Sáng kiến kinh nghiệm Một số ứng dụng của định lí Vi-ét trong chương trình Toán 9

 MỤC LỤC
Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU..........................................................................................................1
I. Đặt vấn đề ...............................................................................................................................1
II. Mục đích nghiên cứu:...........................................................................................................1
Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ ....................................................................................2
 I. Cơ sở lí luận của vấn đề .................................................................................................2
 II. Thực trạng vấn đề: .......................................................................................................3
 III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:.......................................................4
 Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.....................................................4
 Ứng dụng 2: Tìm giá trị của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã cho và tìm 
 nghiệm còn lại. ................................................................................................................6
 Ứng dụng 3: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức 
 nào đó..............................................................................................................................7
 Ứng dụng 4: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số ..........11
 Ứng dụng 5: Lập phương trình bậc hai:.........................................................................12
 Ứng dụng 6: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai...........................................14
 Ứng dụng 7: Phương trình đường thẳng (d): y = ax + b(a 0) với Parabol (P):y = mx2 
 (m 0): .........................................................................................................................16
 IV. Tính mới của giải pháp: ............................................................................................17
 V. Hiệu quả SKKN:.........................................................................................................17
Phần thứ ba: Kết luận, kiến nghị ...........................................................................................18
 I. Kết luận:.......................................................................................................................18
 II. Kiến nghị:....................................................................................................................19
 1 + Rèn luyện kỹ năng nhận dạng và đề ra phương pháp giải thích hợp trong 
từng trường hợp cụ thể.
 + Giúp học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
 + Kiểm tra, đánh giá mức độ nhận thức của học sinh thông qua các bài kiểm 
tra qua đó kịp thời điều chỉnh về nội dung và phương pháp giảng dạy.
 + Đặt ra các tình huống có vấn đề nhằm giúp các em biết cách tìm tòi kiến 
thức nhiều hơn nữa không chỉ bài toán bậc hai mà cả các dạng toán khác. Giúp 
học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản và nhận dạng, 
hiểu được bài toán, áp dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập.
 Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
 I. Cơ sở lí luận của vấn đề
 Chương trình giáo dục phổ thông mới đã đáp ứng nhiệm vụ nêu tại Nghị 
quyết số 29-NQ/TW là "Xây dựng và chuẩn hóa nội dung giáo dục phổ thông 
theo hướng hiện đại, tinh gọn, bảo đảm chất lượng, tích hợp cao ở các lớp học 
dưới và phân hóa dần ở các lớp học trên; giảm số môn học bắt buộc; tăng môn 
học, chủ đề và hoạt động giáo dục tự chọn". Để thực hiện tốt Nghị quyết thì 
Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể đã xác đinh mục tiêu của Bậc THCSlà 
: giúp học sinh phát triển các phẩm chất, năng lực đã được hình thành và phát 
triển ở cấp tiểu học; tự điều chỉnh bản thân theo các chuẩn mực chung của xã 
hội; biết vận dụng các phương pháp học tập tích cực để hoàn chỉnh tri thức và kỹ 
năng nền tảng; có những hiểu biết ban đầu về các ngành nghề và có ý thức 
hướng nghiệp để tiếp tục học lên THPT học nghề hoặc tham gia vào cuộc sống 
lao động.
 Nội dung của hệ thức Vi-ét và ứng dụng hệ thức Vi-ét : 
 Hệ thức Vi-ét: 
 2
 Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình ax + bx + c = 0 (a 0) thì: 
 b
 x x 
 1 2 a
 c
 x .x 
 1 2 a
 Ứng dụng : (trường hợp đặc biệt)
 + Nhẩm nghiệm: Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) 
 c
 Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1, x2 = 
 a
 c
 Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = -1, x2 = -
 a
 S u v
 + Nếu có hai số u và v thoã mãn: thì u và v là hai nghiệm của 
 P u.v
phương trình: x2 – Sx + P = 0. Điều kiện để có hai số u và v là: S2 – 4P 0.
