Sáng kiến kinh nghiệm Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cô - Si

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI 
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
 MỘT SỐ KỸ THUẬT 
 SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ - SI 
Lĩnh vực: Toán 
Cấp học: Trung học cơ sở 
Tên tác giả: Nguyễn Cao Cường 
Đơn vị công tác: Trường THCS Thái Thịnh, Quận Đống Đa 
Chức vụ: Phó Hiệu trưởng 
 Năm học 2018 - 2019
 MỞ ĐẦU 
  
I. Lý do chọn đề tài 
 Toán học nói chung và toán học phổ thông nói riêng đã giúp người học, 
người nghiên cứu nó có được kiến thức, tư duy logic và khả năng suy luận. Đối 
với những học sinh trung học cơ sở, toán học đã hình thành cho các em những 
kiến thức cơ sở ban đầu, những kiến thức cơ bản nhất của toán học hiện đại. Qua 
những bài học, những vấn đề toán cùng với những cách thức suy luận đã giúp 
các em hình thành tư duy toán học. 
Toán học sơ cấp có lẽ là mảng toán học đòi hỏi trí thông minh, óc tư duy linh 
hoạt của người học, trong đó bất đẳng thức (BĐT) là vấn đề hay và khó. Từ các 
lớp trung học cơ sở, học sinh được giới thiệu một cách cơ bản nhất về bất đẳng 
thức, phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Và hầu hết những người đã học 
bất đẳng thức, ai cũng biết về một bất đẳng thức kinh điển, nổi tiếng: bất đẳng 
thức Cô-si. Nhưng một thực tế chung đối với học sinh phổ thông là việc vận 
dụng bất đẳng thức Cô - si vào giải toán gặp rất nhiều khó khăn. Chính vì vậy, 
để giúp học sinh có thể khắc phục phần nào những khó khăn trên, tôi viết đề tài 
"Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô - si" 
II. Nhiệm vụ, mục đích của đề tài 
 Đề tài "Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô - si" sẽ giới thiệu đến 
với học sinh về bất đẳng thức Cô – si và một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức 
Cô-si. Bên cạnh đó, đề tài cũng chỉ ra những sai lầm thường gặp khi học sinh sử 
dụng bất đẳng thức Cô – si. 
 Đề tài được viết theo cách thức lý thuyết đi kèm với ví dụ minh họa. Bên 
cạnh việc cung cấp, tổng kết những cách sử dụng bất đẳng thức Cô - si, đề tài 
còn giới thiệu những bài toán minh họa, áp dụng các kỹ thuật được giới thiệu. 
III. Phạm vi của đề tài 
 Với học sinh trung học cơ sở, lớp 8 các em mới được giới thiệu và tiếp cận 
với bất đẳng thức nói chung và bất đẳng thức Cô -si nói riêng. Vì vậy, đề tài 
"Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô - si" hướng tới việc giúp cho học 
sinh lớp 8; lớp 9 có được những kiến thức về bất đẳng thức Cô-si và một số kỹ 
thuật sử dụng từ đó giúp cho các em phát triển tư duy về bất đẳng thức, đặt nền 
móng cho các cấp độ lớn hơn sau này. 
IV. Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành 
 Đề tài tập trung nghiên cứu về bất đẳng thức Cô-si. Trên cơ sở những kiến 
thức cơ bản về dạng bất đẳng thức, tổng kết một kỹ thuật thường dùng. 
 Phương pháp chủ yếu của đề tài là phương pháp nghiên cứu và tổng kết 
kinh nghiệm trong thực tế giảng dạy. 
 3/23 
 2. Những quy tắc chung trong chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng 
thức Cô – Si: 
 Quy tắc song hành: hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử 
dụng các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra được 
kết quả nhanh chóng và định hướng cách giả nhanh hơn. 
