Sáng kiến kinh nghiệm Giải bài toán bằng cách lập phương trình

 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 
 MỤC LỤC 
 NỘI DUNG TRANG 
PHẦN A: MỞ ĐẦU 2 
 I. Lý do chọn đề tài 2 
 II. Mục đích nghiên cứu 2 
 III. Phương pháp nghiên cứu 2 
 IV. Đối tượng nghiên cứu 3 
 V. Phạm vi nghiên cứu 3 
PHẦN B: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 3 
 I. Đường lối chung để giải bài toán 3 
 bằng cách lập phương trình 
 II.Phân tích bài toán 4 
 III. Một số ví dụ điển hình về các dạng toán 11 
PHẦN C: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN 18 
PHẦN D: KẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM 19 
 1/20 
 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 
 IV. Đối tượng nghiên cứu 
 Học sinh lớp 8 và 9 tại trường trung học cơ sở. 
 V. Phạm vi nghiên cứu 
 Kĩ năng "Giải bài toán bằng cách lập phương trình ". 
 B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 
 Xuất phát từ thực tế là các em học sinh thường lo sợ khi gặp các bài toán 
về dạng “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” tôi thấy cần phải tạo ra cho 
các em có niềm yêu thích say mê học tập dạng toán này, luôn tự đặt ra những 
câu hỏi và tự mình tìm ra câu trả lời. Khi gặp các bài toán khó, phải có nghị lực, 
tập trung tư tưởng, tin vào khả năng của mình trong quá trình hoc tập. Để giúp 
học sinh bớt khó khăn và cảm thấy dễ dàng hơn trong việc: “Giải bài toán bằng 
cách lập phương trình”, tôi thấy cần phải hướng dẫn học sinh cách lập phương 
trình rồi giải phương trình một cách kỹ càng, yêu cầu học sinh có kỹ năng thực 
hành giải toán phần này cẩn thận. 
 Việc hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải toán phù hợp với từng 
dạng bài là một vấn đề quan trọng, chúng ta phải tích cực quan tâm thường 
xuyên, không chỉ giúp các em nắm được lý thuyết mà còn phải tạo ra cho các em 
có một phương pháp học tập cho bản thân, rèn cho các em có khả năng thực 
hành. Nếu làm được điều đó chắc chắn kết quả học tập của các em sẽ đạt được 
như mong muốn. 
 “Giải bài toán bằng cách lập phương trình”: đây là một trong những dạng 
toán lập phương trình cơ bản mà lớp 8 là tiền đề để các em được làm quen 
những dạng đơn giản, là cơ sở cho nhưng bài toán phức tạp ở lớp 9. Nên đòi hỏi 
phải hướng dẫn cụ thể để học sinh nắm một cách chắc chắn. 
 I- ĐƯỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP 
PHƯƠNG TRÌNH : 
 Trước hết phải cho các em nắm được lược đồ để “Giải bài toán bằng cách 
lập phương trình” 
 Bước 1 : Lập phương trình : 
 - Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số; 
 - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết; 
 - Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. 
 Bước 2 : Giải phương trình (hệ phương trình). 
 Bước 3 : Trả lời. Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, 
nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận. 
 Chú ý: Bước 1 tuy đơn giản nhưng rất quan trọng. Thường đầu bài hỏi đại 
lượng gì thì ta đặt đại lượng đó là ẩn số. Xác định đơn vị đo và điều kiện của ẩn 
phải phù hợp với đề bài thực tiễn. 
 3/20 
 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 
 Phân tích: 
 Ở đây, ta gặp các đại lượng: Số áo may trong một ngày ( đã biết), Tổng số 
áo may và số ngày may (chưa biết): Theo kế hoạch và thực tế đã thực hiện. 
Chúng ta có quan hệ: 
 Số áo may trong một ngày x số ngày may = Tổng số áo may. 
 Cách chọn ẩn: Ta chọn ẩn là một trong các đại lượng chưa biết. 
 - Cách 1: Ta chọn x là số ngày hoàn thành công việc theo kế hoạch. Quy 
luật trên cho phép ta lập bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài 
toán ( Giáo viên kẻ bảng và hướng dẫn học sinh điền vào bảng) 
 Số áo may trong1 số ngày Tổng số áo 
 ngày may may 
 Theo kế 90 x 90x 
 hoạch 
 Đã thực 120 x - 9 120(x - 9) 
 hiện 
 Phương 120 (x-9) = 90x + 60 
 trình 
 Từ đó, quan hệ giữa tổng số áo đã may được và số áo may theo kế hoạch 
được biểu thị bởi phương trình: 
 120(x - 9) = 90x +60. 
