Sáng kiến kinh nghiệm Một số ứng dụng của hệ thức Vi-ét trong giải toán

 PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
 1. Cơ sở lý luận
 Trong hoạt động giáo dục hiện nay, đòi hỏi học sinh cần phải tự học tự 
nghiên cứu rất cao. Tức là cái đích cần phải biến quá trình giáo dục thành quá 
trình tự giáo dục. Như vậy, học sinh có thể phát huy được năng lực sáng tạo, tư 
duy khoa học, từ đó xử lý linh hoạt được các vấn đề của đời sống xã hội. 
 Một trong những phương pháp để giúp học sinh đạt được điều đó đối với 
môn Toán đó là khích lệ các em sau mỗi đơn vị kiến thức cần khắc sâu, tìm tòi 
những bài toán liên quan. Làm được như vậy có nghĩa là các em rất cần sự say 
mê học tập, tự nghiên cứu đào sâu kiến thức.
 2. Cơ sở thực tiễn
 Trong quá trình dạy toán ở các trường THCS tôi nhận thấy kiến thức và 
kỹ năng về vận dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình là nền tảng trong 
chương trình toán THCS và được hoàn thiện trong chương trình toán THPT. 
 Trong quá trình nghiên cứu và tìm tòi tài liệu, ta thấy dạng toán vận dụng 
hệ thức Vi-ét giải phương trình bậc hai có chứa tham số hiện nay xuất hiện khá 
phổ trong các đề thi vào 10. Do đó học sinh cần được trang bị những kiến thức 
và kỹ năng cần thiết, cũng như được làm quen với các dạng toán về vận dụng hệ 
thức Vi-ét để giải toán. 
 Với những lí do đã nêu trên trong phạm vi đề tài này tôi mạnh dạn đưa ra 
 “Một số ứng dụng của hệ thức Vi-ét trong giải toán”.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
 Đưa ra một số dạng toán về vận dụng hệ thức Vi-ét thường được dùng để 
thi vào lớp 10.
 Giúp học sinh nắm vững được một số dạng toán giải phương trình bậc hai 
bằng cách vận dụng định lí Vi-ét, biết cách vận dụng, thấy rõ ưu điểm của từng 
phương pháp, biết cách nghiên cứu tài liệu.
 Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập ở sách tham khảo, đề thi 
vào 10, giúp học sinh giải được một số dạng bài tập về phương trình bậc hai, 
nắm vững các phương pháp giải đặc trưng cho từng dạng.
 Giúp học sinh củng cố kiến thức về phương trình bậc hai và kĩ năng biến 
đổi đại số thông dụng.
 1/24 
 PHẦN II. NỘI DUNG 
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI
 Để nghiên cứu đề tài này tôi căn cứ vào một số cơ sở lý luận khoa học sau:
 Do yêu cầu đổi mới của đất nước, nền kinh tế, khoa học theo hướng công 
nghiệp hoá - hiện đại hoá, hoà nhập cộng đồng quốc tế, giáo dục là đào tạo ra 
người lao động mới thích ứng với xã hội, bản thân. 
 Bài tập về phương trình bậc hai có chứa tham số rất đa dạng và phong phú, 
để giải được học sinh cần có kỹ năng tốt, biết nhiều phương pháp và cách vận 
dụng. Tạo nền tảng kiến thức cơ bản để học sinh lấy đó làm tiền đề và tiếp tục 
hoàn thiện khi học sang THPT.
 Trang bị cho học sinh kỹ năng vận dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình 
bậc hai, giải đề thi vào lớp 10 có nội dung liên quan đến hệ thức Vi-ét. 
