Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng

 “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”
 MỤC LỤC
 PHẦN I: MỞ ĐẦU
 Mục Tên đề mục Trang
1 Lý do chọn đề tài 2
2 Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài 3
3 Đối tượng nghiên cứu 3
4 Phạm vi nghiên cứu 3
5 Phương pháp nghiên cứu 4
 PHẦN II: NỘI DUNG
 Mục Tên đề mục Trang
1 Cơ sở lý luận để thực hiện đề tài 4
2 Thực trạng 4
3 Giải pháp, biện pháp, nội dung 7
4 Kết quả 27
 PHẦN III: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
 Mục Tên đề mục Trang
1 Kết luận 28
2 Kiến nghị 28
3 Tài liệu tham khảo 30
 Dương Thị Kim Nhân- 1 - THCS Lê Đình Chinh “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”
với các đồng nghiệp khác. Rất mong được sự đóng góp chân thành để đề tài được phát 
huy hiệu quả.
2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài:
a) Mục tiêu: Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ các phương pháp 
chứng minh tứ giác nội tiếp đồng thời vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để giải một 
số bài toán hay và khó như: 
 + Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn.
 + Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định.
 + Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng.
 + Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm.
 + Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình
 + Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm cực trị
- Ngoài ra còn góp phần nâng cao chất lượng bộ môn toán ở trường THCS, giúp học sinh 
lớp 9 giải được các bài toán về tứ giác nội tiếp từ cơ bản đến nâng cao..
- Chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm về một số phương pháp chứng minh tứ giác nội 
tiếp
- Bản thân rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm
 Như vậy, giáo viên có thể giúp học sinh nắm vững, khai thác sâu, đầy đủ một cách 
có hệ thống đơn vị kiến thức “Tứ giác nội tiếp trong một đường tròn”.
- Ngoài những mục tiêu như trên thì ý của tôi khi thực hiện sáng kiến là có sự lồng ghép 
nho nhỏ cách phát triển bài toán từ một bài toán ban đầu để tìm ra nhiều phương pháp 
chứng minh khác nhau.
b) Nhiệm vụ:
Những nhiệm vụ cụ thể của đề tài là:
- Đưa ra các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp có minh họa.
- Đưa ra các loại bài tập vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp hay và khó có bài tập 
minh họa.
3. Đối tượng nghiên cứu:
:“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”
 Dương Thị Kim Nhân- 3 - THCS Lê Đình Chinh “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”
bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải bài toán hình học , kĩ năng vận dụng bài toán, tuỳ theo 
từng đối tượng học sinh mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương 
pháp đã học để giúp học sinh học tập tốt hơn. 
2. Thực trạng:
2.1. Thuận lợi, khó khăn:
a/ Thuận lợi:
 - Xã Quảng Điền là một xã giàu truyền thống cách mạng, dân cư chủ yếu là người 
Quảng Nam nhưng lại có truyền thống rất hiếu học. Đặc biệt có sự quan tâm của Đảng uỷ, 
UBND xã, sự quan tâm của các tổ chức, đoàn thể trong xã đối với công tác giáo dục, đảm 
bảo cơ sở vật chất cho công tác giảng dạy của nhà trường. 
 - Hội cha mẹ học sinh hoạt động tích cực , phối hợp tốt với nhà trường trong các 
hoạt động, duy trì tương đối hiệu quả việc học tập của con em trong địa phương.
 - Phòng Giáo dục Đào tạo và lãnh đạo nhà trường thường xuyên quan tâm tới tất cả 
các hoạt động chuyên môn của trường.
 - Hội khuyến học Xã hết sức nhiệt tình, quan tâm đến phong trào giáo dục xã nhà 
nói chung và trường THCS Lê Đình Chinh nói riêng .
 - Đội ngũ giáo viên nhiều kinh nghiệm nhà trường còn có một đội ngũ thầy cô trẻ, 
khoẻ, nhiệt tình và hăng say công việc.
