chú trọng đến việc đổi mới 
phương pháp dạy học , tích cực kiểm tra và theo dõi sát sao việc học tập của học 
sinh . Từ đó người Thầy uốn nắn , giải đáp vướng mắc cho các em và điều chỉnh 
phương pháp dạy sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh . Đồng thời 
người Thầy thường xuyên ôn tập , hệ thống kiến thức , phân loại bài tập , hình 
thành phương pháp và kỹ năng giải Toán cho học sinh .
 Chủ đề rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan trong tài liệu ôn thi vào 
10 đòi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp và kỹ năng nhất định .
 Cho nên, trong thời gian đầu học sinh làm quen dạng toán này , nếu giáo 
viên cho học sinh ôn tập ngay theo các bài tập của tài liệu thì nhiều em không có 
khả năng tiếp thu bài học ,dẫn đến hiệu quả của tiết dạy chưa đạt theo mong 
muốn . Bởi vì các em quên kiến thức cũ như : Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ ,các 
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử , cách quy đồng mẫu , kỹ năng 
biến đổi đồng nhất biểu thức , giải phương trình, bất phương trìnhCác em 
chưa thể tiếp cận ngay được với các bài toán cần sự biến đổi tổng hợp , liên quan 
đến nhiều kiến thức .
 Vì vậy vấn đề đặt ra là người Thầy cần dạy dạng toán biến đổi các biểu 
thức chứa căn cho học sinh , đặc biệt là học sinh đại trà như thế nào để các em 
nắm được bài , có kết quả cao , góp phần nâng cao tỷ lệ tuyển sinh . Sau đây bản 
thân Tôi xin nêu ra một số phương pháp giải các dạng Toán liên quan đến rút 
gọn trong ôn thi vào lớp 10 , nhằm rèn luyện kỹ năng giải Toán cho học sinh lớp 
9 và nâng cao chất lượng thi tuyển sinh mà bản thân Tôi đã áp dụng trong hai 
năm học vừa qua và sẽ tiếp tục áp dụng trong năm học này .
II.Mục đích , yêu cầu và nhiệm vụ của đề tài .
1.Mục đích 
 1 | 2 3 Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
 ôn thi vào lớp 10 ”
nhìn nhận bao quát, toàn diện , định hướng giải toán đúng đắn và nắm kiến thức 
sâu sắc .Giúp cho các em có kiến thức cơ bản nhất khi tuyển sinh vào lớp 10 .
 Giúp cho giáo viên phân loại có hệ thống các bài toán về biến đổi căn thức 
bậc hai .Xây dựng phương pháp dạy phù hợp với đối tượng học sinh ,nhằm nâng 
cao chất lượng môn toán ở trường đồng thời nâng cao chất lượng thi tuyển sinh 
IV.Phương pháp nghiên cứu
 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết .
 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn .
 Phương pháp dạy học đổi mới theo hướng tích cực hóa hoạt động của học 
sinh
V. Thời gian thực hiện
 Đề tài này tôi đã nghiên cứu trong năm học 2017-2018 và được áp dụng 
trong năm học 2018-2019 đến nay tại trường THCS tôi đang công tác .
 B.NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
I.Cơ sở lý thuyết 
1.Thực trạng
* Thuận lợi
 Là giáo viên đang trực tiếp giảng dạy môn toán ở bậc THCS và đã có 
điều kiện giảng dạy đủ các khối lớp 6,7,8,9. Tôi được trực tiếp giảng dạy với 
nhiều đối tượng học sinh từ Giỏi ,Khá ,Trung bình ,Yếu , vì thế biết được chỗ 
mạnh, chỗ yếu và những sai lầm học sinh thường mắc phải. 
Được sự giúp đỡ nhiệt tình của các đồng nghiệp, các em học sinh. Có sự tích lũy 
kinh nghiệm của những năm giảng dạy ,sự đa dạng của tài liệu tham khảo. 
*Khó khăn
 Ở trường THCS ,nhiều học sinh chưa có định hướng nghề nghiệp trong 
tương lai, các em hầu hết chưa có ý thức tự giác trong học tập .Đặc biệt môn 
toán là một môn học trừu tượng ,được coi là môn học khó ,cần có sự tư duy ,suy 
luận .
 Là một giáo viên trẻ nên còn hạn chế về kinh nghiệm, nhận thức của học 
sinh trong lớp không đồng đều .
