Sáng kiến kinh nghiệm Giải các dạng toán vận dụng hệ thức Vi-ét

 THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 
1. Tên sáng kiến: Giải các dạng toán vận dụng hệ thức Vi-ét. 
2. Lĩnh vực (mã)/ cấp học: Toán(02)/ THCS. 
3. Thời gian áp dụng sáng kiến: 
 Từ ngày 01 tháng 3 năm 2023 đến ngày 14 tháng 4 năm 2023 
4. Tác giả: 
 Họ và tên: Phạm Thị Lan Anh 
 Năm sinh: 1979 
 Nơi thường trú: Thị trấn Gôi - Vụ Bản - Nam Định 
 Trình độ chuyên môn: Đại học Toán 
 Chức vụ công tác: Giáo viên 
 Nơi làm việc: Trường THCS Thị trấn Gôi 
 Điện thoại: 0973 207 186 
 Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 40% 
5. Đồng tác giả: 
 5.1. Họ và tên: Trần Thị Nguyệt 
 Năm sinh: 1969 
 Nơi thường trú: Kim Thái - Vụ Bản - Nam Định 
 Trình độ chuyên môn: Đại học Toán 
 Chức vụ công tác: Giáo viên 
 Nơi làm việc: Trường THCS Thị trấn Gôi 
 Điện thoại: 0916 005 467 
 Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 30% 
 5.2. Họ và tên: Trần Thị Hồng Thắm 
 Năm sinh: 1977 
 Nơi thường trú: Thị trấn Gôi - Vụ Bản - Nam Định 
 Trình độ chuyên môn: Đại học Toán 
 Chức vụ công tác: Giáo viên 
 Nơi làm việc: Trường THCS Thị trấn Gôi 
 Điện thoại: 0947 834 686 
 Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 30% 
6. Đơn vị áp dụng sáng kiến: 
 Tên đơn vị: Trường THCS Thị trấn Gôi. 
 Địa chỉ: Thị trấn Gôi - Vụ Bản - Nam Định. 
 Điện thoại: 02283820694 3 
Từ cách nghĩ và cách làm đó chúng tôi đã nảy sinh ra việc viết sáng kiến “Giải các 
dạng toán vận dụng hệ thức Vi-ét” với mục đích khi các em gặp dạng toán đó không 
còn sợ sệt mà trở nên thích thú, ham muốn giải khi gặp dạng toán đó nhằm nâng cao 
chất lượng giảng dạy. 
II) MÔ TẢ GIẢI PHÁP 
1) Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến 
1.1) Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 
Năm học 2021- 2022 chúng tôi đã được nhà trường phân công giảng dạy bộ môn Toán 
9. Qua thực tế dạy và thông qua các kì thi khảo sát chất lượng cuối năm và kì thi tuyển 
sinh vào THPT chúng tôi nhận thấy các em học sinh chưa có kĩ năng thành thạo khi 
làm các dạng bài tập vận dụng hệ thức Vi ét. Vì lí do đó để giải được các dạng bài tập 
này cần phải có kĩ năng phân dạng và có cách giải cụ thể cho từng dạng; 
Cụ thể kết quả kiểm tra dạng toán vận dụng hệ thức vi ét vào giải toán ở hai lớp 9A, 
9B vào tháng 3 năm học 2021- 2022 được thống kê như sau: 
Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu ( kém) 
 SL % SL % SL % SL % 
 9A 41 3 7,3 8 19,5 18 43,9 12 29,3 
 9B 40 3 7,5 7 17,5 18 45 12 30 
1.2) Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 
Thông qua kết quả khảo sát chúng tôi đã suy nghĩ cần phải có biện pháp thích hợp để 
giảng dạy, truyền đạt cho học sinh nắm vững những yêu cầu trong quá trình gải những 
bài toán về vận dụng hệ thức vi ét. Chúng tôi mạnh dạn nêu ra một số dạng bài toán 
vận dụng hệ thức vi ét và cách giải cho từng dạng toán đó. 
2) Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến 
2.1) Phạm vi và đối tượng nghiên cứu của sáng kiến 
- Giới hạn nghiên cứu 
Khi áp dụng phương pháp hướng dẫn học sinh trong việc “Giải các dạng toán vận 
dụng hệ thức Vi-ét” sẽ giúp học sinh khắc sâu kiến thức bài học, từ đó phân loại và 
giải các bài toán một cách khoa học, chính xác. Kết quả học tập của học sinh được 
nâng cao rõ rệt, tạo cho học sinh sự say mê hứng thú trong học tập cũng như kích thích 
khả năng tìm tòi, học hỏi của học sinh. Học sinh sẽ chủ động lĩnh hội kiến thức bài 5 
 - Tính đúng (hoặc '); 
 - Biến đổi biểu thức có liên quan đến hai nghiệm về dạng tổng và tích của hai nghiệm; 
 - Vận dụng hệ thức Vi-ét. 
