Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh giải tốt bài tập về hệ thức lượng trong tam giác vuông

 * Nhận xét đánh giá của HĐ XDSKKN cấp trường: 
 1. Yếu tố mới và sáng tạo (3 điểm)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . Đạt: . . . . . . . điểm 
 2. Khả năng áp dụng (3 điểm)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . Đạt: . . . . . . . điểm 
 3. Tính hiệu quả (4 điểm)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . Đạt: . . . . . . . điểm 
 4. Kết quả: Tổng điểm: . . . . . . . Xếp loại: . . . . . . . . .
 Thủy Tây, ngày  tháng năm 2018
 CT.HĐXDSKKN
 1 MỤC LỤC
Nhận xét đánh giá... trang 1
Bảng điểm trang 2
Mục lục trang 3
I – ĐẶT VẦN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài .................................................................. trang 4
2. Mục đích đề tài ......................................................................trang 4
3. Lịch sử đề tài .........................................................................trang 4 
4. Phạm vi, đối tương áp dụng ...................................................trang 5
II – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
1. Thực trạng đề tài ................................................................ ..trang 5
2. Nội dung cần giải quyết .......................................................trang 6
3. Giải pháp thực hiện ............................................................ ..trang 6
4. Kết quả chuyển biến của đối tượng ......................................trang 23
III – KẾT LUẬN 
1. Tĩm lược giải pháp .................................................................trang 23
2. Phạm vi – đối tượng áp dụng ..................................................trang 24
3. Đề xuất – Kiến nghị ...............................................................trang 24
 3 nhiều phương pháp khác nhau, tìm tịi các dạng bài tập về hệ thức lượng trong tam 
giác vuơng, tham khảo tài liệu, các đề tài đã được nghiên cứu thành cơng của các 
thầy cơ các nơi khác nhau, và đã đúc kết thành kinh nghiệm cho bản thân và áp dụng 
giảng dạy cho học sinh của mình trong các năm qua và đặc biệt là giảng dạy Tốn 9 
trong năm học 2017 - 2018. Năm học 2018 – 2019 này tơi mạnh dạn bổ sung thêm 
và tiếp tục cải tiến để áp dụng từng bước thực hiện giảng dạy ở những năm học tiếp 
theo.
 4. Phạm vi, đối tượng áp dụng
 Sáng kiến kinh nghiệm “HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI TỐT BÀI TẬP VỀ 
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUƠNG” được thực hiện và áp dụng cho 
giảng dạy bộ mơn Tốn hình học 9 ở trường THCS.
 II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
 1. Thực trạng đề tài
 Trước tình hình phát triển của đất nước để tiến tới xây dựng nền cơng nghiệp 
hĩa, hiện đại hĩa, bộ mơn Tốn đã gĩp phần khơng nhỏ trong việc nâng cao cuộc 
sống con người và làm giàu cho đất nước. Nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập 
bộ mơn Tốn trường THCS hiện nay là một vấn đề được nhiều người quan tâm nhất 
là các cấp quản lý và những người trực tiếp đứng lớp. Việc nâng cao chất lượng địi 
hỏi các giáo viên phải khơng ngừng cải tiến phương pháp giảng dạy, phát huy tính 
tích cực của học sinh, tạo cho học sinh sự thích thú khám phá, sáng tạo những cái 
hay, cái mới trong quá trình học tập bộ mơn . Đồng thời qua đĩ càng rèn luyện tính 
kiên trì, chịu khĩ để hồn thành cơng việc Chính vì vậy nên mỗi chúng ta phải trang 
bị sẵn cho mình các phương pháp giảng dạy mới, hay, lơi cuốn được học sinh ham 
thích học, kích thích niềm đam mê học tốn, biết học để vận dụng kiến thức vào thực 
tiễn, thúc đẩy sự phát triển kinh tế của đất nước.
