Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ.
 Toán học là một môn học có vai trò khá quan trọng trong trường THCS. Qua 
toán học giúp cho người học nâng cao được khả năng tư duy, khả năng suy luận 
và vận dụng các kiến thức đó vào các môn học khác. Qua đó giúp người học 
phát triển và hoàn thiện nhân cách của mình. Chính vì lẽ đó việc lĩnh hội và tiếp 
thu môn toán là cả một vấn đề mà không người giáo viên dạy toán nào không 
quan tâm. Đặc biệt trong các hoạt động dạy và học môn toán đòi hỏi người dạy 
cũng như người học phải không ngừng tìm tòi sáng tạo, tích luỹ kinh nghiệm để 
đưa ra những phương pháp giảng dạy, những cách lĩnh hội phù hợp nhất. Để 
giúp người học nắm vững kiến thức môn học có tính hệ thống đây là vấn đề 
được đặt ra. Nhất là trong thực hành việc giải các bài toán mang tính vận dụng 
đòi hỏi người học phải nắm vững những hệ thống kiến thức cơ bản và khả năng 
vận dụng linh hoạt các công cụ toán học có tính hệ thống, các kĩ năng, kĩ sảo 
trong khi thực hiện.
 Trong chương trình toán học phổ thông thì phương trình nói chung và phương 
trình vô tỷ nói riêng là một trong những kiến thức rất cơ bản và phổ biến. 
Phương trình vô tỷ thường xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh, thi học sinh 
giỏi. Có rất nhiều phương pháp giải phương trình vô tỷ. Với SKKN này tôi chỉ 
xin được trao đổi cùng các bạn về các phương pháp giải phương trình vô tỷ một 
ẩn mà ở đó chứa các căn thức bậc hai là chủ yếu và mở rộng hơn là các căn bậc 
ba, bậc bốn, bậc năm mà giải nó chúng ta phải đưa về hệ phương trình.
 Trong quá trình giảng dạy ở lớp 9, tôi thấy phương trình vô tỷ là một trong 
những phương trình mà khi giải người làm toán phải định hướng được nên giải 
theo cách nào cho phù hợp và nhanh gọn. Vì vậy khi học sinh giải các phương 
trình vô tỷ, để có một định hướng rõ ràng và việc tìm ra lời giải quả thật không 
phải là công việc đơn giản. Trong khi bồi dưỡng học sinh giỏi cũng như ôn tập 
cho học sinh chuẩn bị thi chuyển cấp, đòi hỏi người giáo viên phải tìm tòi, suy 
nghĩ, đọc nhiều sách tham khảo. Chính vì thế tôi đã tổng hợp lại một số phương 
pháp giải phương trình vô tỷ cho học sinh làm tài liệu học tập và tham khảo: 
 1 II - Thực trạng của vấn đề:
 Các bài toán giải phương trình vô tỷ là những bài toán khó, để giải được các 
dạng toán đó đòi hỏi chúng ta phải nắm được nhiều kiến thức cơ bản và các 
phương pháp để giải PT vô tỷ.
 Có nhiều phương pháp để giải PT vô tỷ và ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi 
loại bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp. Đối với học sinh THCS loại 
toán giải PT vô tỷ làm đa số các em rất ngại nhưng nó lại thường được sử dụng 
trong các kỳ thi học sinh giỏi. Hơn nữa đa số các em khá giỏi lại rất có hứng thú 
với loại toán này, bởi nó giúp các em khả năng phân tích, dự đoán, tính toán, lập 
luận lôgic, khả năng tổng hợp, khái quát một vấn đề  .
 Tuy nhiên trong thực tế giảng dạy ở trường THCS, học sinh gặp nhiều khó 
khăn khi giải các dạng toán này vì các bài toán này không có cách giải mẫu, 
không theo một phương pháp nhất định nên học sinh không xác định được 
hướng giải bài toán. Mặt khác vì nhận thức của học sinh THCS còn có nhiều hạn 
chế và khả năng tư duy chưa tốt do đó học sinh còn lúng túng nhiều và không 
biết vận dụng kiến thức vào giải các dạng bài toán khác.
 Trong chương trình đại số 9. Học sinh đã biết áp dụng định nghĩa căn bậc hai 
số học, sử dụng hằng đẳng thức A2 A , các phép biến đổi căn thức bậc hai để 
giải PT vô tỷ. Tuy nhiên chưa có hệ thống phương pháp giải PT vô tỷ nên nhiều 
khi học sinh còn lúng túng, cụ thể:
 + Khi chưa áp dụng SKKN, tôi đã kiểm tra khảo sát với 15 học sinh đội 
tuyển toán 9 trường THCS Hưng Hóa trong năm học 2018 – 2019 với. 
