Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình Toán 9

 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
 Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 “PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH 
LẬP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN 9”
 Quảng Bình, tháng 11 năm 2017
 Trang 1 1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
 Toán học là môn khoa học cơ bản, đã rất quen thuộc với các em học sinh ngay 
từ tiểu học, song việc dạy tốt và học tốt môn Toán học đang là yêu cầu và mong 
muốn của toàn xã hội, nó góp phần hình thành nhân cách và là cơ sở khoa học để học 
tập, lao động và tạo ra của cải vật chất cho xã hội. Như chúng ta đã biết, Toán học là 
một ngành, một môn học đòi hỏi tính suy luận và trí thông minh cao, nó nghiên cứu 
về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Do khả năng ứng dụng rộng rãi 
trong nhiều khoa học, Toán học được mệnh danh là “ngôn ngữ của vũ trụ” hay như 
nhà bác học Carl Friedrich Gauβ đã nói, “Toán học là nữ hoàng của các môn khoa 
học”. Toán học là nền tảng cho tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác. Có thể nói 
rằng không có Toán học, sẽ không có ngành khoa học nào cả. Do đó môn Toán có vị 
trí đặc biệt quan trọng trong việc phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ cho học 
sinh. Tuy nhiên, qua quan sát việc học môn Toán của học sinh nhìn chung vẫn còn bị 
hạn chế, không ít em sợ Toán, coi việc học Toán là một công việc nặng nhọc, căng 
thẳng. Nguyên nhân dẫn đến hiện trạng trên có thể do các em chưa nhận biết tầm 
quan trọng và ý nghĩa của việc học Toán, chưa được kích thích hành động tích cực, 
sáng tạo trong quá trình giải toán; cũng có thể do nội dung môn Toán khô khan, 
phương pháp dạy của giáo viên chưa thật sự hấp dẫn, cũng như chưa tạo ra bầu không 
khí tích cực trong các nhóm học sinh khi học Toán.
 Đặc biệt trong chương trình Toán lớp 9 có dạng toán “Giải bài toán bằng cách 
lập phương trình - hệ phương trình”. Đây là một loại toán có rất nhiều dạng, phong 
phú về bài tập và đòi hỏi học sinh phải tư duy nhiều. Ngoài ra, còn phải biết tìm mối 
liên hệ, gắn kết các dữ kiện đưa ra trong bài để đưa ra cách giải hợp lý, ngắn gọn và 
chính xác nhất. Dung lượng bài tập nhiều và phức tạp vì vậy việc vận dụng lý thuyết 
vào việc giải các bài tập của học sinh phải ở mức độ cao hơn. Do đó cần phải tìm ra 
một phương pháp giải bài tập phù hợp với trình độ năng lực của học sinh.
 Là giáo viên dạy Toán, tôi thấy việc giúp học sinh đi từ lý thuyết đến thực hành 
rất quan trọng, sẽ giúp ích cho học sinh áp dụng vào cuộc sống. Ngoài ra, trong quá 
trình dạy học nên tìm cách tạo ra hứng thú cho học sinh lĩnh hội kiến thức và vận 
dụng vào từng dạng bài tập một cách tích cực và hiệu quả nhất để giúp học sinh 
không chỉ học tốt phần này mà nó còn kích thích tính hứng thú học tập để các em học 
tốt các phần tiếp theo. 
 Hiện nay đã có các tài liệu đưa ra được phương pháp giải bài toán bằng cách lập 
phương trình hay hệ phương trình. Tuy nhiên để phù hợp với trình độ và năng lực của 
học sinh cần triển khai áp dụng một cách cụ thể chi tiết hơn.
 Từ những lí do đó tôi mạnh dạn đưa ra những ý kiến, kinh nghiệm của bản thân 
mình về “Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình - hệ phương trình 
Toán 9”.