 Qua nhiều năm giảng dạy bộ mơn Tốn - đặc biệt là Hình học lớp 9 và tham 
khảo ý kiến của các đồng nghiệp nhiều năm kinh nghiệm, tơi nhận thấy trong quá 
trình hướng dẫn học sinh học tập thì: 
 - Phần lớn học sinh ít học bài mơn Tốn, vì cho rằng học tốn chỉ cần làm bài 
tập, khơng cần học bài như các mơn khác, dẫn đến khơng thuộc định lí rồi khơng áp 
dụng được vào bài tập.
 - Số ít học sinh chưa biết cách học, chỉ học thuộc bài mà khơng liên hệ với 
hình vẽ nên cũng khơng áp dụng vào giải bài tập.
 - Điểm đặc biệt của mơn Hình học là học định lí phải biết kết hợp với hình vẽ, 
từ đĩ dễ thuộc bài hơn, và biết rõ định lí được sử dụng như thế nào, vào lúc nào.
 - Giáo viên trong quá trình giảng bài và hướng dẫn bài tập cho học sinh chưa 
chú ý tới hướng dẫn học sinh phân loại và phương pháp riêng cho từng bài tốn, chỉ 
sửa bài theo hệ thống bài tập SGK là chưa đủ, cần chuẩn bị thêm bài tập theo các 
dạng kiến thức khác nhau. Đặc biệt là kiến thức bổ sung cho các em học sinh giỏi.
 5 1 1 1
 5) Định lí 4: 
 h2 b2 c2
 * Cách ghi nhớ các định lí
 Giáo viên hướng dẫn cách để học sinh ghi nhớ các định lí:
 - Trước tiên cho học sinh học thuộc tên các cạnh trong hình vẽ.
 A
 cạnh gĩc vuơng
 cạnh gĩc vuơng
 đường cao
 B hình chiếu hình chiếu C
 H
 cạnh huyền
 - Giáo viên cho học sinh ghi tĩm tắt các định lí theo tên các cạnh trên hình 
vẽ như sau:
 1) Định lí 1: b2 = ab’; c2 = ac’
 Tĩm tắt: (cạnh gĩc vuơng)2 = cạnh huyền x hình chiếu tương ứng
 2) Định lý Py-ta-go: a2 = b2 + c2 
 Tĩm tắt: (cạnh huyền)2 = (cạnh gĩc vuơng 1)2 + (cạnh gĩc vuơng 2)2
 3) Định lí 2: h2 = b’.c’
 Tĩm tắt: (đường cao)2 = hình chiếu 1 x hình chiếu 2 
 4) Định lí 3: ah = bc
 Tĩm tắt: cạnh huyền x đường cao = cạnh gĩc vuơng 1 x cạnh gĩc vuơng 2 
 1 1 1
 5) Định lí 4: 
 h2 b2 c2
 1 1 1
 Tĩm tắt: 
 đường cao 2 cạnh góc vuông 1 2 cạnh góc vuông 2 2
 Chú ý ghi nhớ hình chiếu của cạnh gĩc vuơng tương ứng và đường cao này 
là đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác vuơng.
 3.1.2. Tỉ số lượng giác của gĩc nhọn
 a. Định nghĩa tỉ số lượng giác
 Giáo viên cần chú ý hướng dẫn kĩ học sinh về cạnh đối và cạnh huyền, tránh 
học sinh sử dụng nhầm định nghĩa.
 7 1 3
 sin300 = cos600 = ; sin600 = cos300 = 
 2 2
 3
 tan300 = cot600 = ; tan600 = cot300 = 3
 3
 2
 sin450 = cos450 = ; tan450 = cot450 = 1.
 2
 d. Các hệ thức về cạnh và gĩc trong tam giác vuơng
 b = a. sinB = a. cosC; b = c. tanB = c. cotC.
 c = a. sinC = a. cosB; c = b. tanC = b. cotB.