*) Cơ sở thực tiễn 
- Thuận lợi, khó khăn: 
+ Đối với giáo viên 
Khi dạy về hệ thức Vi-ét, trong chương trình thời lượng không nhiều chỉ có 1 tiết lí 
thuyết và 1 tiết luyện tập. Thông thường giáo viên chỉ thực hiện nhiệm vụ theo phân 
phối chương trình với nội dung SGK mà không đầu tư cho việc hệ thống, phân dạng 
các bài tập về hệ thức Vi-ét. Bên cạnh đó các bài tập thể hiện trong SGK và SBT số 
lượng không nhiều, chưa đề cập hết các dạng cơ bản cần thiết để học sinh có đủ kiến 
thức khi giải bài tập dạng này trong các bài kiểm tra, bài khảo sát cuối năm và bài thi 
vào THPT. Do đó kết quả học tập của học sinh đối với các bài tập về hệ thức Vi-ét 
thường không cao nếu giáo viên không có sự tập hợp sắp xếp đầy đủ khoa học. 
+ Đối với học sinh 
Trong những năm học trước sau khi hoàn thành việc giảng dạy và ôn tập các bài toán 
về hệ thức Vi-ét khi chưa áp dụng áp dụng sáng kiến, tôi nhận thấy rằng đa số các học 
sinh thường bỏ qua câu có vận dụng hệ thức Vi-ét trong các trong các bài kiểm tra, bài 
khảo sát cuối năm và bài thi vào THPT. 
+ Nguyên nhân 
 . Học sinh không nắm chắc hệ thức Vi-ét và ứng dụng; 
 . Học sinh không biết làm thế nào để xuất hiện mối liên hệ của các dữ kiện cần tìm 
với các yếu tố, điều kiện đã biết để giải bài tập. 
b) Nội dung sáng kiến 
*) Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề 
+) Ôn tập lí thuyết 
- Định lí Vi-ét (thuận) 
 2
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax + bx + c = 0 ( a0 ) thì 
 b
 xx 
 12 a 
 c
 xx 
 12 a 7 
Ta có: ' m 1 2 1.m2 m 2 2m 1 m 2 1 2m . 
 1
Để phương trình có nghiệm ' 0 1 2m 0 m . 
 2
 1
Vậy với m , phương trình có hai nghiệm x1, x2. 
 2
 b 2 m 1 c m2
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x x 2 1 m , x .x m2 . 
 1 2a 1 1 2 a 1
Dạng toán 2: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn. 
+) Phương pháp: Để thực hiện việc nhẩm nghiệm (nếu có thể) cho phương trình bậc 
hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 ( ), ta áp dụng nhận xét sau: 
Trường hợp 1 (Trường hợp đặc biệt) 
- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( ) có a + b + c = 0 thì phương trình có một 
 c
nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = ; 
 a
- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( ) có a - b + c = 0 thì phương trình có một 
nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = - ; 
Trường hợp 2: Cho phương trình x2 + bx + c = 0. 
Ta thực hiện theo các bước: 
- Bước 1: Vận dụng hệ thức Vi-ét để thiết lập cho các nghiệm x1 và x2 là 
 b
 xx 
 12a 
 c
 xx. 
 12 a
- Bước 2: Thực hiện phân tích c thành tích của hai thừa số (c = m.n), từ đó ta tính ngay 
được m + n. Khi đó: 
 . Nếu m + n = - b thì ta chuyển sang bước 3 (kết luận); 
 . Nếu m + n - b, thì ta chuyển sang bước 2. 
- Bước 3: Kết luận: 
 2
Phương trình x + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 = m và x2 = n.a0 
 Chú ý: Thuật toán trên có tính dừng và được hiểu như sau: 
 - Nếu tìm được một cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = -b thì dừng lại và đưa ra 
lời kết luận nghiệm; 9 
 2 1
b) Biết phương trình: 3x – 2(m – 3)x + 5 = 0 (2) có nghiệm x1 = tìm nghiệm x2, giá 
 3
trị của m tương ứng. 
 Giải 
 2
a)Vì x1 = - 3 là một nghiệm của phương trình 3x + 2x - 21 = 0. (1) 
Thay x=-3 vào phương trình 3x2 + 2x - 21 = 0. (1) ta được 
 2
 3(-3) + 2.(-3) - 21 = 27 – 6 – 21 = 0. 