 Quy tắc dấu bằng: dấu bằng “ = ” trong BĐT là rất quan trọng. Nó giúp 
ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh. Nó định hướng cho ta phương pháp 
giải, dựa vào điểm rơi của BĐT. Chính vì vậy mà khi dạy cho học sinh ta rèn 
luyện cho học sinh có thói quen tìm điều kiện xảy ra dấu bằng mặc dù trong các 
kì thi học sinh có thể không trình bày phần này. Ta thấy được ưu điểm của dấu 
bằng đặc biệt trong phương pháp điểm rơi và phương pháp tách nghịch đảo 
trong kỹ thuật sử dụng BĐT Cô Si. 
 Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: không chỉ học sinh mà ngay cả 
một số giáo viên khi mới nghiên cứu và chứng minh BĐT cũng thương rất hay 
mắc sai lầm này. Áp dụng liên tiếp hoặc song hành các BĐT nhưng không chú ý 
đến điểm rơi của dấu bằng. Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các BĐT là 
điểm rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu “ = ” phải được cùng 
được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến. 
 Quy tắc biên: Cơ sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến 
tính, các bài toán tối ưu, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn 
nhất nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng. Ta biết rằng các giá trị 
lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên. 
 Quy tắc đối xứng: các BĐT thường có tính đối xứng vậy thì vai trò của 
các biến trong BĐT là như nhau do đó dấu “ = ” thường xảy ra tại vị trí các biến 
đó bằng nhau. Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu 
“ = ” xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể. 
Chiều của BĐT : “ ≥ ”, “ ≤ ” cũng sẽ giúp ta định hướng được cách chứng minh: 
đánh giá từ TBC sang TBN và ngược lại 
Trên là 5 quy tắc sẽ giúp ta có định hướng để chứng minh BĐT, học sinh sẽ thực 
 sự hiểu được các quy tắc trên qua các ví dụ và bình luận ở phần sau.
 5/23 
 Bài 3: Chứng minh rằng: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 9ab  a, b ≥ 0. 
Giải 
Ta có: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 333 1.ab . . 3. abab . . 9 ab 
Bình luận: 
 9 = 3.3 gợi ý sử dụng Cô-si cho ba số, 2 cặp. Mỗi biến a, b được xuất hiện 
 ba lần, vậy khi sử dụng Cô Si cho ba số sẽ khử được căn thức cho các biến 
 đó. 
Bài 4: Chứng minh rằng: 3a3 + 7b3 ≥ 9ab2  a, b ≥ 0 
 Côsi
Giải: Ta có: 3a3 + 7b3 ≥ 3a3 + 6b3 = 3a3 + 3b3 + 3b3 33 33ab33= 9ab2 
Bình luận: 
 9ab2 = 9.a.b.b gợi ý đến việc tách hạng tử 7b3 thành hai hạng tử chứa b3 
 để khi áp dụng BĐT Cô-si ta có b2. Khi đã có định hướng như trên thì việc 
 tách các hệ số không có gì khó khăn. 
 a, b , c , d 0
 1
Bài 5: Cho: 1 1 1 1 CMR : abcd 
 3 81
 1 a 1 b 1 c 1 d
Giải 
Từ giả thiết suy ra: 
 1 1 1 1 b c dCôsi bcd
 1 - 1 1 = 3 3
1 a 1 b 1 c 1 d 1 b 1 c 1 d 1 b 1 c 1 d 
Vậy: 
 1 bcd
 3 3 0
 1 a 1 b 1 c 1 d 
 1 cda
 3 0
 1 b 3
 1 c 1 d 1 a 1dabc
 81
 1 dca 1 a 1 b 1 c 1 d 1 a 1 b 1 c 1 d 
 3 0
 1 c 3
 1 d 1 c 1 a 
 1 abc
 3 3 0
 1 d 1 abc 1 1 
 1
 abcd 
 81
Bài toán tổng quát: 
Cho: 
 x, x , x ,............., xn 0
 1 2 3 1
 1 1 1 1 CMR : x1 x 2 x 3 ........... xn n 
 ......... n 1 n 1 
 1 x1 1 x 2 1 x 3 1 xn
Bình luận: 
 7/23 
 4bb 1 1 4
 VT + 1 = a 1 2 a b 
 a b b 1 22 a b b 11 b 
 Côsi bb 1 1 4
 44 .4 ab . . . ĐPCM 
 22 a b b 11 b 
Bài 5: Bài toán tổng quát: 
Cho: x1 x 2 x 3 ............., xn 0 v à 1 k Z . CMR: 
 1 nk 12 
 a 
 1 k kk nk 12 
 nk 1
 ann a1 a 2 a 2 a 3 ............... an 1 a k
Giải 
VT = 
 1
 ann a1 a 2 a 2 a 3 ..... an 1 a k kk 
 ann a1 a 2 a 2 a 3 ...... an 1 a 
 a a a a a ann a a 1
 a 1 2 .. 1 2 ..nn 11 ... 