 Trang 3 2. NỘI DUNG
2.1. Thực trạng nội dung cần nghiên cứu:
 “Giải bài toán bằng cách lập phương trình”, đây là một trong những dạng toán 
 lập phương trình cơ bản mà ở lớp 8 là tiền đề để các em được làm quen những dạng 
 đơn giản, là cơ sở cho những bài toán phức tạp ở lớp 9. Thế nhưng hầu hết các em 
 học sinh ở lớp 9 đều rất ngại khi giải các dạng toán bằng cách lập phương trình - hệ 
 phương trình vì các em thấy khó mặc dù các em đã nắm được quy tắc chung. Có 
 nhiều em nắm được rất rõ các bước giải nhưng lại không biết vận dụng vào giải bài 
 tập. Vì các em không biết xuất phát từ đâu để tìm lời giải hoặc không biết tìm sự liên 
 quan giữa các đại lượng để lập phương trình - hệ phương trình. Mà đây là một dạng 
 toán cơ bản, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra 1 tiết, kiểm tra học kỳ II của lớp 
 9. Nhưng đại đa số học sinh không làm được bài này do không nắm chắc cách giải, 
 cũng có những học sinh biết cách làm nhưng không đạt điểm tối đa vì thiếu nhiều ý. 
 Có những em chỉ biết giải những bài tập mà giáo viên đã giải trên lớp, khi gặp những 
 đề toán khác thì lại không giải được. Đó cũng là do một số giáo viên chỉ sửa bài tập 
 cho học sinh trong những giờ học trên lớp mà chưa chú ý đến việc giảng dạy cho học 
 sinh các kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình.
 Giải bài toán bằng cách lập phương trình là biến bài toán bằng lời thành phương 
trình ứng với bài toán đã cho. Muốn vậy học sinh phải biết phiên dịch từ ngôn ngữ 
thông thường hay ngôn ngữ thực tế sang ngôn ngữ đại số. Ngôn ngữ đại số đó là thứ 
ngôn ngữ không dùng đến lời mà chỉ sử dụng các kí hiệu toán học. Vì nội dung của 
các bài toán này, hầu hết đều gắn bó với các hoạt động thực tế của con người, xã hội 
hoặc tự nhiên, Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thường là những số liệu có liên 
quan đến thực tế. Do đó trong quá trình giải học sinh thường quên, không quan tâm 
đến yếu tố thực tiễn dẫn đến đáp số vô lý. Từ những lý do đó mà học sinh rất ngại 
làm loại toán này. Mặc khác, cũng có thể trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình 
độ của giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của sách 
giáo khoa mà chưa biết phân loại toán, chưa khái quát được cách giải cho mỗi dạng. 
Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu, cách chọn ẩn số, mối liên hệ giữa 
các dữ liệu trong bài toán, dẫn đến việc học sinh rất lúng túng và gặp rất nhiều khó 
khăn trong vấn đề giải loại toán này. Đối với việc giải bài toán bằng cách lập phương 
trình – hệ phương trình các em mới được học nên chưa quen với dạng toán tự mình 
làm ra phương trình. Xuất phát từ thực tế đó nên kết quả học tập của các em chưa 
cao. Nhiều em nắm được lý thuyết rất chắc chắn nhưng khi áp dụng giải bài tập thì lại 
không làm được. Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng lập phương trình để 
giải toán, ngoài việc nắm lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó 
phát triển khả năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng 
cao chất lượng học tập bộ môn Toán 9. 
 Trang 5 + Thông thường chọn ẩn trực tiếp, đặt điều kiện của ẩn phù hợp với yêu cầu của 
bài toán và với thực tế.
 + Xem xét các tình huống xảy ra và các đại lượng nào mà số liệu chưa biết ngay 
được.
 + Khi đã lập phương trình (hệ phương trình) cần vận dụng tốt kỹ năng giải các 
dạng phương trình (hệ phương trình) đã học để tìm nghiệm của phương trình (hệ 
phương trình).
 + Cần chú ý so sánh nghiệm tìm được của phương trình (hệ phương trình) với 
điều kiện của ẩn để trả lời.
2.2.2. Phân loại dạng toán và bổ sung kiến thức cần thiết cho các dạng toán đó.
2.2.2.1. Có thể phân loại thành 6 dạng toán thường gặp như sau:
 - Dạng toán về chuyển động.
 - Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng.
 - Dạng toán về năng suất lao động.
 - Dạng toán tìm số. 
 - Dạng toán có liên quan hình học.
 - Dạng toán có nội dung vật lí, hoá học.
2.2.2.2. Các kiến thức cần thiết:
a. Dạng toán về chuyển động:
 + Vận tốc chuyển động của một vật là v, thời gian chuyển động là t, quãng 
 S S
đường là S. Công thức biểu thị: S = v.t ; v ; t .
 t v
 + Đối với chuyển động trên sông có dòng nước chảy:
 vxuôi = vThực + v dòng nước
 vngược = vThực - v dòng nước
 v dòng nước = (vxuôi - vngược ) : 2
b. Dạng toán về năng suất, làm chung, làm riêng:
 + Các đại lượng tham gia: Năng suất, công việc và thời gian.
