Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán và phương pháp giải Toán cực trị (Phần Đại số)

 Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)
 MỤC LỤC
I. Phần mở đầu.2
1. Lí do chọn đề tài 2
2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài 2
3. Đối tượng nghiên cứu 2 
4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu2
5. Phương pháp nghiên cứu2
II. Phần nội dung 3
1. Cơ sở lí luận3
2. Thực trạng 3
3. Giải Pháp, biện pháp. 18
4. Kết quả 19
III. Phần kết luận, kiến nghị 19
1. Kết luận. 19
2. Kiến nghị 19
TÀI LIỆU THAM KHẢO 21
 Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk 1 Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)
II. PHẦN NỘI DUNG
1.CƠ SỞ LÍ LUẬN:
 Làm cho học sinh hiểu được giá trị lớn nhất của một biểu thức ( GTLN hay 
Max ), và giá trị nhỏ nhất của biểu thức (GTNN hay Min). Những bài toán như 
vậy gọi là bài toán cực trị. Trong hình học hay trong đại số đều có những dạng 
toán cực trị. Vì nội dung về bài toán cực trị vô cùng phong phú và đa dạng nên 
trong đề tài này tôi chỉ đề cập đến dạng toán cực trị (phần đại số).
2. THỰC TRẠNG : 
2.1. Thuận lợi -khó khăn:
 -Thuận lợi: Toán cực trị rất đa dạng và phong phú ngay từ khi học lớp 6;7 
đã có các bài tập dạng này, lên lớp 8; 9 bài tập về cực trị lại mở rộng hơn làm 
cho học sinh càng hứng thú khi giải bài tập. Do đó tôi khá tâm đắc với đề tài .
 -Khó khăn: Bài toán cực trị là bài tập khó, loại bài tập này rất đa dạng và 
phong phú. Đây là loại bài tập đòi hỏi khả năng tư duy sáng tạo cao. Do đó học 
sinh thường lúng túng chưa biết giải như thế nào. Trong sách giáo khoa hay sách 
bài tập cũng ít đề cập đến dạng bài bài tập về cực trị...
2.2. Thành công - hạn chế :
 -Thành công: Khi chưa có đề tài này học sinh rất khó khăn khi giải dạng 
toán cực trị, sau khi tham khảo đề tài các em đã vận dụng giải toán cực trị tốt 
hơn rất nhiều. Đó chính là sự thành công mà đề tài mang lại.
 -Hạn chế: Đề tài tôi chỉ bồi dưỡng học sinh giỏi chưa dạy đại trà cho học 
sinh yếu kém.
2.3 Mặt mạnh - mặt yếu:
 -Mặt mạnh: Đề tài tôi sắp xếp từ các dạng bài tập từ dể đến khó,từ đơn 
giản đến phức tạp, từ lớp dưới đến lớp trên một cách khoa học, giúp người đọc 
dễ hiểu.
 -Mặt yếu: Dùng từ trong đề tài hơi khô khan,hơn nữa vốn tin học của tôi 
còn hạn chế nên viết đề tài khá lâu.
2.4 Các nguyên nhân,các yếu tố . 
 Với loại bài tập tìm GTNN ,GTLN tuy khó song một khi đã giải được học 
sinh thích thú, tích cực xây dựng bài học giải được nhiều bài tập hơn, từng bước 
giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi tốt hơn. 
 -Giúp học sinh phát triển tư duy toán học,tạo điều kiện thuận lợi cho việc 
học tốt môn toán cũng như các môn học khác.
 -Ngoài ra khi giải các dạng bài tập về cực trị học sinh dễ mắc sai lầm khi 
giải. Do đó tôi thấy sự cần thiết viết đề tài này.
2.5 Phân tích ,đánh giá các vấn đề:
 Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk 3 Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)
 a) Do 2014 x 0 với mọi x
 2014 x 2015 2015. Dấu " "xảy ra khi 2014 x 0 hay x 2014 .
 Vậy GTNN của A là 2015 khi x 2014 .
 Với ví dụ b tôi sẽ hướng dẫn học sinh dùng kí hiệu toán học để trình bày bài 
 làm.
