Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm trong khi giải toán về căn bậc hai

 Sáng kiến kinh nghiệm 
 GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN VÀ TRÁNH SAI LẦM
 TRONG KHI GIẢI TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI
 I. ĐẶT VẤN ĐỀ
 Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp một số năm học, tôi đã phát hiện ra 
rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán còn kém trong đó có rất 
nhiều học sinh chưa thực sự hiểu kỹ về căn bậc hai và trong khi thực hiện các phép 
toán về căn bậc hai rất hay có sự nhầm lẫn hiểu sai đầu bài, thực hiện sai mục đích 
Việc giúp học sinh nhận ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh được sự nhầm lẫn đó là 
một công việc vô cùng cần thiết và cấp bách, giúp các em có một sự am hiểu vững 
trắc về kiến thức căn bậc hai.
 Qua sáng kiến này tôi muốn đưa ra một số sai lầm mà học sinh hay mắc phải 
trong quá trình tiếp thu kiến thức ở chương căn bậc hai để từ đó có thể giúp học sinh 
khắc phục các sai lầm mà các em hay mắc phải trong quá trình giải bài tập hoặc 
trong thi cử. Cũng qua sáng kiến này tôi muốn giúp giáo viên dạy toán 9 có thêm cái 
nhìn mới, chú ý đến việc rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán về căn bậc hai cho 
học sinh để từ đó khai thác hiệu quả và đào sâu suy nghĩ tư duy lôgic của học sinh 
giúp học sinh phát triển khả năng nhận thức của mình..
 II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
 Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy bộ môn toán của các giáo viên có kinh nghiệm 
của trường trong những năm học trước và vốn kinh nghiệm của bản thân đã rút ra 
được một số vấn đề có liên quan đến nội dung của sáng kiến.
 Trong những năm học vừa qua chúng tôi đã quan tâm đến những vấn đề mà 
học sinh mắc phải. Qua những giờ học sinh làm bài tập tại lớp, qua các bài kiểm tra 
dưới các hình thức khác nhau, bước đầu tôi đã nắm được các sai lầm mà học sinh 
thường mắc phải khi giải bài tập. 
 Trong quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã sử dụng những 
phương pháp sau :
 - Quan sát trực tiếp các đối tượng học sinh để phát hiện ra những vấn đề mà 
học sinh thấy lúng túng, khó khăn khi giáo viên yêu cầu giải quyết vấn đề đó.
 - Điều tra toàn diện các đối tượng học sinh trong 2 lớp 9 của khối 9 với tổng số 
65 học sinh để thống kê học lực của học sinh. Tìm hiểu tâm lý của các em khi học 
môn toán, quan điểm của các em khi tìm hiểu những vấn đề về giải toán có liên quan 
đến căn bậc hai.
 - Nghiên cứu sản phẩm hoạt động của GV và HS để phát hiện trình độ nhận 
 0 - Giới thiệu phép khai phương (thông qua định nghĩa, thuật ngữ về căn bậc hai 
số học của số không âm)
 2
 - Liên hệ của phép khai phương với phép bình phương (với a≥0, có a a ; 
với a bất kỳ có a 2 | a |)
 - Liên hệ phép khai phương với quan hệ thứ tự(SGK thể hiện bởi Định lý về so 
sánh các căn bậc hai số học : “Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : a < b a b ”)
 - Liên hệ phép khai phương với phép nhân và phép chia(thể hiện bởi : định lý 
 a a
“Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : ab a b ” và định lý “ Với a ≥ 0, b > 0, ta có: ”)
 b b
 * Các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai mà SGK giới thiệu cho bởi các 
công thức sau : 
 A2 = | A| (với A là biểu thức đại số hay nói gọn là biểu thức )
 AB A B ( với A, B là hai biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0)
 A A
 ( với A, B là hai biểu thức mà A ≥ 0, B > 0)
 B B
 A2 B | A | B ( với A, B là hai biểu thức mà B ≥ 0 )
 A 1
 AB ( với A, B là hai biểu thức mà AB ≥ 0, B ≠ 0 )
 B B
 A A B
 ( với A, B là biểu thức và B > 0)
 B B
 C C( A  B) 2
 (với A, B, C là biểu thức mà A≥ 0 và A ≠ B )
 A B A B 2
 C C( A  B)
 ( với A, B, C là biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B )
 A B A B
 * Tuy nhiên mức độ yêu cầu đối với các phép biến đổi này là khác nhau và chủ 
yếu việc giới thiệu các phép này là nhằm hình thành kỹ năng biến đổi biểu thức( một 
số phép chỉ giới thiệu qua ví dụ có kèm thuật ngữ. Một số phép gắn với trình bày 
tính chất phép tính khai phương).
