Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ ở trường THCS

 MỤC LỤC
TT Nội dung Trang
 1 Phần A. Phần mở đầu 2
 2 I. Lý do chọn đề tài 2
 3 II. Mục đích nghiên cứu 2
 4 III. Phạm vi nghiên cứu 3
 5 IV. Đối tượng nghiên cứu 3
 6 V. Phương pháp nghiên cứu 3
 7 VI. Dự báo đóng góp của đề tài 3
 8 Phần B. Phần nội dung 3
 9 I. Cơ sở lí luận 3
10 II. Cỡ sở thực tiễn 4
11 III. Nội dung nghiên cứu 4
12 IV. Kết quả nghiên cứu 15
13 Phần C. Kết luận 16
14 I. Bài học kinh nghiệm 16
15 II. Kết luận và kiến nghị 17
 1 Nghiên cứu vấn đề này còn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo và dạy 
thành công về phương trình vô tỉ. 
 III. Phạm vi nghiên cứu
 Nội dung chương trình Đại số lớp 9 
 IV. Đối tượng nghiên cứu
 a. Các tài liệu có liên quan .
 b. Giáo viên, học sinh khá giỏi ở trường THCS .
 V. Phương pháp nghiên cứu
 - Nghiên cứu SGK, tài liệu tham khảo sau đó vận dụng vào hướng dẫn 
cho HS từ đó rút ra những bài học kinh nghiệm.
 - Thường xuyên trao đổi với GV bộ môn nhằm tháo gỡ những khó khăn 
của đề tài.
 - Một số tài liệu tham khảo:
 + Toán học tuổi trẻ,Toán học tuổi thơ
 + Toán nâng cao và phát triển lớp 9, Toán nâng cao và các vhuyeen đề 
Đại số 9
 Một số tài liệu tham khảo khác.
 - Điều tra, khảo sát và thử nghiệm.
 VI. Dự báo đóng góp của đề tài.
 - Trong quá trình nghiên cứu đề tài tôi đã tìm hiểu và thấy được sự khó 
khăn của học sinh trong việc giải phương trình vô tỉ. Học sinh luôn cho môn giải 
phương trình vô tỉ khó, làm cho học sinh ngày càng xa rời đối với phương trình 
vô tỉ. 
 - Đối với giáo viên khi hướng dẫn học sinh làm các dạng bài tập cũng như 
khi nghiên cứu các dạng bài tập chỉ đi sâu và coi trọng các dạng bài tập vận 
dụng công thức tạo ra sự nhàm chán cho học sinh. Vì vậy khi gặp một số dạng 
bài tập có sự biến đổi phức tạp thì học sinh hết sức lúng túng.
 - Hệ thống bài tập từ dễ đến khó cho nên đề tài này tài liệu tham khảo để 
bồi dưỡng học sinh giỏi và thi vào lớp 10 trung học phổ thông.
 PHẦN B. NỘI DUNG
 I. Cở sở lý luận
 Trong quá trình phát triển, xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự 
nghiệp đào tạo con người. Chính vì vậy mà dạy toán không ngừng được bổ sung 
và đổi mới để đáp ứng với sự ra đời của nó và sự đòi hỏi của xã hội. Vì vậy mỗi 
người giáo viên nói chung phải luôn luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi mới phương pháp 
dạy học để đáp ứng với chủ trương đổi mới của Đảng và Nhà nước đặt ra. 
 3 2. Muốn nâng lên luỹ thừa bậc chẵn cả hai vế của phương trình để được 
 phương trình tương đương thì phải đặt điều kiện cho hai vế không âm.
 - A 2 A
 A A2 B A A2 B
 - A B với A > 0; A2 > B > 0
 2 2
 3. Khi giải phương trình vô tỉ cần tránh những sai lầm sau:
 - Không chú ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức. 
 - Không đặt điều kiện có nghĩa của căn thức.
 - Khi bình phương hai vế của phương trình chưa đặt điều kiện cho hai vế 
 cùng dương. 
 4. Để giải phương trình vô tỉ thành thạo thì các kiến thức sau cần nắm vững. 
 - Các phép biến đổi căn thức. 
 - Các phép biến đổi biêủ thức đại số. 
 - Các kiến thức và phương pháp giải các phương trình và hệ phương trình.
 - Các kiến thức về bất đẳng thức. . . 
 4. Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ
 4.1. Phương pháp nâng lên luỹ thừa: 
 a) Kiến thức vận dụng:
 - (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
 - (A - B)2 = A2 - 2AB + B2
 - (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
 - (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
 f (x) 0
 - f (x) g(x) g(x) 0
 2
 f (x) g(x)
 - 3 A m A m3
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 2 2x 1 x (1)
 Giải
Điều kiện căn có nghĩa: 2x 1 0 (2)
 1
 x 
 2
 (1) 2x 1 x 2 (3)
 Với điều kiện x 2 0 (4)
 (3) 2x - 1 = (x-2)2 (5) 
 5 Là nghiệm của phương trình 
Chú ý:
 Khi bình phương hai vế của phương trình cần chú ý điều kiện hai vế 
cùng dương. 