 3 2014 3 2014
 Do 2x 0 B 2x . Dấu " "xảy ra khi 
 4 2015 4 2015
 3 3
 2x 0 x .
 4 8
 2014 3
 Vậy B x .
 min 2015 8
 Ví dụ 2. Tìm GTLN của các biểu thức sau :
 a) C 3 x 2020 2015
 2015 2014
 b) D x 
 2017 2015
 Giải
 a) Do 3 x 2020 0 C 3 x 2020 2015 2015. Dấu " "xảy ra khi 
 x 2020 0 x 2020.
 Vậy Cmax 2015 x 2020.
 2014 2015 2014 2015
 b) Do x 0 D x . Dấu " "xảy ra khi 
 2015 2017 2015 2017
 2014 2014
 x 0 x .
 2015 2015
 2015 2014
 Vậy D x .
 max 2017 2015
 * Bài tập tự rèn : 
 Bài 1. Tìm GTNN của biểu thức
 a) M 2020 3x 309
 4
 b) N 2 2x 2015
 3
 Bài 2. Tìm GTLN của biểu thức
 a) P 0,75 x 3,67
 Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk 5 Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)
 a) C 3x 2015 3x 2014
 b) D x 2015 x 2020
 Phần 2. NHỮNG DẠNG TOÁN CỰC TRỊ DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 
 8.
 Sau khi học xong phần những hằng đẳng thức đáng nhớ, giáo viên cần cho học 
 sinh rèn luyện giải các bài toán cực trị.
 Dạng 1. TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THƯC DẠNG NGUYÊN
 1. Tìm GTNN (min) của biểu thức 
 2
 Phương pháp giải : Biến đổi biểu thức về dạng T f x k ( k là hằng số 
 )
 2 2
 Vì f x 0 f x k k . Dấu ‘ = ’ xảy ra khi f x 0 .
 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức T là k khi f x 0 hay TMIN k f x 0
 Ví dụ 1. Tìm GTNN của biểu thức A 4x2 16x 1024
 Giải
 Cần biến đổi biểu thức về dạng bình phương và một hằng số 
 Ta có 
 2
 A 4x2 16x 1024 4(x2 4x 256) 4 x2 4x 4 252 4 x 2 1008
 Vì x 2 2 0 4 x 2 2 1008 1008
 Vậy AMIN 1008 x 2
 2.Tìm GTLN ( max ) của biểu thức
 2
 Phương pháp giải : Đưa biểu thức về dạng T f x k ( k là hằng số)
 2 2 2
 Vì f x 0 f x 0 f x k k . Dấu ‘ = ’ xảy ra khi 
 f x 0 .
 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức T là k khi f x 0 hay TMAX k f x 0
 Ví dụ 2. Tìm GTLN của biểu thức B 3x2 6x 4
 Giải
 Cần biến đổi biểu thức về dạng bình phương và một hằng số 
 4 7 2 7
 Ta có B 3x2 6x 4 3(x2 2x ) 3 x2 2x 1 3 x 1 
 3 3 3
 Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk 7 Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)
 Ví dụ 5. Tìm GTLN của biểu thức B x2 2xy 4y2 2x 10y 2010
 Giải
Ta có 
 B x2 2xy y2 2x 2y 1 3y2 12y 12 2007
 x2 2xy y2 2 x y 1 3 y2 4y 4 2007 
 2 2
 x y 2 x y 1 3 y 2 2007 
 x y 1 2 3 y 2 2 2007 2007
 y 2 0 y 2
 Vậy BMAX 2007 
 x y 1 0 x 3
 Dạng 2. TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG 
 BUỘC GIỮA CÁC BIẾN
 Thường để giải những bài toán dạng này, ta cần hướng dẫn cho học sinh 
 biến đổi biểu thức mới có chứa biến biểu thức ta tìm GTLN ; GTNN.