II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
 Về phía giáo viên: Hầu hết được đào tạo chính qui, được phân công giảng 
dạy đúng chuyên môn, nhiệt tình trong công việc. Tuy vậy đại đa số giáo viên 
dạy đều theo chương trình sách giáo khoa, việc tổng hợp các dạng bài và 
phương pháp làm thành một hệ thống để học sinh dễ học, dễ nhớ không phải là 
giáo viên nào cũng làm được. Đối với đại trà thì việc giảng dạy theo chương 
trình sách giáo khoa là coi như đạt yêu cầu nhưng đối với công việc bồi dưỡng 
học sinh giỏi thì việc trang bị kiến thức không theo dạng bài và phương pháp 
làm kèm theo là chưa đảm bảo được yêu cầu. 
 Về phía học sinh: Đa số học sinh đều ngoan ngoãn, có ý thức học, có ý 
thức phấn đấu vươn lên. Tuy nhiên do năng lực có hạn nên về kiến thức sức tiếp 
thu còn chậm, chưa thấy hết được tính đặc trưng, ưu việt của phương pháp giải. 
Đổi lại nếu học sinh có nền tảng kiến thức tốt thì hoàn toàn có thể nắm vững 
được phương pháp tạo tiền đề vững chắc để học toán ở trường THPT.
 Về phía nhà trường: Đa số các nhà trường phân công giảng dạy là đúng 
chuyên môn, tuy vậy việc phân công giảng dạy của lãnh đạo nhà trường không 
chỉ dựa vào chuyên môn mà còn dựa vào năng lực và nghiệp vụ của mỗi giáo 
viên. 
 Chính vì vậy đề tài “Một số ứng dụng của hệ thức Vi-ét trong giải toán” 
có thể coi là tài liệu để học sinh và giáo viên tham khảo trong công tác giảng dạy 
môn toán khối 9, bồi dưỡng thi vào 10.
III. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
1. Kiến thức: Trình bày sơ lược theo từng dạng .
 Cho phương trình bậc hai: ax2 bx c 0 a 0 (*)
 b b 
 Có hai nghiệm x ; x 
 1 2a 2 2a
 3/24 
2. Một số dạng toán minh họa:
 CHUYÊN ĐỀ : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT 
 TRONG GIẢI TOÁN
I. NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :
1. Dạng đặc biệt:
Xét phương trình (*) ta thấy :
 a) Nếu cho x = 1 thì ta có (*) a.12 + b.1 + c = 0 a + b + c = 0
 c
 Như vây phương trình có một nghiệm x 1 và nghiệm còn lại là x .
 1 2 a
 b) Nếu cho x = 1 thì ta có (*) a.( 1)2 + b( 1) + c = 0 a b + c = 0
 c
Như vậy phương trình có một nghiệm là x 1 và nghiệm còn lại là x .
 1 2 a
Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
 1) 2x2 5x 3 0 (1) 2) 3x2 8x 11 0 (2)
Ta thấy :
 3
 Phương trình (1) có dạng a b + c = 0 nên có nghiệm x 1 và x 
 1 2 2
 11
 Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm x 1 và x .
 1 2 3
Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
 1. 35x2 37x 2 0 2. 7x2 500x 507 0
 3. x2 49x 50 0 4. 4321x2 21x 4300 0
2. Cho phương trình , có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm 
nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình :
Ví dụ: a) Phương trình x2 2 px 5 0 . Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm 
thứ hai.
 b) Phương trình x2 5x q 0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ 
hai.
 c) Cho phương trình : x2 7x q 0 , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và 
hai nghiệm của phương trình.
 d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2 qx 50 0 , biết phương 
trình có 2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia. 
 Bài giải: 
a) Thay x1 2 vào phương trình ban đầu ta được : 
 9
 4 4 p 5 0 p 
 4
 5 5
 Từ x1x2 5 suy ra x2 
 x1 2
b) Thay x1 5 vào phương trình ban đầu ta được
 5/24 
 1 1 1 1 x1 x2 3 9
 S y1 y2 x2 x1 (x1 x2 ) (x1 x2 ) 3 
 x1 x2 x1 x2 x1x2 2 2
 1 1 1 1 9
 P y1 y2 (x2 )(x1 ) x1x2 1 1 2 1 1 
 x1 x2 x1x2 2 2
Vậy phương trình cần lập có dạng: y2 Sy P 0
 9 9
 hay y2 y 0 2y2 9y 9 0 .