 2 Để giúp học sinh nắm vững kiến thức về việc vận dụng hệ thức Vi-ét trong 
quá trình giảng dạy, tôi đã củng cố từng phần sau mỗi tiết học lý thuyết và tiết 
luyện tập về hệ thức Vi-ét để học sinh được khắc sâu thêm, đồng thời rèn luyện 
cho các em kỹ năng trình bày bài toán khi gặp các dạng này. 
 Rèn luyện các kỹ năng nhận dạng, phân dạng toán có sử dụng hệ thức Vi-ét 
để giải nhằm giúp học sinh nắm được đề ra và đưa ra phương pháp giải thích hợp 
trong từng trường hợp cụ thể. 
 Các em không còn gặp bất ngờ, khó khăn khi gặp các dạng bài toán có sử 
dụng hệ thức Vi-ét từ đó các em cảm thấy dần hứng thú, say sưa khi học về 
chuyên đề Hệ thức Vi-ét và ứng dụng của nó.
 Không chỉ áp dụng sáng kiến vào quá trình giảng dạy của cá nhân mà tôi 
còn đưa nội dung chuyên đề cho bạn đồng nghiệp trong trường tham khảo. Kết 
quả nhận được các phản hồi tích cực của các bạn đồng nghiệp. Qua áp dụng 
SKKN trên tôi thấy đa số học sinh đều vận dụng được hệ thức Vi-ét vào giải các 
bài toán cơ bản, đạt kết quả học tập tốt hơn. 
 III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề: 
 Trang bị cho các em các dạng toán cơ bản, thường gặp.
 Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.
 Rèn kỹ năng nhận dạng và đề ra phương pháp giải thích hợp trong từng 
trường hợp cụ thể.
 Kiểm tra, đánh giá mức độ nhận thức của học sinh thông qua các bài kiểm 
tra qua đó kịp thời điều chỉnh về nội dung và phương pháp giảng dạy.
 Tạo hứng thú qua các dạng toán áp dụng hệ thức trong giải toán về phương 
trình bậc hai thông qua các bài toán có tính tư duy, giúp học sinh có tư duy linh 
hoạt và sáng tạo.
 Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) (*)
 Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
 Trường hợp 1: Phương trình bậc hai có các hệ số có quan hệ đặc biệt:
Xét phương trình (*) ta thấy :
 c
 a) Nếu a + b + c = 0 phương trình (*) có nghiệm x 1 và x 
 1 2 a
 c
 b) Nếu a b + c = 0 phương trình (*) có nghiệm x 1và x 
 1 2 a
Ví dụ 1(Bài 26/53 Sgk Toán 9_tập 2): 
 Không giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
 a) 35x2 - 37x + 2 = 0 ; c) x2 - 49 x - 50 = 0 
Giải:
 a) Phương trình: 35x2 - 37x + 2 = 0.
 Ta có a + b + c = 35 + (- 37) + 2 = 0, nên phương trình có hai nghiệm:
 4 1. 7x2 500x 507 0
 2. 1,5x2 1,6x 0,1 0
 3. 2 3 x2 2 3x 2 3 0
 Ứng dụng 2: Tìm giá trị của tham số khi biết một nghiệm của phương 
trình đã cho và tìm nghiệm còn lại.
 Phương pháp: 
 + Cách 1: Thay giá trị nghiệm đã biết vào phương trình để tìm tham số, sau 
đó kết hợp với hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm còn lại.
 + Cách 2: Thay giá trị nghiệm đã biết vào một trong hai hệ thức của Vi-ét để 
tìm nghiệm còn lại, sau đó kết hợp với hệ thức Vi-ét còn lại để tìm giá trị của 
tham số.
 Ví dụ 1:(Bài 40/57SBT , Toán 9_tập 2)
 Dùng hệ thức Vi – ét để tìm nghiệm x2 của phương trình rồi tìm giá trị của 
m trong mỗi trường hợp sau: 
 2
 a) Phương trình x + mx - 35 = 0 (1), biết nghiệm x1=7
 2
 b) Phương trình x - 13x + m = 0 (2), biết nghiệm x1=12,5
Giải: a) Phương trình x2 + mx - 35 = 0 (1)
 Cách 1: Thay x1 = 7 vào phương trình (1) ta được m 2 .