 Ví dụ 1. Tìm GTNN của biểu thức A x3 y3 xy biết x y 1
 Giải
 Ta sử dụng điều kiện để rút gọn biểu thức A 
 A x3 y3 xy x y x2 xy y2 xy
 x2 xy y2 xy x2 y2
 Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối vớ x
 Thay y = 1 – x vào biểu thức A
 2
 2 2 2 1 1 1
 Ta có A x 1 x 2 x x 1 2 x 
 2 2 2
 1
 x 
 1 2
 Vậy AMIN 
 2 1
 y 
 2
Ví dụ 2. Cho 2 số x, y thõa mãn x 2y 3. Tìm GTNN của B x2 2y2
 Giải
 Từ x 2y 3 x 3 2y thế vào B
 Ta có 
 B 3 2y 2 2y2 9 12y 4y2 2y2
 6y2 12y 9 6 y 1 2 3 3
 Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk 9 Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)
 Chứng minh mệnh đề trên. Ta sử dụng bất đẳng thức a b  4ab
 * Nếu hai số a và b có tổng a + b = S ( hằng số ) thì từ a b  4ab ta có 
 k 2 k 2
 ab do đó ab a b
 4 Max 4
 * Nếu hai số a và b có tích ab P ( hằng số ) thì a + b nhỏ nhất khi a b  nhỏ 
  4P a b
 nhất do đó a b MIN
 Ví dụ 1. Tìm GTLN của biểu thứcQ x2 3x 21 x2 3x 1 .
 Giải
 Để giải bài toán này ta thấy các biểu thức x2 3x 21 và x2 3x 1 có tổng 
 không đổi ( bằng 22 ) nên tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi
 x2 3x 21 x2 3x 1 x2 3x 10 0
 x 5
 x 5 x 2 0 
 x 2
 Khi đó Q 11.11 121
 x 5
 Vậy QMax 121 
 x 2
 180
 Ví dụ 2. Tìm GTNN của biểu thức P 5x (với x > 1)
 x 1
 Giải
 180 180
 Ta có P 5x 5 x 1 5 ( do x > 1 ) 
 x 1 x 1
 180
 Hai số 5 x 1 và là hai số dương có tích không đổi (bằng 900) nên tổng 
 x 1
 của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi
 180
 5 x 1 x2 2x 35 0
 x 1
 x 7(TM )
 x 7 x 5 0 
 x 5(KTM )
 Khi đó PMin 65 x 7
 Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk 11 Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)
 x a
 x a ( với a > 0 )
 x a
 2. Bất đẳng thức cô -si ( cauchy ) cho các số không âm
 a b
 • Nếu a, b là các số không âm thì ab . Dấu " "khi a = b
 2
 a b c
 • Nếu a, b, c là các số không âm thì 3 abc . Dấu " "khi a = b = c
 3
 2
 Ví dụ 1. Tìm GTNN của biểu thức A x (với x > 1)
 x 1
 Giải
 Vì x > 1 nên x – 1 và 2 là 2 số dương. Áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số 
 x 1
 không âm
 2 2 2
 A x 1 x 1 1 2 x 1 1 2 2
 x 1 x 1 x 1
 2
 Dấu‘ =’ xảy ra khi x – 1 = x 1 2 TM 
 x 1
 Vậy AMIN 1 2 2 x 1 2
 1
 Ví dụ 2. Tìm GTNN của biểu thức B 3x2 ( với x > 0)
 x
 Giải
 Để giải bài toán này, áp dụng bất đẳng thức côsi cho 3 số dương.
 1 1 1 1 1 3
 Biến đổi biểu thức B 3x2 3x2 33 3x2. . 33
 x 2x 2x 2x 2x 4
 1 1 1
 Dấu‘ =’ xảy ra khi 3x2 = x3 x 
 2x 6 3 6
 3 1
 Vậy B 3.3 x 
 MIN 4 3 6
 xy z 1 yz x 2 zx y 3
 Ví dụ 3. Tìm GTLN của biểu thức P ( với 
 xyz
 x 2, y 3, z 1 )
 Giải
 z 1 x 2 y 3
 Rút gọn P 
 z x y
 Để giải bài toán này, áp dụng bất đẳng thức côsi cho từng cặp số z 1 và 1;
 x 2 và 2; y 3 và 3
 Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk 13