 + Năng suất lao động là n, thời gian làm việc là t, khối lượng công việc được 
 A A
hoàn thành là A. Công thức biểu thị: A = n.t ; t ; n = .
 n t
 + Toàn bộ công việc được coi là 1.
c. Dạng toán tìm số:
 + Công thức mối liên hệ phụ thuộc giữa số bị chia a, số chia b, thương q và số 
dư r là: a = b.q + r (0 r < b); 
 + Dạng tổng quát của số có hai chữ số: ab (a 0 9;0 b 9;a,b N) .
d. Dạng toán liên quan hình học:
 Trang 7 * Giải: 
 1 10
 Đổi 3 
 3 3
 Gọi vận tốc của ca nô là: x (km/h), x > 0
 Vận tốc của xe khách là: x +17 (km/h)
 10
 Đường sông từ A đến B dài là: x (km)
 3
 Đường bộ từ A đến B dài là: 2.(x+17) (km)
 Theo bài ra ta có phương trình: 
 10
 2(x 17) 10
 3
 6(x 17) 10x 30
 4x 72 
 x 18
 x = 18 (thoả mãn điều kiện).
Vậy vận tốc của ca nô là 18 km/h.
Cách 2: Gọi quãng đường sông dài là: x (km), x > 0
Ta có bảng sau:
 Đại lượng Vận tốc Thời gian Quãng đường
 Phương tiện (km/h) (h) (km)
 10 3x 10
 Ca nô x : x
 3 10 3 
 x 10
 Xe khách 2 x + 10
 2
 Ta có phương trình:
 x 10 3x
 17 x 60 (thoả mãn điều kiện)
 2 10
 3.60
Vậy vận tốc của ca nô là: 18 (km/h)
 10
Cách 3: Lập hệ phương trình:
- Gọi vận tốc của ca nô là x (km), x > 0
- Vận tốc của xe khách là y(km), y > 0
- Ta hướng dẫn học sinh theo bảng sau:
 Đại lượng Vận tốc Thời gian Quãng đường
 Phương tiện (km/h) (h) (km)
 x 10 10
 Ca nô x
 3 3
 Xe khách y 2 2y
 Trang 9 Cách 2: Lập hệ phương trình:
- Gọi vận tốc xe của bác Hiệp là x (km/h), x > 3
- Vận tốc xe của cô Liên là y(km/h), y > 0
- Ta hướng dẫn học sinh theo bảng sau:
 Đại lượng Vận tốc Thời gian Quãng đường
 Đối tượng (km/h) (h) (km)
 30
 Bác Hiệp x 30
 x
 30
 Cô Liên y 30
 y
 x y 3
- Từ đó có hệ phương trình: 30 30 1 
 y x 2
- Giải hệ phương trình và chọn câu trả lời.
Bài toán 3: (Bài 3. Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán/Tr62 – Trần Lưu Thịnh)
 Một ô tô đi quãng đường AB dài 80km trong một thời gian đã dự định, ba phần 
tư quãng đường đầu ô tô chạy nhanh hơn dự định 10km/h, quãng đường còn lại ô tô 
chạy chậm hơn 15km/h. Biết rằng ô tô đến B đúng giờ quy định. Tính thời gian ô tô 
đi hết quãng đường AB?
* Hướng dẫn giải.
Cách 1: Chọn ẩn gián tiếp
 + Nếu gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h). 
- GV hướng dẫn học sinh phân tích bài toán theo bảng sau :
 Đại lượng Vận tốc Thời gian Quãng đường
 Đối tượng (km/h) (h) (km)
 x 80
 Dự định 80
 x
 ¾ quãng đường x + 10 60
 60
 x 10
 Thực hiện
 ¼ quãng đường x – 15 20
 20
 x 15
 60 20 80
 Phương trình lập được: 
 x 10 x 15 x
* Giải: 
 Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h), x > 15.
 80
 Thời gian ô tô dự định đi là: (giờ)
 x
 3
 Đoạn đường ô tô đi với vận tốc x + 10 (km/h) là: 80. 60 (km)
 4
 Trang 11