 Đề khảo sát (Thời gian 90 phút)
 Giải các phương trình sau:
 1. x2 4 x 2 (2 điểm)
 2. x 3 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2 (2 điểm)
 3. x3 8 2x2 6x 4 (2 điểm)
 4. x 1 5x 1 3x 2 (2 điểm)
 5. 3 x 2 x 1 3 (2 điểm)
 3 III - Các biện pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề:
 Trên cở sở nhận định, đánh giá, phân tích thực trạng của vấn đề. Tôi đã 
tiến hành phân loại theo một số phương pháp giải PT vô tỷ. Thông qua các ví dụ 
cụ thể, các ví dụ mẫu, nhận xét đặc điểm, phân tích sai lầm, đánh giá, đưa ra các 
bài tập tương tự về giải PT vô tỷ theo cấu trúc các phương nhu sau:
1. PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LÊN LUỸ THỪA. 
- Sử dụng công thức của định nghĩa căn bậc hai số học:
 x 0
 a x
 2
 x a
- Bình phương hoặc lập phương hai vế của PT.
 1.1 Giải phương trình dạng: f (x) g(x)
Ví dụ 1: Giải phương trình: 3x 4 x (1)
 x 0
 3x 4 x
- Ta có : 2
 x 3x 4
- Giải x2 3x 4 x2 3x 4 0
 Có a b c 1 3 4 0
 Suy ra x1 1 không t/m x 0 ; x2 4 t/m x 0
- Vậy PT (1) có nghiệm duy nhất x 4 .
Ví dụ 2: Giải phương trình: x x 1 13 (2) x 1 13 x (2’) 
 x 1 0 x 1
- ĐKXĐ : 1 x 13 (*)
 13 x 0 x 13
- Bình phương hai vế của (2’) ta được: x 1 (13 x) 2 x 2 27x 170 0
 PT này có nghiệm x1 10 t/m (*) ; x2 17 không t/m (*) .
- Vậy PT (2) có nghiệm duy nhất là x 10 .
 1.2 Giải phương trình dạng: f (x) h(x) g(x)
Ví dụ 3: Giải phương trình: 1 x 2 x 1 (3) 1 x 1 2 x (3’)
 1 x 0 x 1
- ĐKXĐ: 2 x 1 
 2 x 0 x 2
- Bình phương hai vế của PT (3’) ta được:
 5 x 1 0 x 1
- ĐKXĐ: 12 x 0 x 12 7 x 12 (*)
 x 7 0 x 7
- Bình phương hai vế và biến đổi ta được: x 4 2 (12 x)(x 7) (5” )
- Ta thấy với ĐK (*) hai vế của PT (5” ) không âm nên bình phương 2 vế của PT 
(5” ) ta được: x 4 2 4 x2 19x 84 5x2 84x 352 0 
 44
 PT này có nghiệm x và x 8 đều t/m (*) .
 1 5 2
 44
- Vậy x và x 8 là 2 nghiệm của PT (5).
 1 5 2
 1.4 Giải phương trình dạng : f (x) h(x) g(x) + q(x)
Ví dụ 6: Giải phương trình: x 1 + x 10 = x 2 + x 5 (6)
 x 1 0 x 1
 x 10 0 x 10
- ĐKXĐ: x 1 (*)
 x 2 0 x 2
 x 5 0 x 5
- Bình phương hai vế của PT (6) ta được:
 x 1 x 10 2 (x 1)(x 10) x 2 x 5 2 x 2 x 5 
 2 (x 1)(x 10) = (x 2)(x 5) (6’)
- Với x 1 thì hai vế của (6’) đều dương nên bình phương hai vế của (6’) và 
 biến đổi ta được: (x 1)(x 10) 1 x . Điều kiện ở đây là x 1 (**)
- Ta chỉ việc kết hợp giữa (*) và (**)
 x 1
 x 1 Thay vào PT (6) thấy thỏa mãn 
 x 1
- Vậy x 1 là nghiệm duy nhầt của PT (6).
 Nhận xét : Phương pháp nâng lên luỹ thừa được sử dụng vào giải một số 
dạng PT vô tỉ quen thuộc, song trong quá trình giảng dạy cần chú ý khi nâng lên 
luỹ thừa bậc chẵn. Với a;b 0 nếu a b thì a2n b2n và ngược lại ( n 1,2,3...). 
Từ đó mà chú ý ĐKXĐ của căn, điều kiện ở cả hai vế của PT là vấn đề mà học 
sinh hay mắc sai lầm khi sử dụng phương pháp này.
 7 Ví dụ 2 : Giải phương trình: x 4 x 1 3 x 6 x 1 8 1 (2)
- ĐKXĐ: x 1 (*)
 (2) (x 1) 4 x 1 4 (x 1) 6 x 1 9 1
 ( x 1 2)2 ( x 1 3)2 1 x 1 2 x 1 3 1 (2’ ) 
- Áp dụng BĐT: A A . Dấu bằng xảy ra A 0
 Ta có x 1 2 x 1 3 x 1 2 3 x 1 x 1 2 3 x 1 1
 x 1 2 0 x 1 2 x 5
 Dấu bằng xảy ra 5 x 10 t/m (*)
 3 x 1 0 x 1 3 x 10
- Vậy PT (2) có vô số nghiệm x t/m 5 x 10 
 Nhận xét :
 Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 
 được sử dụng giải một số dạng phương trình vô tỉ quen thuộc như trên 
 song trong thực tế cần lưu ý cho học sinh:
 - Áp dụng hằng đẳng thức A2 = A .