 0=0 (luôn đúng) 
 2
Vậy x1 = - 3 là một nghiệm của phương trình 3x + 2x - 21 = 0. (1) 
 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
 b 2 2 2 2 7
 xx = = x x 3 3 
 12 a 3 213 3 3 3
 2
 b) 3x – 2(m – 3)x + 5 = 0. 
 2
Vì phương trình: 3x – 2(m – 3)x + 5 = 0 (2) có nghiệm x1 = 
 c5
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x .x . Mà x1 = nên suy ra: 
 12 a3
 5 5 1
 x : x : 5. 
 213 3 3
Cũng theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
 2 m 3 1 2 m 3 
 = = 5 16 2m 6 m 11. 
 3 3 3
Vậy x2 = 5, m = 11. 
Dạng toán 4: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng. 
+) Phương pháp: 
 u v S
Nếu hai số u, v thỏa mãn 
 u.v P
thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0 (1) 
 2
 Nhận xét: Nếu (1) có hai nghiệm x1, x2 (điều kiện S - 4P 0) thì ta được: 
 ux 1 ux 2
 hoặc 
 vx 2 vx 1
 +) Ví dụ: Tìm hai số u và v biết: 
u + v = 32, u.v = 231; 11 
Phương trình x2 – 6x + 8 = 0 có ' 3 2 1.8 9 8 1 0 phương trình có hai 
 S x12 x 6
nghiệm phân biệt x1, x2. Theo định lí Vi-ét ta có: 
 P x12 x 8
 22 2 2 2
a) A = xx12 = x1 x 2 2x 1 x 2 S 2P = 6 – 2.8 = 36 – 16 = 20 
Vậy A = 20 
 1 1 x x S 6 3 3
b) B = 12 . Vậy B = 
 x1 x 2 x 1 x 2 P 8 4 4
 22
c) C = x1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 S. x 1 x 2 6. x 1 x 2 . 
Mà ta có: 
 222 2 2 2
 x1 x 2 x 1 x 2 2xx 1 2 x 1 x 2 4xx 1 2 S 4P6 4.84
 x12 x 2
Vậy C = 12. 
 Dạng toán 6: Tìm hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số. 
+) Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau: 
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2 (a 0, 0 hoặc 
 a 0, ' 0). 
Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét tính S = x1 + x2, P = x1x2 theo tham số 
Bước 3: Khử m để lập hệ thức giữa S và P, từ đó suy ra hệ thức giữa hai nghiệm không 
phụ thuộc vào tham số. 
+) Ví dụ 1. Cho phương trình x2 – 2mx + 2m - 2 = 0 (x là ẩn) 
Tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m 
Giải 
Phương trình x2 – 2mx + 2m - 2 = 0 có: ' m2 2m 2 m 1 2 1 0 với mọi m. 
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 
 S x12 x 2m (1)
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 
 P x12 x 2m 2 (2)
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được S – P = 2 x1 + x2 - x1x2 = 2 (không phụ thuộc 
vào m). 
+) Ví dụ 2. Cho phương trình mx2 – (2m + 3)x + m - 4 = 0 (x là ẩn) 
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Khi đó tìm hệ thức liên hệ gữa 
x1, x2 không phụ thuộc vào m. 13 
 2
Theo bài, ta có hệ thức: = x1 x 2 2x 1 x 2 (II). Thay (I) vào (II), ta có: 
 2
 2 1 m m22 18m 8m 4
 22 
 x12 x 2. 
 7 7 49
 22 2
 +) Ví dxxụ12 2. Cho phương trình x - 6x + m = 0. Tính giá trị của m, biết rằng phương 
trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x12 x 4 
Giải 
Phương trình có hai nghiệm x1, x2 khi và chỉ khi: 
 ' 0 3 2 m 9 m 0 m 9. 
 x12 x 6 (1)
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 
 x12 x m (2)
Theo bài: (3). 
Giả hệ gồm (1) và (3), ta được: 2x1 10 x 1 5 x 2 6x 1 651. 
Thay x1 = 5, x2 = 1 vào (2), ta có: 5.1 = m m = 5 (thỏa mãn điều kiện) 
Vậy với m = 5 thì . 
+) Ví dụ 3. Cho phương trình: x2 -2(m+1)x +2m = 0(1) với ẩn là x) 
a) Giải phương trình (1) khi m =1 
b) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 
Giải 
a) Khi m = 1 ta có phương trình x2 – 4x + 2 = 0 
Giải phương trình được x12 2 2; x 2 2 
b) Ta có ' m2 1 0 với mọi m. 
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 
+) Ví dụ 4. Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 4 = 0 (có ẩn số là x) 
a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt. 
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. 
 22
 Tìm giá trị nhỏ nhất của y = xx12 
Giải 
a) Ta có ' m 1 22 2m 4 m2 2m 1 2m 4 m 2 1 0 với mọi m. 
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.