 - Thuận lợi lớn nhất khi thực hiện đề tài của tôi đó chính là HS, dạng toán này là 
dạng hơi khó nhưng các em đó cố gắng chăm chú lắng nghe đặc biệt là các em HS giỏi 
luôn thích tìm tòi và thường xuyên đặt câu hỏi cho tôi để tôi gợi mở khi các em thực hiện
b/ Khó khăn: 
 - Nhân dân xã Quảng Điền đa số nhiều gia đình đông con sống chủ yếu bằng nghề 
nông đời sống kinh tế còn nhiều khó khăn, trình độ dân trí không đồng đều, hằng năm 
chịu nhiều ảnh hưởng của thiên tai. Do đó hoàn cảnh gia đình còn gặp nhiều khó khăn nên 
chưa thực sự quan tâm đến việc học của con em mình dẫn đến ảnh hưởng không nhỏ đến 
việc đầu tư thời gian, vật chất, tinh thần cho con em họ. Từ đó ảnh hưởng đến kết quả học 
tập của học sinh và của nhà trường. 
 Dương Thị Kim Nhân- 5 - THCS Lê Đình Chinh “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”
không nhiều, không có sức thuyết phục để lôi kéo sự hăng say học tập của học sinh. Mức 
độ kiến thức của dạng toán này tương đối trừu tượng và phức tạp.
2.4. Nguyên nhân:
Thực tế học sinh ở trường THCS Lê Đình Chinh tiếp thu bài còn chậm và vận dụng kiến 
thức từ lý thuyết vào làm bài tập còn hạn chế. Nguyên nhân chủ yếu của khó khăn trên là:
 - Học sinh không đam mê môn Hình học
 - Khả năng phán đoán ,định hướng không tới đích .
 - Không năng động trong khi chứng minh và vẽ hình .Chính vì vậy hướng dẫn cho 
học sinh nắm chắc về khái niệm để vận dụng vào chứng minh là điều quan trọng .
 - Do thời lượng luyện tập giờ chính khóa còn ít, vì vậy học sinh chưa có thời gian 
để ôn tập, làm bài tập, giải bài tập nhiều. 
2.5. Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra:
 Đề tài:“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng” 
góp phần nâng cao kiến thức, tư duy toán học, khả năng phân tích, chứng minh hình học 
cho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên trau dồi kiến thức, nâng cao chất lượng và hiệu 
quả giảng dạy.
 - Như đã nói ở trên, trong phân phối chương trình của môn toán 9 không có thời 
lượng dành riêng cho vấn đề nghiên cứu này. Do đó để thực hiện đề tài này, giáo viên cần 
phải lồng ghép vào các tiết luyện tập, các tiết ôn tập chương, các tiết ôn tập học kì 2, các 
tiết phụ đạo học sinh yếu kém và bồi dưỡng học sinh giỏi.
 - Trong quá trình giảng dạy môn Toán, vai trò của người thầy trong việc tạo hứng 
thú cho học sinh đặc biệt quan trọng, do đó mỗi giáo viên phải thường xuyên đưa học sinh 
vào các tình huống có vấn đề để các em tư duy, tự tìm tòi kiến thức mới qua mỗi dạng 
toán. Đồng thời phải biết động viên, khích lệ, biểu dương sự cố gắng của các em, trân 
trọng thành quả đạt được của các em .
 - Ngày nay, phương pháp dạy học ở bậc THCS nói chung đã có nhiều biến đổi tích 
cực, điều kiện về vật chất ngày càng được nâng lên rõ rệt. Nhưng để đạt được kết quả tốt 
yêu cầu mỗi giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian cho việc soạn bài và đặc biệt là phải tận 
tụy với công việc, tránh tư tưởng chủ quan chỉ cho học sinh tìm hiểu ở mức độ sơ sơ, đưa 
 Dương Thị Kim Nhân- 7 - THCS Lê Đình Chinh “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”
 *Nội dung:
1/ .Chuẩn bị :
- Phần trọng tâm của lý thuyết, điều cần ghi nhớ.
- Phân loại các bài tập để vận dụng chứng minh từng phần ghi nhớ.
2/ .Phần lý thuyết:
2.1/ Định nghĩa: Nếu qua bốn đỉnh của một 
 A
tứ giác có một đường tròn thì tứ giác đó gọi B
là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn và 
đường tròn đó gọi là đường tròn ngoại tiếp C D
tứ giác. 
2.2/ Định lý : Trong một tứ giác nội tiếp một đường tròn tổng các góc đối diện nhau bằng 
hai góc vuông .