 - Học sinh thường hay mắc sai lầm hoặc lúng túng khi xét các khoảng 
 giá trị của ẩn nên giáo viên cần lưu ý để học sinh tránh sai lầm .
 Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau:
 1. x2 6x 9 x2 10x 25 8
 2. x2 2x 1 x2 4x 4 x 2 4x 4
 3. x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 5
 4. x 3 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2
3. PHƯƠNG PHÁP 3: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH. 
 Phân tích thành nhân tử để xuất hiện những phương 
 trình vô tỷ đơn giản hơn.
Ví dụ 1: Giải phương trình: x 1 x 3 x 2 x 1 x 2 x 3 (1)
- ĐKXĐ: x 3
- Với x 3 ta có (1) x 1. x 3 x 2 x 1. x 2 x 3
 9 + Nếu 2 u2 2u 1 0 2 u2 2u 1 2 u2 2u 1 2 vì u 0
 5u2 4u 1 0 
 1
 u 1 0(loai);u (t / m) 
 1 2 5
 2
 2 1 24
- Khi đó x u2 1 1 t/m điều kiện (*)
 5 25
 24
- Vậy PT (4) đã cho có 2 nghiệm là x 0 và x .
 25
 Nhận xét: 
 Khi sử dụng phương pháp đưa về PT tích để giải PT vô tỉ ta cần chú ý 
 các bước sau:
 + Tìm tập xác định của PT .
 + Dùng các phép biến đổi đại số , đưa PT về PT tích dạng f x .g x ...... 0 
 Từ đó ta suy ra f x 0 ; g x 0; . là PT quen thuộc.
 + Nghiệm của PT là tập nghiệm của các PT f x 0 ; g x 0; ... 
 thuộc tập xác định.
 + Biết vận dụng, phối hợp một cách linh hoạt với các phương pháp khác 
như nhóm các số hạng, tách các số hạng hoặc đặt ẩn phụ thay thế cho một biểu 
thức chứa ẩn đưa về PT về dạng tích quen thuộc đã biết cách giải.
 Bài tập áp dụng: Giải các PT sau:
 1. x3 7x 6 0
 2. x 2 x 2 2 x2 x 2 x 1
 3. x x 5 2 3 x2 5x 2 2
 4. 2 x2 2x 3 5 x3 3x2 3x 2
4. PHƯƠNG PHÁP 4: ĐẶT ẨN PHỤ.
 4.1 Đặt ẩn phụ để có phương trình bậc hai
Ví dụ 1 : Giải phương trình : 3x2 6x 20 x 2 2x 8 (1)
- Vì x2 2x 8 x 1 2 7 0x => TXĐ: x R .
 11 5. PHƯƠNG PHÁP 5: ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
Ví dụ1: Giải phương trình: 25 x2 15 x2 2 (1)
- ĐKXĐ: 0 x2 15
- Đặt: 25 x2 a 0 (*); 15 x2 b 0 
- Từ PT (1) đã cho chuyển về hệ phương trình:
 7
 a 
 a b 2 a b 2 2
 a2 b2 10 a b 5 3
 b 
 2
 49 51 51
 Thay vào PT (*) ta có 25 x2 x2 x ( t/m ĐKXĐ ) . 
 4 4 2
 51
- Vậy PT (1) có 2 nghiệm x 
 2
 (5 x) 5 x (x 3) x 3
Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 (2) 
 5 x x 3
- ĐKXĐ: 3 x 5
- Đặt 5 x u(u 0) ; x 3 t(t 0)
- Phương trình (2 ) trở thành hệ phương trình:
 u2 t 2 2 u 0 x 5
 ut 0 ( t/m ĐKXĐ )
 u2 ut t 2 2 t 0 x 3
- Vậy PT (2) có 2 nghiệm x 3 và x 5.
Ví dụ 3: Giải phương trình: 3 2 x x 1 1 (3)
- ĐKXĐ: x 1 
- Đặt 3 2 x u ; x 1 t(t 0)
- Khi đó ta có u3 2 x;t 2 x 1 nên u3 t3 1
 u t 1(1' )
- PT đã cho được đưa về hệ: 
 3 3 '
 u t 1(2 )
 Từ PT (1’) u 1 t .Thay vào PT (2’) ta có: 1 t 3 t 2 1 t t 2 4t 3 0
 t 0
 t 0 
 t 1
 2 
 t 4t 3 0 
 t 3
 13