 Khi tôi tiến hành khảo sát toàn bộ học sinh khối 9 tại trường THCS nơi tôi 
đang công tác ( Năm 2017-2018 ) về việc học sinh có nhận dạng được các dạng 
 3 | 2 3 Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
 ôn thi vào lớp 10 ”
 1) Bình phương một tổng : ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
 2) Bình phương một hiệu : ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
 3) Hiệu hai bình phương : a2 – b2 = ( a + b ).( a – b )
 4) Lập phương một tổng : ( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
 5) Lập phương một hiệu : ( a - b )3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
 6) Tổng hai lập phương : a3 + b3 = ( a + b).( a2 - ab + b2 )
 7) Hiệu hai lập phương : a3 - b3 = ( a - b).( a2 + ab + b2 )
Biết vận dụng nó để đưa ra những hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 9(theo thứ tự 
) viết dưới dạng có dấu căn :
 2
1) a 2 ab b a b 
 2
 2) a 2 a 1 a 1 
 2 2
 3) a b a b a b . a b 
 3 3
 4) a a b b a b ( a b). a ab b 
 3
 5)1 a a 1 3 a (1 a). 1 a a 
 6) a b b a ab( a b)
 7) a a a( a 1)
1.3 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử .
 +Đặt nhân tử chung
 +Dùng hằng đẳng thức
 +Nhóm hạng tử
 +Tách hạng tử .....
1.4 Các bước quy đồng mẫu các phân thức ....
 + Phân tích các mẫu thành nhân tử
 +Tìm mẫu thức chung 
 +Tìm nhân tử phụ của từng phân thức, sau đó nhân cả tử và mẫu của mỗi 
phân thức với nhân tử phụ tương ứng
1.5 Các kiến thức về căn bậc hai . 
 1) Nếu a ≥ 0, x ≥ 0, a = x x2 = a 
 2) Để A có nghĩa thì A ≥ 0
 3) A2 A
 4) AB A. B ( với A 0 và B 0 )
 A A
 5) ( với A 0 và B > 0 )
 B B
 6) A2 B A B (với B 0 )
 7) A B A2 B ( với A 0 và B 0 )
 A B A2 B ( với A < 0 và B 0 )
 5 | 2 3 Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
 ôn thi vào lớp 10 ”
 x 3 6 x 4
 A với x 0; x 1
 x 1 x 1 x 1
Giải: Với x 0; x 1 có:
 x 3 6 x 4
 A MTC: x – 1 = x 1 x 1 
 x 1 x 1 x 1
 x x 1 3 x 1 6 x 4
 ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1)
 x x 1 3 x 1 (6 x 4) x x 3 x 3 6 x 4
 ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1)
 2
 x 2 x 1 x 1 x 1
 ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) x 1
Nhận xét: Ta thấy ( x 1)( x 1) = x – 1 (Bài toán đã cho ĐKXĐ) nên ta nhận 
định được ngay MTC = x – 1, từ đó ta quy đồng mẫu và rút gọn phân thức.
 6 x 4
Lưu ý: Đối với bài toán này HS rất dễ bị sai dấu ở phân thức vì khi 
 x 1
đưa dấu trừ lên tử HS không đổi dấu hạng tử (-4 ) thành (+4)dẫn đến sai kết 
quả rút gọn, kéo theo sai hết cả hệ thống bài tập liên quan đến rút gọn phía sau 
.Vì vậy HS có thể bị mất điểm ở câu này . 
 Bài 2: Rút gọn biểu thức
 2x x 2 1 x
 M với x 0; x 4
 x 4 x 2 2 x
Phân tích : Nhận thấy x 4 x 2 x 2 2 x x 2 
 Chú ý : (A - B) = -(B - A)
Như vậy, để thuận lợi cho việc quy đồng mẫu ta nên đổi dấu 2 x x 2 
rồi chuyển dấu (-) lên trên tử và rút gọn tiếp.
 2x x 2 1 x
Gợi ý : M (Giống bài 1 HS tự giải tiếp)
 x 4 x 2 x 2
Lưu ý: GV nhấn mạnh cho HS để tránh sai sót đáng tiếc trong quá trình làm bài 
cần đặc biệt chú ý đến kỹ năng về dấu khi thực hiện nhân đa thức với đa thức và 
khi thu gọn các hạng tử đồng dạng .
 x x 2 2 x
Bài 3 : Rút gọn P : với x 0; x 1
 x 1 x 1 x x x 1 
Giải : Với x 0; x 1
 x x x x x( x 1) x x 2 x
Đặt A 
 x 1 x 1 x 1 ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1)
 2 2 x 2 x 1 2 x 
Đặt B 
 x x x 1 x x 1 
 7 | 2 3 Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
 ôn thi vào lớp 10 ”
 x
Rút gọn A với x > 0 HS hay mắc sai lầm là chia cả tử và mẫu cho x 
 x x
 x 1
được: A ( Sai ) 
 x x x 1
* Giải:
 x 0 x 0
a) ĐKXĐ: 
 x 1 0 x 1
 2
 x 0 x x.1 x x 1 x
 Với có A 2 
 x 1 x 12 x 1 x 1 x 1
 x 0 x 0 x 0
b) ĐKXĐ: x 0
 x 3 x 0 x( x 3) 0 x 0
 Với x > 0 có:
 x 9 x 3 x 3 x 3
 B 
 x 3 x x x 3 x
 x 0
 x 0 x 0 x 0
c) ĐKXĐ: x 0 
 2x 2 x 0 2 x( x 1) 0 x 1
 x 1
 2
 x 2 x 1 x 1 x 1
 Có: C 
 2x 2 x 2 x x 1 2 x
 x 2 1 1
Bài 3 : Rút gọn M với x > 0
 x 2 x x x 2
Phân tích : Ta nhẩm nhanh thấy x x 2 x 2 x Vậy với việc đi tìm MTC 
của các phân thức ta sẽ đi phân tích mẫu cồng kềnh hơn thành nhân tử .