 B. Kỹ năng
 Hai kỹ năng chủ yếu là kỹ năng tính toán và kỹ năng biến đổi biểu thức.
 * Có thể kể các kỹ năng về tính toán như :
 - Tìm khai phương của một số ( số đó có thể là số chính phương trong khoảng 
từ 1 đến 400 hoặc là tích hay thương của chúng, đặc biệt là tích hoặc thương của số 
 2 16 = 4 và 16 = - 4
 Do đó việc tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học đã nhầm lẫn với nhau.
 Lời giải đúng: 16 = 4 ( có thể giải thích thêm vì 4 > 0 và 42 = 16)
 Trong các bài toán về sau không cần yêu cầu học sinh phải giải thích.
 * So sánh các căn bậc hai số học :
 Với hai số a và b không âm, ta có a < b a b
 Ví dụ 2 : so sánh 4 và 15
 Học sinh sẽ loay hoay không biết nên so sánh chúng theo hình thức nào vì theo 
định nghĩa số 15 chính là căn bậc hai số học của 15 do đó nếu đem so sánh với số 4 
thì số 4 có hai căn bậc hai số học là 2 và -2 cho nên với suy nghĩ đó học sinh sẽ đưa 
ra lời giải sai như sau : 4 < 15 (vì trong cả hai căn bậc hai của 4 đều nhỏ hơn 15 ).
 Tất nhiên trong cái sai này của học sinh không phải các em hiểu nhầm ngay sau 
khi học song bài này mà sau khi học thêm một loạt khái niệm và hệ thức mới thì học 
sinh sẽ không chú ý đến vấn đề quan trọng này nữa.
 Lời giải đúng: 16 > 15 nên 16 > 15 . Vậy 4 = 16 > 15
 ở đây giáo viên cần nhấn mạnh luôn là ta đi so sánh hai căn bậc hai số học!
 * Sai trong thuật ngữ chú ý của định nghĩa căn bậc hai số học : 
 với a ≥ 0, ta có :
 Nếu x = a thì x ≥ 0 và x2 =a;
 Nếu x ≥ 0 và x2 =a thì x = a .
 Ví dụ 3 : Tìm số x, không âm biết :
 x = 15 
 Học sinh sẽ áp dụng chú ý thứ nhất và sẽ giải sai như sau : 
 Nếu x = a thì x ≥ 0 và x2 =a; vì phương trình x2 = a có 2 nghiệm là x = a 
và x =- a học sinh đã được giải ở lớp 7 nên các em sẽ giải bài toán trên như sau :
 Do x ≥ 0 nên x 2 = 152 hay x = 225 và x = -225. 
 Vậy tìm được hai nghiệm là x1 =225 và x2 =-225
 Lời giải đúng: cũng từ chú ý về căn bậc hai số học, ta có x = 152. Vậy x =225.
 * Sai trong thuật ngữ khai phương :
 Ví dụ 4: Tính - 25
 - Học sinh hiểu ngay được rằng phép toán khai phương chính là phép toán tìm 
 4 4(1 x) 2 - 6 = 0 2 (1 x) 2 6 | 1- x | = 3. Ta phải đi giải hai phương trình 
sau : 1) 1- x = 3 x = -2
 2) 1- x = -3 x = 4. Vậy ta tìm được hai giá trị của x là x1= -2 và x2= 4.
 Ví dụ 8 : Rút gọn biểu thức :
 x 2 3
 x 3
 x 2 3 (x 3)(x 3)
 * Lời giải sai: = = x - 3 .
 x 3 x 3
 * Phân tích sai lầm: Rõ ràng nếu x = - 3 thì x + 3 = 0, khi đó biểu thức 
 x 2 3
 sẽ không tồn tại. Mặc dù kết quả giải được của học sinh đó không sai, nhưng 
 x 3
sai trong lúc giải vì không có căn cứ lập luận, vì vậy biểu thức trên có thể không tồn 
tại thì làm sao có thể có kết quả được.
