Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh Lớp 9 giải bài toán cực trị trong hình học

 A - ĐẶT VẤN ĐỀ
 Trong trường phổ thông môn Toán có một vị trí rất quan trọng. Các kiến 
thức và phương pháp Toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các 
môn học khác, hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Đồng thời môn Toán 
còn giúp học sinh phát triển những năng lực và phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho 
học sinh khả năng tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư 
tưởng đạo đức và thẩm mỹ của người công dân.
 Ở trường THCS, trong dạy học Toán, cùng với việc hình thành cho học 
sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lí; thì việc dạy học giải các 
bài toán có tầm quan trọng đặc biệt và là một trong những vấn đề trung tâm của 
phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông. Đối với học sinh THCS, có thể 
coi việc giải toán là một hình thức chủ yếu của việc học toán.
 Trong chương trình Toán THCS các bài toán về cực trị trong hình học rất 
đa dạng, phong phú và có một ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ở 
bậc học này. Để giải quyết các bài toán về cực trị trong hình học, người ta phải 
bằng các cách giải thông minh nhất, tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp 
nhất với trình độ kiến thức ở bậc học THCS để giải quết các bài toán loại này. 
Do đó, đòi hỏi người học phải có một cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp 
kiến thức cũ với kiến thức mới một cách logic có hệ thống.
 Trong khi đa số học sinh tại trường THCS Yên Lâm không có hứng thú 
với loại toán này, bởi hầu hết các em học sinh cảm thấy khó khăn khi gặp các bài 
toán cực trị trong hình học và không biết vận dụng để giải quyết các bài tập khác.
 Vì vậy để giúp các em khắc phục được những khó khăn đó, tôi đã chọn 
nghiên cứu đề tài sáng kiến kinh nghiệm: "Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải bài 
toán cực trị trong hình học".
 1 trình dạy để kiểm tra việc thực hành ứng dụng của học sinh tôi đưa ra một số ví 
dụ thì đa số học sinh không biết làm như thế nào.
 Trong quá trình dạy và bồi dưỡng học sinh lớp 9, bản thân tôi đã tìm hiểu 
nhiều tài liệu và nhận thấy đây là dạng toán tương đối khó, tuy nhiên phần nhiều 
các tài liệu chỉ đưa ra bài tập và bài giải chứ ít đề cập đến lý thuyết vì vậy học 
sinh ít giải được dạng toán này do không hiểu đề, không tìm ra lời giải hoặc có 
khi chỉ đơn giản là không trình bày bài giải được. 
 Qua nhiều biện pháp điều tra về việc giải bài toán cực trị trong hình học ở 
hai lớp 9A và 9B, kết quả cụ thể thu được như sau:
 Giỏi Khá TB Yếu- kém
 Lớp Tổng số
 SL % SL % SL % SL %
 9AB 72 03 4,2 08 11,1 37 51,4 24 33,3
 III - CÁC BIỆN PHÁP VÀ GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
AIII - Phương pháp giải bài toán cực trị hình học:
 1 - Dạng chung của bài toán cực trị hình học:
 “Trong tất cả các hình có chung một tính chất, tìm những hình mà một đại 
lượng nào đó (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích) có giá trị lớn nhất 
hoặc giá trị nhỏ nhất.” và có thể được cho dưới các dạng:
 a) Bài toán về dựng hình.
 Ví dụ: Cho đường tròn (O) và điểm P nằm trong đường tròn, xác định vị trí 
của dây đi qua điểm P sao cho dây đó có độ dài nhỏ nhất.
 b) Bài toán vể chứng minh.
 Ví dụ: Chứng minh rằng trong các dây đi qua điểm P trong một đường tròn 
(O), dây vuông góc với OP có độ dài nhỏ nhất.
 3 Kẻ OH  CD . 
 OHP vuông tại H OH AB
 Như vậy trong tất cả các dây đi qua P, dây vuông góc với OP tại P có độ 
dài nhỏ nhất. 
 + Cách 2:
 Xét dây AB bất kỳ đi qua P ( h.2). Kẻ OH  AB A
 Theo liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm: O
 H
 AB nhỏ nhất OH lớn nhất P
 B
 Ta lại có OH ≤ OP OH = OP H ≡ P h .2
 Do đó, max OH = OP 
 Khi đó dây AB vuông góc với OP tại P.
 BIII - Các kiến thức thường dùng giải bài toán cực trị hình học:
1- Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu:
 a - Kiến thức cần nhớ:
 A
 B A K a
 a
 b
 C B H C
 A h.3 H B
 h.4
 h.5
a1) ( h.3 ) ABC vuông tại A (có thể suy biến thành đoạn thẳng) 
 AB ≤ BC và dấu “=” xảy ra A ≡ C. 
a2) ( h.4 ) + AH  a AH ≤ AB. Dấu “=” xảy ra B ≡ H.
 + AB < AC HB < HC
a3) ( h.5 ) A, K a; B, H b; a // b; HK  a HK ≤ AB 
và dấu “=” xảy ra A ≡ K và B ≡ H.
 5 x y
 µ µ
 DCK cân D1 D2 D
 Kẻ MH  CD.
 1 2
 MHD = MBD MH = MB = a 
 H
 1 1 1 2
 SMCD = CD.MH ≥ AB.MH = 2a.a = a C 
 2 2 2
 S = a2 CD  Ax khi đó A· MC = 450; 
 MCD A B
 M
 B· MD = 450. 