 Giáo viên chú ý ghi nhớ cho học sinh rằng cạnh huyền là phải đi với sin/cos; 
cạnh gĩc vuơng là phải đi với tan/cot; tránh để học sinh sử dụng nhầm.
 Và thơng thường với những đối tượng học sinh yếu thì định lí này các em 
học rất khĩ thuộc, khi đĩ giáo viên cần hướng dẫn các em sử dụng định nghĩa tỉ số 
lượng giác thay cho định lí này như sau:
 b
 Với sin B , nếu tìm a (ở mẫu) ta thực hiện đổi chỗ sinB với a được 
 a
 b
 a , nếu tìm b (ở tử) thì ta nhân chéo lên được b a.sinB . Các tỉ số khác 
 sin B
cũng thực hiện tương tự.
 3.1.3. Các cơng thức lượng giác cơ bản
 Cho 0 < < 900, ta cĩ cĩ các cơng thức lượng giác sau:
 sin2 cos2 1; tan .cot 1 
 sin cos 
 tan ; cot 
 cos sin 
 1 1
 1 tan2 ; 1 cot2 
 cos2 sin2 
 * Cách ghi nhớ cơng thức liên hệ giữa tan, cot với sin, cos
 Bắt được quả tang
 Sin nằm trên cos
 Cơtang cãi lại
 Cos nằm trên sin!
 3.1.4. Các cơng thức lượng giác mở rộng
 Các cơng thức mở rộng áp dụng trong tam giác thường cĩ 3 gĩc nhọn, với:
 + a, b, c: 3 cạnh tam giác.
 9 + HS sử dụng định lí 3 để tìm đường cao.
 + Cịn cách thực hiện nào khác khơng?
1) Cĩ thể tìm AH trước rồi tìm BC sau được khơng? (cĩ)
2) Lúc này đề cho gì? Tìm gì? (cho 2 cạnh gĩc vuơng, tìm đường cao)
3) Định lí nào cĩ sử dụng 2 cạnh gĩc vuơng và đường cao? (định lí 4)
 c. Phân tích sai lầm: Khơng phải ở bài tốn nào ta cũng cĩ thể muốn tìm cạnh 
nào trước cũng được. Đối với những bài tốn cĩ chia câu a, b rõ ràng ta khơng thể 
làm câu b rồi sau đĩ áp dụng kết quả câu b để làm câu a được. Đĩ là phương pháp 
giải sai, sẽ khơng được cơng nhận, vì khơng thực hiện theo đúng ý đồ của đề bài. HS 
cần đọc kĩ yêu cầu đề bài để thực hiện cho đúng. Cịn những dạng bài tập tương tự 
vận dụng các hệ thức về cạnh và đường cao khác chúng ta cũng hướng dẫn HS như 
hệ thống câu hỏi trên chắc chắn học sinh sẽ làm được rất tốt. Bên cạnh đĩ, chúng ta 
cũng dẫn dắt HS tự đặt câu hỏi cho chính mình để tự đưa ra phương pháp giải cho 
những bài khác mà khơng cĩ sự hướng dẫn của giáo viên.
 3.2.2. Dạng 2: Áp dụng các tỉ số lượng giác để tính số đo gĩc và ngược lại.
 a. Phương pháp: Học sinh vẽ được tam giác vuơng và xác định gĩc nhọn đề 
yêu cầu. Học thuộc định nghĩa các tỉ số lượng giác và dựa vào hình vẽ để xác định 
cạnh kề, cạnh đối. Từ đĩ xem yêu cầu đề bài để tính các tỉ số lượng giác tương ứng 
hoặc gĩc nhọn cần thiết.
 b. Ví dụ minh họa: Cho tam giác ABC vuơng tại A, cĩ AB = 3cm, BC = 5cm. 
Tính các tỉ số lượng giác của gĩc B, từ đĩ tính số đo gĩc B.
 + Đầu tiên cho HS vẽ hình và ghi các số đo trên hình.
 A
 3cm
 B C
 5cm
 + Cho HS nhắc lại định nghĩa các tỉ số lượng giác của 1 gĩc nhọn.