 - Cách 2: 
 * Hoặc khi giải bài toán: “Lúc đầu số lượng dầu trong thùng thứ nhất gấp 
đôi lượng dầu trong thùng thứ hai. Nếu bớt ở thùng thứ nhất 75 lít và thêm vào 
thùng thứ hai 35 lít thì số dầu trong hai thùng bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi thùng 
chứa bao nhiêu lít dầu?” 
 Tóm tắt : 
 Lúc đầu : - Số dầu thùng I(T 1) bằng 2 lần số dầu thùng II (T 2) 
 - Bớt thùng I đi 75lít. 
 - Thêm vào thùng II là 35 lít. 
 Lúc sau : - Số dầu thùng I bằng số dầu thùng II. 
 Tìm lúc đầu : Thùng I ? (lít), thùng II ? (lít) 
 - Tiếp theo hướng dẫn học sinh trả lời các câu hỏi sau : 
 + Bài toán có mấy đối tượng tham gia? (2 đối tượng - là 2 thùng 
 dầu). 
 + Quan hệ hai “đối tượng” này lúc đầu như thế nào? 
 T1 = 2T 2 
 + Hai “đối tượng” này thay đổi thế nào? (Thùng I bớt 75lít, thùng II thêm 
35lít). 
 + Quan hệ hai “đối tượng” này lúc sau ra sao (Số dầu T 1 = số dầu T 2). 
 5/20 
 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 
 Chắc chắn là giải phương trình (1) dễ dàng hơn phương trình (2) bởi vì 
khi giải phương trình (2) ta phải quy đồng mẫu chung hai vế của phương trình 
rồi khử mẫu, điều này cũng gây lúng túng cho các em. 
 Từ đó cần chốt lại cho học sinh là ta nên chọn số lít dầu thùng II lúc đầu 
là ẩn, vì nếu chọn số dầu thùng I lúc đầu là ẩn thì lập phương trình có dạng phân 
số, ta giải khó khăn hơn. 
 Tóm lại : Nếu hai đối tượng quan hệ với nhau lúc đầu bởi đối tượng này 
gấp mấy lần đối tượng kia thì ta phải cân nhắc xem nên chọn đối tượng nào là ẩn 
để bớt khó khăn khi giải phương trình. 
 Nếu gặp bài toán liên quan đến số người, số con thì điều kiện của ẩn : 
“nguyên dương” đồng thời phải lưu ý xem ẩn đó còn kèm theo điều kiện gì thêm 
mà nội dung thực tế bài toán cho. 
 Ở chương trình lớp 8, 9 thường gặp các bài toán về dạng chuyển động ở 
dạng đơn giản như : Chuyển động cùng chiều, ngược chiều trên cùng quãng 
đường hoặc chuyển động trên dòng nước. 
 Do vậy, trước tiên cần cho học sinh nắm chắc các kiến thức, công thức 
liên quan, đơn vị các đại lượng. 
 Trong dạng toán chuyển động cần phải hiểu rõ các đại lượng quãng 
đường, vận tốc, thời gian, mối quan hệ của chúng qua công thức S = v.t . Từ đó 
suy ra: 
 s s
 v = ; t = 
 t v
 Hoặc đối với chuyển động trên sông có dòng nước chảy. 
 Thì : V xuôi = V Riêng + V dòng nước 
 Vngược = V Riêng - V dòng nước 
 * Ta xét bài toán sau : Để đi đoạn đường từ A đến B, xe máy phải đi hết 
3giờ 30’; ô tô đi hết 2giờ 30’ phút. Tính quãng đường AB. Biết vận tốc ôtô lớn 
hơn vận tốc xe máy là 20km/h. 
 Đối với bài toán chuyển động, khi ghi tóm tắt đề bài, đồng thời ra vẽ sơ đồ 
minh họa thì học sinh dễ hình dung bài toán hơn 
 Tóm tắt: 
 Đoạn đường AB A B
 t1 = 3g 30 phút 
 t2 = 2g 30 phút 
 V2 lớn hơn V 1 là 20km/h (V 2 – V1 = 20) 
 Tính quãng đường AB=? 
 - Các đối tượng tham gia :(ô tô- xe máy) 
 - Các đại lượng liên quan : quãng đường , vận tốc , thời gian. 
 - Các số liệu đã biết: 
 + Thời gian xe máy đi : 3 giờ 30’ 
 + Thời gian ô tô đi :2 giờ 30’ 
 7/20 
 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 
 Nhưng ta nên chọn trực tiếp đại lượng bài toán yêu cầu cần phải tìm là ẩn. 
Nhằm tránh những thiếu sót khi trả lời kết quả. 
 Song thực tế không phải bài nào ta cũng chọn được trực tiếp đại lượng 
phải tìm là ẩn mà có thể phải chọn đại lượng trung gian là ẩn. 