 Theo hệ thức Vi-ét, ta có : x1.x2 35 . Mà x1= 7 nên x2 5 
 Cách 2: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét, ta có : 
 x1.x2 35
 Mà x1 = 7 nên x2 5 .
 Mặt khác x1 x2 m m 2
 b) Đáp số : x2 0,5 ,m 6,25
Nhận xét : Đối với ví dụ trên thì cách 2 giải nhanh hơn và gọn hơn. Tuy nhiên 
với ví dụ 2 thì cách một lại nhanh hơn. Vì vậy khi gặp dạng toán này thì tùy vào 
vị trí của tham số mà ta chọn cách giải cho phù hợp.
 Bài tập vận dụng: (Bài 40/57SBT , Toán 9_tập 2)
 2 2
 c) Phương trình 4x 3x m 3m 0 , biết nghiệm x1 2
 2 1
 d) Phương trình 3x 2 m 3 x 5 0 , biết nghiệm x1 
 3
 Hướng dẫn: 
 3 5
 c) Theo hệ thức Vi-ét: 2 x x 
 2 4 2 4
 m2 3m 5 m2 3m
 Mà x x hay 2. m2 3m 10 0 .
 1 2 4 4 4
 Suy ra m1 2; m2 5
 e) Đáp số : x2 5 ,m 11
 Ứng dụng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
 6 2 2 2
 f) F x1 x2 x1 x2 x1 x2 4x1 x2 5 4.3 13 
 4.2. Tìm điều kiện của tham số để hai nghiệm của phương trình thỏa 
mãn đẳng thức hoặc bất bẳng thức:
 Phương pháp: 
 - Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm (hoặc nếu nhận 
thấy phương trình luôn có nghiệm thì chứng minh điều đó)
 +Sử dụng một số hệ thức thường gặp:
 S x1 x2
 Theo hệ thức Vi-ét ta có: 
 P x1.x2
 2 2 2 2 3 3 3 3
 x1 x2 x1 x2 2x1x2 S 2P ; x1 x2 x1 x2 3x1x2 x1 x2 S 3PS
 2
 4 4 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x1 x2 S
 x1 x2 x1 x2 2x1 x2 (S 2P) 2P ; 
 x1 x2 x1 x2 P
 2 2 2
 1 1 x x S 2P 2 2
 1 2 ; x x x x x x 4x x S2 4P 
 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
 x1 x2 x1 x2 P
 + Sử dụng các hệ thức trên biến đổi hệ thức chứa nghiệm về dạng chỉ chứa 
tổng và tích hai nghiệm, từ đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta được phương trình có ẩn 
là tham số. Giải phương trình vừa lập ta tìm được giá trị của tham số. 
 + Đối chiếu giá trị tìm được của tham số với điều kiện có nghiệm của 
phương trình đã cho rồi kết luận.
 Các ví dụ: 
 Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x2 + 2x + m = 0 (m là tham số) (1) có hai 
nghiệm x1, x2 thoả mãn :
 2 2 1 1 2 2
 a) x1 + x2 = 8 ; b) 3 ; c) x1 x2 5x1x2 9
 x1 x2
Giải: Phương trình x 2 + 2x + m = 0 là phương trình bậc hai ẩn x nên ta có 
 ' 1 m
 Để phương trình (1) có nghiệm thì ' 0 1 m 0 m 1 
 x1 x2 2
 Theo hệ thức Vi-ét ta có: 
 x1x2 m
 2 2 2
a) Ta có : x1 + x2 = (x1+ x2) - 2x1x2 = 4 - 2m
 2 2
 Để x1 + x2 = 8 4 - 2m = 8 m = -2 (thoả mãn điều kiện)
 2 2
Vậy phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 + x2 = 8 m = -2 
 1 1 x x 2
b) Ta có 1 2 
 x1 x2 x1 x2 m
 1 1 2 2
Để 3 3 m (thoả mãn điều kiện)
 x1 x2 m 3
 1 1 2
Vậy phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn 3 m 
 x1 x 2 3
 8