 * Lời giải đúng : Biểu thức đó là một phân thức, để phân thức tồn tại thì cần 
phải có x + 3 ≠ 0 hay x ≠ - 3 . Khi đó ta có 
 x 2 3 (x 3)(x 3)
 = = x - 3 (với x ≠ - 3 ).
 x 3 x 3
 Ví dụ 9: Rút gọn M, rồi tìm giá trị nhỏ nhất của M.
 1 1 a 1
 M = : với a > 0.
 a a a 1 a 2 a 1
 * Lời giải sai:
 1 1 a 1 1 a a 1
 M = : = :
 2
 a a a 1 a 2 a 1 a( a 1) ( a 1)
 1 a ( a 1) 2
 M = . 
 a( a 1) a 1
 a 1
 M = 
 a
 a 1 a 1 1
 Ta có M = = - = 1- , khi đó ta nhận thấy M 0
 a a a a
 Do đó min M = 0 khi và chỉ khi a = 1.
 * Phân tích sai lầm: Nhìn vào kết quả của bài toán rút gọn thì không sai, nhưng 
sai ở chỗ học sinh lập luận và đưa ra kết quả về giá trị nhỏ nhất của M thì lại sai.
 6 3
 - > -1 3 > 1+ x 2 > x 4 > x hay x < 4.
 1 x
 Vậy với x < 4 thì Q < -1.
 * Phân tích sai lầm: Học sinh đã nghiễm nhiên bỏ dấu âm ở cả hai vế 
của bất đẳng thức vì thế có luôn được bất đẳng thức mới với hai vế đều dương nên 
kết quả của bài toán dẫn đến sai.
 * Lời giải đúng : 
 Q > -1 nên ta có 
 3 3
 - > -1 3 x > 2 x > 4.
 1 x 1 x
 Vậy với x > 4 thì Q > - 1.
 IV- KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC 
 Qua thực tế giảng dạy chương I - môn đại số 9 năm học 2007-2008 này. Sau 
khi xây dựng đề cương chi tiết của sáng kiến kinh nghiệm được rút ra từ năm học 
2006-2007 tôi đã vận dụng vào các giờ dạy ở các lớp 9A, 9B chủ yếu vào các tiết 
luyện tập, ôn tập. Qua việc khảo sát chấm chữa các bài kiểm tra tôi nhận thấy rằng tỉ 
lệ bài tập học sinh giải đúng tăng lên.
 Như vậy sau khi tôi phân tích kỹ các sai lầm mà học sinh thường mắc phải 
trong khi giải bài toán về căn bậc hai thì số học sinh giải đúng bài tập tăng lên, số 
học sinh mắc sai lầm khi lập luận tìm lời giải giảm đi nhiều. Từ đó chất lượng dạy và 
học môn Đại số nói riêng và môn Toán nói chung được nâng lên. 
 V- BÀI HỌC KINH NGHIỆM VÀ GIẢI PHÁP THỰC HIỆN :
 Qua quá trình giảng dạy bộ môn Toán, qua việc nghiên cứu caqcs phương án 
giúp học sinh tránh sai lầm khi giải toán về căn bậc hai trong chương I-Đại số 9, tôi 
đã rút ra một số kinh nghiệm như sau :
 * Về phía giáo viên:
 - Người thầy phải không ngừng học hỏi, nhiệt tình trong giảng dạy, quan tâm 
đến chất lượng của từng học sinh, nắm vững được đặc điểm tâm sinh lý của từng đối 
tượng học sinh và phải hiểu được gia cảnh cũng như khả năng tiếp thu của học sinh, 
từ đó tìm ra phương pháp dạy học hợp lý theo sát từng đối tượng học sinh. Đồng thời 
trong khi dạy các tiết học luyện tập, ôn tập giáo viên cần chỉ rõ những sai lầm mà 
học sinh thường mắc phải, phân tích kĩ các lập luận sai để học sinh ghi nhớ và rút 
kinh nghiệm trong khi làm các bài tập tiếp theo. Sau đó giáo viên cần tổng hợp đưa 
ra phương pháp giải cho từng loại bài để học sinh giải bài tập dễ dàng hơn.
 - Thông qua các phương án và phương pháp trên thì giáo viên cần phải nghiêm 
khắc, uốn nắn những sai sót mà học sinh mắc phải, đồng thời động viên kịp thời khi 
 8