 - Cần chú ý một điều là nếu gọi vận tốc ôtô là x (km/h) thì điều kiện x>0 
chưa đủ mà phải x > 20 vì dựa vào thực tế bài toán là vận tốc ôtô lớn hơn vận 
tốc xe máy là 20 (km/h) 
 Đối với bài toán “làm chung – làm riêng một công việc” giáo viên cần 
cung cấp cho học sinh một kiến thức liên quan như : 
 - Khi công việc không được đo bằng số lượng cụ thể, ta coi toàn bộ công 
việc là 1 đơn vị công việc biểu thị bởi số 1. 
 - Năng suất làm việc là phần việc làm được trong 1 đơn vị thời 
 gian. 
 A : Khối lượng công việc 
 Ta có công thức A = nt ; Trong đó n : Năng suất làm việc 
 t : Thời gian làm việc 
 - Tổng năng suất riêng bằng năng suất chung khi cùng làm. 
 - Biết tìm năng suất làm việc như thế nào? thời gian hoàn thành, khối 
lượng công việc để vận dụng vào từng bài toán cụ thể. 
 Khi ta nắm được các vấn đề trên rồi thì các em sẽ dễ dàng giải quyết bài 
toán. 
 Xét bài toán sau : (Bài toán SGK / 79 – ĐS lớp 8) 
 4
 2 vòi cùng chảy 4 giờ đầy bể 
 5
 1
 1 giờ vòi 1 chảy bằng 1 lượng nước vòi 2 
 2
 Hỏi : Mỗi vòi chảy riêng thì bao lâu đầy bể ? 
 - Trước hết phân tích bài toán để nắm được những nội dung sau : 
 + Khối lượng công việc ở đây là lượng nước của một bể. 
 + Đối tượng tham gia ? (2 vòi nước) 
 + Số liệu đã biết ? (thời gian hai vòi cùng chảy). 
 + Đại lượng liên quan: Năng suất chảy của mỗi vòi, thời gian hoàn thành 
của mỗi vòi. 
 + Số liệu chưa biết ? (Thời gian làm riêng để hoàn thành công việc của 
mỗi vòi). 
 - Bài toán yêu cầu tìm thời gian mỗi vòi chảy riêng để đầy bể. 
 Ta tùy ý chọn ẩn là thời gian vòi 1 chảy hoặc vòi 2 chảy đầy bể. 
 Giả sử nếu gọi thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là x (h) 
 4 24
 Điều kiện của x ( x > 4 giờ hay x > giờ) 
 5 5
 9/20 
 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 
 Số đã cho được biết 10x + 16 - x = 9x + 16 
 Đổi vị trí hai chữ số cho nhau thì số mới được viết. 
 10 ( 16 – x ) + x = 160 – 9x 
 Số mới lớn hơn số đã cho là 18 nên ta có phương trình : 
 (160 – 9x) – (9x + 16) = 18 
 - Giải phương trình ta được x = 7 (thỏa mãn điều kiện). 
 Vậy chữ số hàng chục là 7. 
 Chữ số hàng đơn vị là 16 – 7 = 9. 
 Số cần tìm là 79. 
 III- MỘT SỐ VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH VỀ CÁC DẠNG TOÁN : 
 Trong phần soạn một số bài toán điển hình của từng loại, bản thân tôi 
không có tham vọng gì lớn chỉ mong đó là tài liệu tham khảo các em học sinh 
luyện tập thêm. Do đó, bản thân tôi cũng đúc rút từ các sách do quý thầy giáo, 
quý cô giáo đi trước đã dày công nghiên cứu để biên soạn và viết lại. Mong quý 
thầy cô và các em học sinh vui lòng góp ý. 
 1. Loại 1 : Bài toán về chuyển động 
 * Ví dụ : Nhà An và nhà Bình cùng nằm trên đường quốc lộ cách nhau 
7km. Nếu An và Bình đi xe đạp cùng một lúc và ngược chiều thì sau 1 giờ họ 
 4
gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi người, biết rằng vận tốc của An bằng 3 vận tốc 
 4
của Bình. 
 * Lời giải : Gọi vận tốc của Bình là x (km/h)(x > 0) thì vận tốc của An là 
 3 x (km/h). 
 4
 1 1
 Trong giờ, Bình đi được x (km). 
 x 4
 1 3
 An đi được . x (km) 
 4 4
 1 1 3
 Ta có phương trình : x + . x =7 
 4 4 4
 7 1
 Giải ra được : x. =7⇒ x=16 
 4 4
 3 3
 x=16. =12 
 4 4
 1 3
 Thử lại : 16. +12. =12 
 4 4
 Vậy vận tốc của An là 12 (km/h), của Bình là 16 (km/h). 
 11/20