 Giải :
 x 2 1 1
 M với x > 0
 x 2 x x x 2
 x 2 1( x 2) 1 x
 x( x 2) x( x 2) x( x 2)
 x 2 x 2 x x 4
 x( x 2) x( x 2)
 x 2 x 2 x 2
 x( x 2) x
Bài 4 : (TK đề thi vào 10 năm 2013 - 2014)
 2 x x x 2 x 1 A
Với x > 0, cho A và B . Rút gọn biểu thức M 
 x x x x B
 x x 2 x 1 x( x 1) 2 x 1
Giải : Với x > 0, rút gọn B 
 x x x ( x)2 x( x 1)
 9 | 2 3 Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
 ôn thi vào lớp 10 ”
tích của 2 đa thức x 2 x 3 . Sau đó thực hiện các bước làm giống các bài 
toán trên .
- Đối với HS đại trà thì phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách 
hạng tử là 1 bài toán khó .Vì vậy GV cùng HS sẽ nhắc lại cách làm , và sau đây 
là 1 gợi ý :Phân tích đa thức có dạng a.x2 b.x c 0 a,b,c R;a 0 thành nhân 
tử ta làm như sau :
+) Bước 1 : Tính tích a.c
+) Bước 2 : Viết tích a.c thành tích của 2 số nguyên bất kì 
+) Bước 3 : Chọn 2 số nguyên nào( giả sử b1;b2 ) có tổng đúng bằng hệ số b
Khi đó tách hạng tử b.x = b1 b2 x
- Khi làm dạng toán này HS hay bị nhầm ở chỗ là tách 1 hạng tử thành 2 hạng 
tử xong lại không kiểm tra lại xem 2 hạng tử sau khi tách có tổng đúng bằng 
hạng tử ban đầu không .
 2 x 9 x 3 2 x 1
Bài 2 : Rút gọn B với x 0; x 4; x 9
 x 5 x 6 x 2 3 x
Phân tích : Ta nhân thử ra nháp hai mẫu riêng (đơn giản hơn)
 x 2 3 x x 5 x 6 x 5 x 6 x 2 3 x x 5 x 6 
Từ đây ta nên đổi dấu mẫu 3 x thành x 3 và chuyển dấu trừ lên tử, ta 
sẽ được bài tương tự bài trên.
* Lưu ý : Khi trình bày các bài mà có dấu (-) ở trước phân thức thì khi đưa dấu 
(-) lên tử ta nên đưa toàn bộ đa thức trên tử vào trong ngoặc để tránh nhầm 
dấu và luôn cẩn trọng kiểm tra kỹ lại dấu trước khi làm tiếp để tránh sai sót 
đáng tiếc .
2.4 Dạng 4: Mẫu phân tích thành nhân tử sử dụng hằng đẳng thức 
 a3 + b3 = ( a + b).( a2 - ab + b2 )
 a3 - b3 = ( a - b).( a2 + ab + b2 )
* Ví dụ minh họa
 1 1 3 x 3
Bài 1 : Rút gọn M . với x 0; x 1
 x 1 x x 1 x x
 Giải : Với x 0; x 1 ta có :
 1 1 3 x 3 1 1 3( x 1)
 M . .
 x 1 x x 1 x x x 1 ( x 1)(x x 1) x( x 1)
 x x 1 1 3( x 1) x( x 1).3 3
 . 
 ( x 1)(x x 1) x( x 1) (x x 1) x( x 1) x x 1
* Lưu ý : Đối với dạng toán này sử dụng hằng đẳng thức 
 a3 + b3 = ( a + b).( a2 - ab + b2 )
 a3 - b3 = ( a - b).( a2 + ab + b2 )
Là dạng toán khó đối với HS và HS hay bị sai dấu ở nhân tử bình phương thiếu 
của 1 tổng và bình phương thiếu của 1 hiệu vì không nhớ đúng hằng đẳng thức . 
Vì vậy khi làm bài cần kiểm tra kỹ lại dấu rồi mới làm tiếp .
 11 | 2 3