 n k k k k k k k
 ann a1 a 2 a 2 a 3 .. an 1 a 
 kk
 a a a a a a a a
 1 2 1 2 nn 11nn 1
 nk 12
 n 1 k 2 . an .. .. .. . k kk
 k k k k
 ann a1 a 2 a 2 a 3 .. an 1 a 
 kk
 nk 12 
 nk 12 
 nk 1
 k 
Tóm lại: Trong kỹ thuật tách nghịch đảo kỹ thuật cần tách phần nguyên theo 
mẫu số để khi chuyển sang TBN thì các phần chứa biến số bị triệt tiêu chỉ còn 
lại hằng số. 
 Tuy nhiên trong kỹ thuật tách nghịch đảo đối với bài toán có điều kiện ràng 
buộc của ẩn thì việc tách nghịch đảo học sinh thường bị mắc sai lầm. Một kỹ 
thuật thường được sử dụng trong kỹ thuật tách nghịch đảo, đánh giá từ TBN 
sang TBC là kỹ thuật chọn điểm rơi. 
3. Kỹ thuật 3: Kỹ thuật chọn điểm rơi 
 Trong kỹ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “ = ” trong BĐT Cô-si và 
các quy tắc về tính đồng thời của dấu “ = ”, quy tắc biên và quy tắc đối xứng sẽ 
được sử dụng để tìm điểm rơi của biến. 
 1
Bài 1: Cho a ≥ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của Sa 
 a
Giải 
 1 1
Sai lầm thường gặp của học sinh: Sa ≥ 2 a =2 
 a a
 1
Dấu “ = ” xảy ra a a = 1 vô lí vì giả thiết là a ≥ 2. 
 a
Cách làm đúng: 
 9/23 
 Lời giải đúng: 
 Côsi
 1a a 16 a3 a a 163636.29 a a
 Sa 2 2 3 . . 2 
 a 88 a 8 88 a 848484
 9
Với a = 2 thì Min S = 
 4
 abc, , 0
 1 1 1
Bài 3: Cho 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của S a b c 
 abc abc
 2
Giải 
Sai lầm thường gặp: 
 1 1 1 1 1 1
 S a b c 66 a . b . c ... 6 Min S = 6 
 a b c a b c
Nguyên nhân sai lầm : 
 1 1 1 3
Min S = 6 a b c 1 a b c 3 trái với giải thiết. 
 acb 2
Phân tích và tìm tòi lời giải: 
Do S là mọt biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán MinS đạt tại điểm rơi 
 1
 abc 
 2
 1
 abc 
 1 1 2
Sơ đồ điểm rơi: abc 2 4 
 2 1 1 1 2 2 
 abc 
Hoặc ta có sơ đồ điêm rơi sau: 
 abc 
 1 2
 2 2 4 4 
 1 1 1 2 
 2 2
 abc
Vậy ta có cách giải theo sơ đồ 2 như sau: 
 1 1 1 1 1 1
 Sabc 444 3 abc 64.4.4.6 abc.. 3 abc 
 a b c a b c
 3 15 15
 12 3. . Với thì MinS = 
 22 2
 abc, , 0
 21 2 1 2 1
Bài 4: Cho 3 . Tìm GTNN của S a 2 b 2 c 2 
 abc b c a
 2
Giải 
Sai lầm thường gặp: 
 1 1 1 1 1 1 
 3 2 2 26 2 2 2
 S 33a 2.... b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 
 b c a b c a 
 11/23