 Trước khi lên luỹ thừa cần biến đổi phương trình về dạng thuận lợi nhất 
để hạn chế các trường hợp hoặc có lời giải ngắn gọn. 
Ví dụ 5: Giải pt:x 2 4x 4 x 8 (1)
Giải: (x 2) 2 x 8
 x 2 + x 8
Nếu x 2 thì x 2 x 8 x 5
Nếu x <2 thì 2 x x 8 vô nghiệm
Kết luận: x = 5 là nghiệm của phương trình
c) Bài tập tương tự:
Giải các phương trình sử dụng phép bình phương. 
1) x2 - 4x =8x 1 (kq: x = 4+22 )
2) 2x 2 8x 6 +x 2 1 = 2x+2
 7 7
3) x 2 +x =x (kq: x = 2)
 x 2 x 2
4) x 1 -x 2 =x 5 -x 10 (kq: x= -1)
Sử dụng phép lập phương:
 1) 3 x 1 +3 x 2 =3 2x 3 ( kq: x = 4; 2)
 5
 2) 3 x 1 +3 x 1 =3 5x ( kq: x = 0; )
 2
 3) 3 x 1 +3 3x 1 =3 x 1 ( kq: x = - 1 )
 28
 4) 3 1 x +3 1 x =1 ( kq: x = )
 27
 4.2. Phương trình đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt 
đối:
 a) Kiến thức vận dụng:
 - f (x) 2 f (x) f (x) nếu f (x) 0
 f (x) 2 f (x) f (x) nếu f (x) 0 
 b) Ví dụ:
 Ví dụ 6: Giải phương trình:x 2 4x x 2 + x 7 6 x 2 1 (1)
 Giải:
 Điều kiện: x-2 0 hay x 2 (2)
 7 Giải:
Điều kiện: x 4 (2)
 1
Đặt: x y 0
 4
 1
 x y 2 
 4
 1 1
Khi đó (1) trở thành y 2 (y ) 2 2
 4 2
 2 2 1
 y 0
 2 2
 4y 4y 7 0 
 2 2 1
 y 
 2
 2 2 1
 Trường hợp y < 0 loại
 2
 x 2 2 , thoả mãn điều kiện (2)
 Vậy nghiệm của phương trình là: x 2 2
Ví dụ 9: Giải phương trình: 3 x 1 3 x 3 3 x 3 0 (1)
 Giải:
Đặt: x 2 y
 (1) 3 y 3 1 3 y 3 1 y
Lập phương hai vế ta có: y 3 y3 y 6 1
 y 0
 2 3 6
 y y 1
(+) Nếu: y 0 3 x 2 0 x 2
(+) Nếu y 2 3 y 6 1 y 6 y 6 1 , vô nghiệm
Vậy nghiệm của phương trình là: x = -2
b) Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình:
 - Dạng: ax b r(ux v) dx e (1) 
 Với a, u, r 0
 - Phương pháp giải: 
 Đặt u.y v ax b
Khi đó phương trình (1) đưa được về dạng: u(x y)(ruy rux 2ur 1) 0
Ví dụ 10: Giải phương trình: 2x 15 32x 2 32x 20 (1)
 Giải:
 15
Điều kiện: 2x 15 0 x 
 2
 9 Trừ vế với vế ta được:
 (x y)(P 2 Q 2 PQ 1) 0 (5)
Trong đó: P 2y 3
 Q 2x 3
Vì:P 2 Q 2 P.Q 1 0 x, y
Do đó:(5) x y Thay vào (3) ta được:
 (x-2)(8x2 -20+11)=0
 5 3 5 3
 x =2 ; x = ; x =
 1 2 2 3 2
 - Một số dạng khác:
 Ví dụ 12: Giải phương trình: 3 x 2 x 1 3 (1)
 Giải
Điều kiện: x 1 (2)
 3 3
Đặt: x 2 y x 2 y
 x 1 z 0 x 1 z 2
 z 2 y 2 3
Với điều kiện (2) thì (1) đưa về hệ:
 y z 3
 2 2
 z y 3
 z 0
 y 1
Giải hệ này ta được: 
 z 2
Từ đó suy ra: x = 3 là nghiệm của phương trình (1)
 1 1
Ví dụ 13: Giải phương trình: 2 (1) 
 x 2 x 2
 Giải:
 x 0
Điều kiện: 
 2 x 2
Đặt: 2 x 2 y 0 x 2 y 2 2
 x 2 y 2 2
Ta có hệ: (1) 1 1 
 2
 x y
Đặt: x +y = S; xy = P
 P 1, S 2
 S 2 2P 2
 (1) 1 
 S 2P P , S 1
 2
 11 11 11 37
 (Đặt 2y 3 3x 1, x 1; ; )
 4 8
 6) x 2 4x 3 x 5
 5 29
 (Đặt x 5 y 2, x 1; )
 2
 7) x 3 2 33 3 2
 (Đặt 3x 2 y, x 1; 2)
4.4. Phương pháp bất đẳng thức:
a) Chứng tỏ tập giá trị ở hai vế rời nhau khi đó phương trình vô nghiệm:
 - Phương trình: f(x) = g(x)
 Nếu tập giá trị của f(x), g(x) lần lượt là: S1, S2 mà S1 giao với S2 bằng rỗng thì 
phương trình vô nghiệm. 