 + Hướng dẫn HS xác định cạnh đối, cạnh kề của gĩc B.
1) Cạnh đối của gĩc B là? (AC)
2) Cạnh kề của gĩc B là? (AB)
3) Muốn tính các tỉ số lượng giác của gĩc B cần những cạnh nào? (AB, AC, BC)
 + HS sử dụng định lý Py-to-go để tìm AC.
 + HS sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của gĩc nhọn để tìm các tỉ số lượng 
giác của gĩc B.
 + Giáo viên hướng dẫn HS sử dụng MTCT để tính gĩc B khi biết các tỉ số 
lượng giác của nĩ và ngược lại:
 11 3) Sắp xếp như thế nào? (tan650 < tan700 < tan800) (2)
 sin 
 + HS sử dụng tan và nhận xét: 0 < cos < 1 để so sánh sin580 và 
 cos 
tan650
 0
1) tan650 = ? ( sin 65 )
 cos650
 0 0 0
2) So sánh sin650 và sin 65 ? ( sin 65 cos650)
 cos650 1 cos650
3) So sánh sin580 và sin650 (sin580 < sin650)
4) So sánh sin580 và tan650 (sin580 < sin650 < tan650) (3)
 + Từ (1), (2) & (3) suy ra? 
 sin150 < sin250 < sin320 < sin580 < tan650 < tan700 < tan800
 + So sánh theo yêu cầu đề bài:
 sin150 < cos650 < sin320 < cos320 < cot250 < tan700 < cot100
 c. Phân tích sai lầm: Tuy quá trình so sánh ta vẫn cĩ thể đổi ra các TSLG cos 
(hoặc cot), nhưng vì hàm cos và cot là hàm ngược nên khi so sánh phải chú ý giá trị 
lượng giác bị ngược. Để tránh xãy ra sai lầm thì ở dạng tốn này nên đổi ra TSLG 
sin (hoặc tan) để quá trình so sánh được thuận tiện hơn, ít sai sĩt. Chú ý nếu so sánh 
với tan thì ta phải đổi ra sin, nếu so sánh với cot thì ta phải đổi ra cos vì: 
 sin cos 
 sin và cos .
 cos sin 
 3.2.4. Dạng 4: Dựng gĩc nhọn biết các tỉ số lượng giác của nĩ.
 a. Phương pháp: Khi dựng gĩc nhọn thì điều đầu tiên ta cần hướng dẫn HS 
phân tích dữ kiện đề cho, từ đĩ tìm được phương pháp dựng phù hợp. Cần để HS 
nắm rõ, gĩc nhọn cĩ trong 1 tam giác vuơng nên muốn dựng gĩc nhọn ta cần dựng 
1 tam giác vuơng. Từ đĩ cho HS tiến hành như 1 bài tốn dựng hình đã học (cĩ 4 
bước: phân tích, cách dựng, chứng minh, biện luận). Vì đối tượng học sinh trong lớp 
phần lớn là HS trung bình nên giáo viên chú ý giảm nhẹ lại những bước khĩ khăn 
khi dựng hình của học sinh, chỉ chủ yếu hướng dẫn HS vẽ hình mà thơi.
 b. Ví dụ minh họa: Dựng gĩc nhọn biết sin = 0,4. 
 + Cho HS nhắc lại định nghĩa về TSLG của gĩc nhọn.
 + GV hướng dẫn HS phân tích bài tốn:
 2
1) Vì sin là 1 tỉ số nên cần được viết dưới dạng phân số (0,4 = )
 5
2) sin = ? (cạnh đối/ cạnh huyền)
3) Vậy cần dựng 1 tam giác vuơng cĩ cạnh gì? Bao nhiêu? (cạnh gĩc vuơng = 2 và 
cạnh huyền = 5). Đơn vị tùy chọn nhưng phải thống nhất đơn vị với nhau.
 13