* Đảo lại : Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối diện nhau bằng hai góc vuông thì tứ giác 
đó nội tiếp được trong một đường tròn . 
 µA Cµ 2v
Khi đó : Tứ giác ABCD nội tiếp (O) 
 Bµ Dµ 2v
2.2.1/ Chú ý: Hình chữ nhật ,hình vuông và hình thang cân luôn luôn nội tiếp được trong 
một đường tròn vì các tứ giác này đều có tổng hai góc đối bù nhau 
 B
 A A B
 D C D C
(Đây là cách nhận biết tứ giác nội tiếp một cách nhanh nhất mà chưa cần phải chứng 
minh)
3. Một số vấn đề liên quan đến tứ giác nội tiếp:
3.1. Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp: 
Một tứ giác sẽ là tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn nếu có một trong các điều 
kiện sau :
 Dương Thị Kim Nhân- 9 - THCS Lê Đình Chinh “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”
 Lấy O là trung điểm của cạnh BC.
Xét BB’C có : B· B 'C 900 (GT)
OB’ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền 
 OB’ = OB = OC = r (1)
Xét BC’C có : B· B 'C 900 (GT)
Tương tự trên OC’ = OB = OC = r (2)
Từ (1) và (2) B, C’, B’, C (O; r) 
 BC’B’C nội tiếp đường tròn.
 Từ bài toán 1 này nếu ta thay đổi dữ kiện là cho tam giác nội tiếp trong đường tròn 
và kẻ các đường cao, ta lại phải chứng minh tứ giác mới nội tiếp
*Phương pháp 2: Dựa vào định lý
 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn µA Cµ 1800 hoặc Bµ Dµ 1800 
* Bài toán 2: A N
 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội 
 E
tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, P
 O
BE,CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn(O) H
tại M,N,P . Chứng minh: B D C
 a. Tứ giác CEHD nội tiếp.
 M
Chứng minh: 
a/ Xét CEHD có : C· EH 900 và C· HD 900 (GT)
 C· EH C· DH 1800 (Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)
 CEHD nội tiếp đường tròn.
 Từ bài toán 2 ta lại thay tam giác ABC đều và thay đổi dữ kiện sau đó yêu cầu HS 
chứng minh tiếp điểm D cũng thuộc đường tròn
 *Bài toán 3: A
 Cho ABC đều. Trên nửa mặt phẳng bờ BC 
không chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho DB=DC 
 1
 1
 B 2 2 C
 Dương Thị Kim Nhân- 11 - THCS DLê Đình Chinh “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”
 M· KN 2M· EN 2.300 600
 M· ON M· KN 1800 OMKN là tứ giác nội tiếp.
 * Đặc biệt hoá bài toán 2: Phát triển thêm bài toán ta lại tiếp tục yêu cầu học sinh chứng 
minh tiếp tứ giác BCEF nội tiếp
* Bài toán 5 ( Đề mở rộng của bài toán 2) A N
Câu b. Chứng minh bốn điểm B,C,E,F cùng nằm 
 E
 P
trên một đường tròn F
 O
 H
 B D C
 M
*Chứng minh: Theo giả thiết: BE là đường cao => BE  AC B· CE 900
 CF là đường cao => CF  AB B· FC 900
Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900 
=> E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC 
=> Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn
Hay tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC. 
Đây chính là cách sử dụng cung chứa góc.Cũng từ bài toán 2 ta thay dữ kiện tam giác nội 
tiếp chắn nửa đường tròn để chứng minh tứ giác nội tiếp cụ thể của phương pháp này như 
sau:
*Phương pháp 4: Dựa vào quỹ tích cung chứa góc 
 * Bài toán 6: 
 A
Cho tam giác ACD. Lấy điểm B sao cho A, B
B nằm ở cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa 
DC và có D· AC D· BC .Chứng minh tứ giác 
 C D
ABCD nội tiếp . O
*Chứng minh: Thật vậy, giả sử D· AC D· BC ( 00 1800 ) Vì do DC cố định nên A, 
B nằm trên cung chứa góc dựng trên đoạn DC (theo bài toán quỹ tích cung chứa góc ) 
 Dương Thị Kim Nhân- 13 - THCS Lê Đình Chinh