 - Ví dụ 14: Giải phương trình: x 3 7x 3 5x 2 (1)
 Giải
 Điều kiện: x 3
 Với điều kiện này thì: x 3 7x 3
 Khi đó vế trái của (1) âm, còn vế phải dương do đó phương trình (1) vô 
nghiệm
b) Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế:
 Phương trình F(x) = G(x) (1)
 Nếu: F(x) K, dấu đẳng thức sảy ra khi x = a
 G(x) K, dấu đẳng thức sảy ra khi x = b
 (k, a, b là các hằng số)
 - a = b (1) có nghiệm là: x = a
 - a b (1) vô nghiệm
Ví dụ 15: Giải phương trình: 3x 2 6x 7 5x 2 10x 14 4 2x x 2 (1)
 Giải
 Vế trái: 3(x 1) 2 4 5(x 1) 2 9 4 9 5
 Vế phải: 4-2x –x2 = 5- (x+1)2 5
 Do đó cả hai vế đều bằng 5 khi x =-1, với giá trị này cả hai bất đẳng thức 
 trên đều là đẳng thức. 
 Vậy x = -1 là nghiệm của phương trình. 
Ví dụ 16: Giải phương trình: 6 x x 2 x 2 6x 13 (1)
 Giải :
 2 2 2 2
 Sử dụng bất đẳng thức: a1b1 a2b2 a1 a2 . b1 b2
 13 16 4 1225
 5) = 82 - x 3 y 1 z 665 
 x 3 y 1 z 665
 (x = 19; y = 5; z = 1890)
4.5. Phương pháp vận dụng lượng liên hợp:
Ví dụ 19. Giải phương trình:
 3x 2 7x 3 x 2 2 3x 2 5x 1 x 2 3x 4 (1)
 3x 2 7x 3 0
 x 2 2 0
Điều kiện xác định: 2
 3x 5x 1 0
 2
 x 3x 4 0
Dấu “=” ở điều kiện thứ nhất và thứ ba, thứ hai và thứ tư không đồng thời xảy 
ra. Do đó: (1)  3x 2 7x 3 3x 2 3x 1 x 2 2 x 2 3x 4
 (3x 2 7x 3) (3x 2 5x 1) (x 2 2) (x 2 3x 4)
  
 3x 2 7x 3 3x 2 5x 1 x 2 2 x 2 3x 4
 2 3
 ( 2 – x)( ) 0
 3x 2 7x 3 3x 2 5x 1 x 2 2 x 2 3x 4
  2 –x = 0  x = 2.
 Vậy, nghiệm của phương trình (1) là x = 2.
Ví dụ 20. Giải phương trình: 5x 6 x 3x 10 2 (2)
 6
 Điều kiện các định: x . Từ đây ta có 5x 6 3x 10 0 . Do đó:
 5
 (5x 6) (3x 10)
 5x 6 3x 10 x 2 0  x 2 0
 5x 6 3x 10
 2
  (x -2)( 1 ) = 0  x – 2 = 0  x = 2.
 5x 6 3x 10
 Vậy, nghiệm của phương trình (2) là x = 2.
Bài tập tương tự: Giải phương trình:
a) x 2 x 1 x 2 x 1 2x
b) 2x 2 5x 1 x 2 1 2x 2 7x 3 x 2 2x 3
IV. Kết quả nghiên cứu
 Tôi đã tiến hành thử nghiệm bằng 3 câu hỏi trong thời gian 45 phút sau 
khi kết thúc chuyên đề SKKN này ở các lớp 9A và 9B năm học 2019 – 2020 sau 
giờ học phụ đạo buổi chiều. Đối chiếu với kết quả ban đầu, tôi thấy hiệu quả rõ 
rệt, đặc biệt ở lớp 9A
 Kết quả như sau: 
 15