Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên nhằm nâng cao chất lượng học sinh giỏi

 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỊ XÃ BUÔN HỒ
 TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRƯỜNG TỘ
 ------------------------------
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 Đề tài:
“Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên 
 nhằm nâng cao chất lượng học sinh giỏi”
 Loại đề tài: Bộ môn Toán
 Họ và tên: Vương Văn Lương
 Phó Hiệu trưởng trường THCS Nguyễn Trường Tộ. 
 Tháng 2 năm 2019
 *********
 1 Trong quá trình viết đề tài do điều kiện và kinh nghiệm không tránh khỏi 
khiếm khuyết. Rất mong được sự đóng góp, của thầy cô giáo và đồng nghiệp.
 2. Mục tiêu nhiệm vụ của đề tài.
 Giúp cho học sinh có kỹ năng nhận dạng, nhận biết, biến đổi bài toán tìm 
nghiệm nguyên của những bài toán cơ bản thuần túy lý thuyết chuyển sang áp 
dụng giải quyết các vấn đề thực tiễn cuộc sống liên quan đến số nguyên.
 Hệ thống hóa một số dạng toán về phương trình nghiệm nguyên, một số 
phương pháp giải giúp học sinh có kỹ năng biến đổi giải các bài toán về phương 
trình nghiệm nguyên và áp dụng thực tiễn.
 3. Đối tượng nghiên cứu.
 Tập trung vào việc định dạng, phương pháp giải hợp lý các bài toán số 
học có liên quan đến tìm nghiệm nguyên của phương trình. 
 4. Giới hạn của đề tài.
 Chương trình toán số học THCS đặc biệt chương tình lớp toán 7 lớp 8 và 
lớp 9 đối với các bài toán về nghiệm nguyên.
 5. Phương pháp nghiên cứu.
 - Phương pháp thống kê toán học: thu thập thông tin từ học sinh để hình 
thành ý tưởng, xây dựng cơ sở lý luận của đề tài và hoàn thành đề tài; 
 -Đọc và nghiên cứu tài liệu tham khảo.
 - Nghiên cứu cơ sở lý thuyết.
 -Thực nghiệm sư phạm qua giảng dạy.
 - Phương pháp so sánh đối chứng.
 - Phương pháp điều tra phân tích, tổng hợp.
 II. PHẦN NỘI DUNG.
 1.Cơ sở lý luận.
 Toán học là một môn khoa học đòi hỏi người học toán, người làm toán,
người dạy toán đều phải có tư duy cao độ. Thông qua môn toán chúng ta có thể 
rèn luyện được năng lực phân tích tổng hợp, tư duy linh hoạt, khả năng sáng tạo 
góp phần hình thành kỹ năng trong cuộc sống. Muốn giỏi toán đòi hỏi học sinh 
không chỉ có kiến thức cơ bản tư duy phân tích tổng hợp sáng tạo mà phải có 
 3 -Hình thành kỹ năng phát hiện dạng toán và dự đoán phương án giải quyết 
vấn đề cho một bài toán.
 b. Nội dung và cách thực hiện giải pháp.
 Trên cơ sở thực trạng những khó khăn khi giải phương trình nghiệm 
nguyên tôi đề xuất một số phương pháp cụ thể trong đề tài này.
 b.1 Đưa về phương trình ước số.
 Ta đưa phương trình về dạng có một vế là tích các đa thức có hệ số 
nguyên, ( thường chỉ có tích 2 đa thức) và một vế là một hằng số nguyên. Để 
tìm nghiệm của phương trình ta tìm các ước của hằng số đó.f (x1, x2,., xn).h 
(x1, x2,., xn) = a
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2xy – 4x + y = 7 
 Giải
2xy – 4x + y = 7 (2x + 1)(y – 2) = 5. Ta thấy 2x + 1 và y – 2 là các ước của 
5, nên ta có
 2x + 1 1 -1 5 -5
 y - 2 5 -5 1 -1
 x 0 -1 2 -3
 y 7 -3 3 1
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên (x;y) là (0 ; 7), (-1 ; -3), (2 ; 3), (-3 ; 1).
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2
Hướng dẫn: Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1
 (x+1)4 – y2 = 1 [(x+1)2 –y] [(x+1)2+y]= 1
Tương tự ta suy ra được 
 y = 0 (x+1)2 = 1 x+1 = 1 x = 0 hoặc x = -2
Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( - 2, 0 )
 b2. Phương pháp Biểu thị một ẩn theo ẩn còn lại rồi dùng tính chất 
chia hết.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
 x2 – xy = 6x – 5y – 8
 5 Do đó ta có = 3 hoặc = 5 
 { = 5 { = 3
Giải ra ta được (x,y) = (2,3); (2,-2); (-1, -2); (-1, 3) và các hoán vị của nó.