 K
 2
 min SMCD = a . 
 h.8
Vậy các điểm C, D được xác định trên Ax; By 
sao cho AC = BC = a.
2- Sử dụng quan hệ giữa đường thẳng và đường gấp khúc:
 a - Kiến thức cần nhớ:
Với ba điểm A, B, C bất kỳ ta có: AC + CB ≥ AB
AC + CB = AB C thuộc đoạn thẳng AB.
 b - Các ví dụ:
 Ví dụ 3: Cho góc x· Oy và điểm A nằm trong góc đó. Xác định điểm B thuộc 
tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho OB = OC và tổng AB + AC là nhỏ nhất.
 Giải: (h.9)
 m
 Kẻ tia Om nằm ngoài góc xOy sao cho y
 D
 y·Om x· OA . Trên tia Om lấy điểm D sao 
cho OD = OA. Các điểm D và A cố định. C
 A
 OD = OA, OC = OB, C· OD B· OA 
 DOC = AOB CD = AB O
 B x
 Do đó AC + AB = AC + CD h.9
 Mà AC + CD ≥ AD AC + AB ≥ AD
 7 a - Kiến thức cần nhớ:
 C
 D C D
 C A H B D
 O
 A B O B
 O C B
 K A
 A
 D
 h.12 h.13 h.14 h.15
 a1) AB là đường kính, CD là dây bất kỳ CD ≤ AB (h.14)
 a2) OH,OK là các khoảng cách từ tâm đến dây AB và CD: 
 AB ≥ CD OH ≤ OK (h.15)
 · ·
 a3) AB, CD là các cung nhỏ của (O): AB ≥ CD AOB COD (h.16)
 » »
 a4) AB, CD là các cung nhỏ của (O): AB ≥ CD AB CD (h.17)
 b - Các ví dụ:
 Ví dụ 5: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B. một cát tuyến 
chung bất kỳ CBD (B nằm giữa C và D) cắt các đường tròn (O) và (O’) tại C và 
D. Xác định vị trí của cát tuyến CBD để ACD có chu vi lớn nhất.
 Giải: (h.16)
 1 1 A
sđCµ = sđA¼mB; sđ Dµ = sđ A¼nB
 2 2 D
 O O’
 số đo các góc ACD không đổi n m
 ACD có chu vi lớn nhất khi một cạnh 
 C’ D’
của nó lớn nhất, chẳng hạn AC là lớn nhất. B
 AC là dây của đường tròn (O), do đó C
 h.16
AC lớn nhất khi AC là đường kính của 
đường tròn (O), khi đó AD là đường kính của đường tròn (O’). Cát tuyến CBD ở 
vị trí C’BD’ vuông góc với dây chung AB.
 9 AHE = BEF = CFG = DGH
 x E 4-x B
 HE = EF = FG = GH, HEF = 900 A
 HEFG là hình vuông nên chu vi EFGH nhỏ 
 4-x F
nhất khi HE nhỏ nhất.
 Đặt AE = x thì HA = EB = 4-x H
 HAE vuông tại A nên :
 C
 HE 2 = AE2 + AE2 = x2 + (4 x)2 D G
 = 2x2 8x +16 = 2(x 2)2 + 8 ≥ 8 h.18
 HE = 8 = 2 2 x = 2
 Chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất bằng 8 2 cm, khi đó AE = 2 cm.
 Ví dụ 8: Cho tam giác vuông ABC có độ dài các cạnh góc vuông AB = 6 
cm, AC = 8cm.M là điểm di chuyển trên cạnh huyền BC. Gọi D và E là chân các 
đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác 
ADME. Giải: (h.19) A
 ADME là hình chữ nhật. x
 D 8- 4 x
 3
 Đặt AD = x thì ME = x E
 EM CE x CE 4 B
 ME //AB CE x M
 AB CA 6 8 3 h.19
 4
 AE = 8 x.
 3 C
 4 4 2 4 2
 Ta có: SADME = AD.AE = x (8 x ) = 8x x = (x 3) +12 ≤ 12
 3 3 3
 2
 SADME = 12 cm x = 3 
 Diện tích lớn nhất của tứ giác ADME bằng 12 cm 2 ,khi đó D là trung điểm 
của AB, M là trung điểm của BC và E là trung điểm của AC.
 11 x y 2
 Ta có bất đẳng thức: x2 y2 nên :
 2
 2
 x y AB2
 S + S’ . = .
 8 8
 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y
 AB2
 Do đó min (S+S’) = . . Khi đó M là trung điểm của AB.
 8
 Ví dụ 10: Cho ABC, điểm M di động trên cạnh BC. Qua M kẻ các đường 
thẳng song song với AC và với AB, chúng cắt AB và AC theo thứ tự ở D và E. 
Xác định vị trí của điểm M sao cho hình bình hành ADME có diện tích lớn nhất.
 Giải: (h.21) A
 SADME K
 SADME lớn nhất lớn nhất D
 SABC
 H E
 Kẻ BK  AC cắt MD ở H.
 1 2
 1 B C
 SADME = MD . HK; SABC = AC . BK x M y
 2 h.21
 S MD HK
 ADME 2. .
 SABC AC BK
 Đặt MB = x, MC = y, 
 MD BM x HK MC y
 MD//AC ta có: ; 
 AC BC x y BK BC x y
 xy 1 SADME 2xy 1
 Theo bất đẳng thức 2 2 . 
 x y 4 SABC x y 2
 Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y
 1
 Vậy maxSADME = SABC khi đó M là trung điểm của BC.
 2
 13