 2 2
Bài tập áp dụng:
 2
1/ Cho phương trình 3x 5x 6 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 . Không giải 
 1
phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 x1 và 
 x2
 1
 y2 x2 
 x1
 5 1
 (Đáp số: y2 y 0 hay 6y2 5y 3 0 )
 6 2
 2
2/ Cho phương trình : x 5x 1 0 có 2 nghiệm x1; x2 . Hãy lập phương trình bậc 
 4 4
2 có ẩn y thoả mãn y1 x1 và y2 x2 (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các 
nghiệm của phương trình đã cho).
 (Đáp số : y2 727y 1 0 )
 2 2
3/ Cho phương trình bậc hai: x 2x m 0 có các nghiệm x1; x2 . Hãy lập 
phương trình bậc hai có các nghiệm y1; y2 sao cho :
 a) y1 x1 3 và y2 x2 3 b) y1 2x1 1 và y2 2x2 1
 Đáp số: a) y2 4y 3 m2 0 ; b) y2 2y 4m2 3 0
III. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
 Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của 
phương trình :
 x2 Sx P 0 (điều kiện để có hai số đó là S2 4P 0 ).
Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = 3 và tích P = ab = 4.
Vì a + b = 3 và ab = 4 nên a, b là nghiệm của phương trình : x2 3x 4 0
giải phương trình trên ta được x1 1 và x2 4 .
Vậy nếu a = 1 thì b = 4.
 nếu a = 4 thì b = 1.
Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P :
 1. S = 3 và P = 2
 2. S = 3 và P = 6
 3. S = 9 và P = 20
 4. S = 2x và P = x2 y2
 7/24 
IV. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM
 Đối với các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi 
biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P 
để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức.
1. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( x1 x2 ) và x1x2 .
 2 2 2 2 2
Ví dụ 1 a) x1 x2 (x1 2x1x2 x2 ) 2x1x2 (x1 x2 ) 2x1x2
 b) x3 x3 x x x2 x x x2 x x x x 2 3x x 
 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 
 2 2
 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
 c) x1 x2 (x1 ) (x2 ) x1 x2 2x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 2x1 x2
 1 1 x x
 d) 1 2
 x1 x2 x1x2
Ví dụ 2 x1 x2 ?
 2 2 2
Ta biết x1 x2 x1 x2 4x1x2 x1 x2 x1 x2 4x1x2
Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:
 2 2
 1. x1 x2 ( x1 x2 x1 x2 =.)
 2. x3 x3 ( = x x x2 x x x2 x x x x 2 x x =. )
 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 
 4 4 2 2 2 2
 3. x1 x2 ( = x1 x2 x1 x2 = )
 6 6 2 3 2 3 2 2 4 2 2 4
 4. x1 x2 ( = (x1 ) (x2 ) x1 x2 x1 x1 x2 x2 = ..)
Bài tập áp dụng:
 6 6 5 5 7 7 1 1
 5. x1 x2 6. x1 x2 7. x1 x2 8. 
 x1 1 x2 1
2. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm:
a) Cho phương trình : x2 8x 15 0 . Không giải phương trình, hãy tính:
 2 2 1 1
 1. x1 x2 2. 
 x1 x2
 x1 x2 2 3 3
 3. 4. x1 x2 5. x1 x2 
 x2 x1
b) Cho phương trình : 8x2 72x 64 0. Không giải phương trình, hãy tính:
 1 1 2 2
 1. 2. x1 x2
 x1 x2
c) Cho phương trình : x2 14x 29 0 . Không giải phương trình, hãy tính:
 1 1 2 2
 1. 2. x1 x2
 x1 x2
d) Cho phương trình : 2x2 3x 1 0 . Không giải phương trình, hãy tính:
 1 1 1 x 1 x
 1. 2. 1 2
 x1 x2 x1 x2
 9/24