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 – 4xy + 5y2 = 169
Hướng dẫn: Ta có x2 – 4xy + 5y2 = 169 (x – 2y)2 + y2 = 169 
 Ta thấy 169 = 02 + 132 = 52 + 122
 = 0 hoặc = 13 
 { = 13 { = 0
 hoặc = 5 hoặc = 12 
 { = 12 { = 5
Giải ra ta được (x, y) = (29, 12);(19, 12); (-19, -12); (22, 5); (-2, 5) ;(2, -5); 
(-22, -5); (26, 13); (-26, -13); (-13. 0); (13, 0)
 b4. Phương pháp Xét số dư từng vế.
Ví dụ 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 9x + 2 = y2 + y (1)
 Lời giải
Ta có: 9x + 2 = y2 + y 9x + 2 = y(y + 1) (*)
Ta thấy vế trái của (*) là số chia cho 3 dư 2 nên y(y + 1) chia cho 3 dư 2. 
Nếu y chia hết cho 3 hoặc y chia cho 3 dư 2 thì y(y + 1) đều chia hết cho 3, trái 
với kết luận trên. 
Do đó y chia cho 3 dư 1. Đặt y = 3k + 1(k là số nguyên) thì y +1 = 3k + 2. Khi 
đó ta có: 9x + 2 = (3k + 1)(3k + 2) 9x = 9k(k+1) x = k(k+1)
Thử lại x = k(k+1) và y = 3k + 1(k là số nguyên) thoả mãn phương trình đã cho. 
Vậy nghiệm nguyên của phương trình (1) là x = k(k+1) và y = 3k + 1( với k là 
số nguyên)
 b5. Phương pháp sử dụng tính chẵn lẻ.
 Ví dụ 1: Tìm x, y nguyên tố thoả mãn y2 – 2x2 = 1
Hướng dẫn:
Ta có y2 – 2x2 = 1 y 2 = 2x2 +1 y là số lẻ
Đặt y = 2k + 1 (với k nguyên).Ta có (2k + 1)2 = 2x2 + 1 
 x2 = 2 k2 + 2k x chẵn , mà x nguyên tố x = 2, y = 3
Ví dụ 2. Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên: 
 7 1 1 1 1 3
 2 3 x x 1 ( do x nguyên dương)
 x y z x 2
 1 1 1 1 2
Thay x = 1 vào (2) ta có : 1 2 1 y 2
 y z y z y
 1 1
Suy ra : y = 1 = 0 (vô lí) hoặc y = 2 = 2 z = 2. 
 z z
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (3) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 2). 
b7. Phương pháp Dùng bất đẳng thức.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 –xy + y2 = 3
Hướng dẫn:
 y 3y 2
Ta có x2 –xy + y2 = 3 (x- )2 = 3 - 
 2 4
 y 3y 2
Ta thấy (x- )2 0 3 - 0 -2 y 2
 2 4
 y= 2; 1; 0 thay vào phương trình tìm x 
Ta được các nghiệm nguyên của phương trình là :
(x, y) = (-1,-2), (1, 2); (-2, -1); (2,1) ;(-1,1) ;(1, -1)
 Ví dụ 2: Tìm các số nguyên dương x, y thoả mãn phương trình : 
 (x2 + 1)(x2 + y2) = 4x2y 
 Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô–si ta có: 
x2 + 1 2x, dấu bằng xảy ra x = 1. 
x2 + y2 2xy, dấu bằng xảy ra x = y. 
Vì x, y nguyên dương nên nhân các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được : 
(x2 + 1)(x2 + y2) 4x2y, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1. 
Vậy phương trình có nghiệm nguyên duy nhất x = y = 1. 
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: (x + y + 1)2 = 3(x2 + y2 + 1)
 Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có:
 x y 1 2 (12 12 12 ) x2 y2 +12 3 x2 y2 +1 
 x y 1
 Đẳng thức xảy ra x y 1
 1 1 1
 9 Điều kiện cần để (2) có nghiệm là 0
 = (y + 1)2 - 4(y2 - y) = y2 + 2y + 1 - 4y2 + 4y
 = -3y2 + 6y + 1
 * 0 3y 2 6y 1 0 3(y 1) 2 4
Do đó (y - 1)2 1. Suy ra -1 y - 1 1
 y - 1 -1 0 1
 y 0 1 2
 2
Với y = 0, thay vào (2) ta được x - x = 0 Ta có x1 = 0; x2 = 1
 2
Với y = 1, thay vào (2) được x - 2x = 0 Ta có x3 = 0; x4 = 2
 2
Với y = 2, thay vào (2) ta được x - 3x + 2 = 0 Ta có x5 = 1; x6 = 2
Thử lại, các giá trị trên đều nghiệm đúng phương trình. 
Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm nguyên là (0;0), (1;0), (0;1), (2;1), (1;2), 
(2;2)
 Một số bài toán áp dụng thực tế ( sưu tầm).
Bài 1: Hai đội cờ thi đấu với nhau mỗi đấu thủ của đội này phải đấu 1 ván với 
mỗi đấu thủ của đội kia. Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng 4 lần tổng số đấu 
thủ của hai đội và biết rằng số đấu thủ của ít nhất trong 2 đội là số lẻ hỏi mỗi đội 
có bao nhiêu đấu thủ.
Hướng dẫn:
Gọi x, y lần lượt là số đấu thủ của đội 1 và đội 2 (x, y nguyên dương )
Theo bài ra ta có xy = 4 (x + y) 
Đây là phương trình nghiệm nguyên ta có thể giải bằng các cách sau 
Cách 1: Có xy = 4(x + y) xy – 4x – 4y + 16 = 16 (x-4) (y - 4) = 16
 mà 16 = 1.16 = 2.8 = 4.4 
 lại có ít nhất 1 đội có số đấu thủ lẻ
 x–4 = 1 x = 5 hoặc x = 20 
 {y - 4 = 16 {y = 20 {y = 5
Cách 2: Ta thấy x, y bình đẳng.Không mất tính tổng quát ta giả sử x y
 4 4
 Ta có x, y nguyên dương xy = 4 (x + y) + = 1
 x y
 11 Bài 1: Giải các phương trình nghiệm nguyên.
 3 3 2 2
a) 3x - 3y = 21 b) 3xy + x - y = 1 c) 2x + 3xy - 2y = 7
Bài 2: Tìm x,y, z nguyên dương thoả mãn.
 xy yz zx
a) 2(x + y + z) + 9 = 3xyz b) xy + yz + zx = xyz + 2 c) 3
 z x y
Bài 3: Chứng minh rằng:
 1 1 1
a) Phương trình 1 không có nghiệm nguyên dương.
 x 2 xy y 2
 1 1 1 1
b) chỉ có một số hữu hạn nghiệm nguyên dương.
 x y z 1991
Bài 4: Giải phương trình trên tập số nguyên.
a) x2 3y2 17 . b) x2 5y2 17 . c) x2 2y2 1.
Bài 5: Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình sau.
a) x y 1 xyz . b) x y z 9 xyz. 
 1 1 1 1
 x y z t xyzt 1
c) . d) x y z t . 
 c. Kết quả khảo nghiệm.
 Trước và sau khi thực hiện đề tài.
 Để đánh giá được khả năng của các em đối với dạng toán trên và có phương 
án tối ưu truyền đạt tới học sinh, tôi đã ra một đề toán cho 10 em học sinh khá 
giỏi khối 9 của trường như sau:
 Bài 1: ( 6 điểm ) Tìm số nguyên x, y biết
 2 2
 a) x – y + 2xy = 6 b) 3(x xy y ) x 8y
 Bài 2: (4 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x2 – 5y2 = 0
 Kết quả thu được như sau: 
 Dưới điểm 5 Điểm 5 – dưới 8 Điểm 8 - 10
 SL % SL % SL %
 7 70 3 30 0 0
 13 nghĩ rằng tôi cần phải cố gắng đọc thêm tài liệu, học bạn bè đồng nghiệp để tiếp 
tục xây dựng đề tài ngày càng phong phú hơn.
 KIẾN NGHỊ. 
 Đối với nhà trường : 
 Cần tạo điều kiện thuận lợi hơn nữa về thời gian cũng như tài liệu để giúp 
giáo viên, nhất là giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi giảng dạy tốt hơn. 
 Trang bị thêm đồ dùng dạy học, sách tham khảo để phục vụ tốt hơn cho 
công tác giảng dạy, tự học, tự nghiên cứu của giáo viên và học sinh.
 Đối với ngành :
 Mở những buổi hội thảo chuyên đề về bộ môn Toán để nâng cao trình độ 
chuyên môn và học hỏi kinh nghiệm của các đồng nghiệp.
 Tổ chức các buổi thảo luận, hướng dẫn viết SKKN và giới thiệu các sáng 
kiến kinh nghiêm có chất lượng cao, ứng dụng lớn trong thực tiễn.
 Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên rất đa dạng và được 
ứng dụng rộng rãi, phổ biến trong nhiều bài toán, dạng toán. Chắc chắn rằng còn 
nhiều phương pháp để giải phương trình nghiệm nguyên và còn nhiều ví dụ hấp 
dẫn khác. Nhưng do năng lực bản thân có hạn nên trong khi trình bày sáng kiến 
này sẽ không tránh khỏi những điểm thiếu sót và khiếm khuyết.
 Người viết
 Vương Văn Lương
 15