Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải các dạng toán vận dụng hệ thức Vi-ét

 “Phương pháp giải các dạng toán vận dụng hệ thức Vi - ét”
 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN
 VẬN DỤNG HỆ THỨC VI - ÉT
 A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lí DO CHỌN ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lí luận
 Trong điều kiện hiện nay , cùng với sự phát triển chung của đất 
nước,ngành giáo dục đã từng bước thay đổi chương trình , sách giáo khoa , 
phương pháp giảng dạy để phù hợp với thực tế .Việc đổi mới phương pháp dạy 
học là vấn đề cần thiết đối với mỗi giáo viên .
 Người thầy đóng vai trò chủ đạo , hướng dẫn học sinh tìm tòi kiến thức . 
Việc phát huy tính chủ động , sáng tạo , tư duy lô gic của học sinh trong học tập 
và cuộc sống là điều rất cần thiết , đó là điều mà trong dạy học Toán dễ dàng 
thực hiện được
 Việc trang bị cho học sinh những kiến thức Toán không chỉ gồm khái 
niệm, tính chất, định lí , qui tắc ... mà cả những kĩ năng , phương pháp giải bài 
tập và vận dụng vào thực tế cuộc sống . Vì thế trong quá trình giảng dạy ngoài 
việc hướng dẫn học sinh tìm tòi tri thức còn phải suy luận , đúc rút kinh nghiệm. 
Khi giải bài toán không chỉ đòi hỏi học sinh linh hoạt trong việc áp dụng lí 
thuyết mà còn khai thác , phát triển bài toán theo chiều hướng thuận lợi nhất cho 
việc giải nó.
Mỗi giáo viên trong quá trình giảng dạy đều muốn đem tâm huyết và vốn kiến 
thức của mình truyền thụ cho học sinh mong các em hiểu bài và yêu thích môn 
Toán hơn . Việc giảng bài và tìm ra phương pháp giải sao cho phù hợp với đối 
tượng học sinh đã kích thích lòng ham mê ở các em, từ đó tìm ra những học sinh 
có năng khiếu và bồi dưỡng trở thành học sinh giỏi đồng thời trang bị cho các 
em vốn kiến thức để các em bước vào kỳ thi THPT
 Giải bài toán vận dụng hệ thức Vi-ét rèn cho học sinh tư duy phân tích, 
tổng hợp, phát huy được tính tích cực chủ động của học sinh
2 . C¬ së thùc tiÔn 
 a. Đối với giáo viên:
 Khi dạy về hệ thức Vi-ét, trong chương trình thời lượng không nhiều chỉ có 
1 tiết lí thuyết và 1 tiết luyện tập. Thông thường giáo viên chỉ thực hiện nhiệm 
vụ theo phân phối chương trình với nội dung sách giáo khoa, sách bài tập mà 
không đầu tư cho việc hệ thống, phân dạng các bài tập về hệ thức Vi-ét. Bên 
cạnh đó các bài tập thể hiện trong sách giáo khoa, sách bài tập số lượng không 
nhiều, chưa đề cập hết các dạng cơ bản cần thiết để học sinh có đủ kiến thức khi 
giải bài tập dạng này trong các đề thi vào THPT. Do đó kết quả học tập của học “Phương pháp giải các dạng toán vận dụng hệ thức Vi - ét”
- Phương pháp phân tích: Thông qua dự giờ, đàm thoại với đồng nghiệp cùng
khối để tìm hiểu phương pháp lựa chọn, bồi dưỡng đội ngũ cán bộ lớp với kinh 
nghiệm của bản thân để đưa ra phương pháp thích hợp.
- Tiếp xúc trò chuyện với học sinh để nắm rõ thông tin phản hồi.
- Phương pháp kiểm tra: Kiểm tra chất lượng hoạt động, lập bảng thống kê so 
sánh, đối chiếu kết quả hoạt động khi chưa áp dụng và đang áp dụng đề tài. Từ 
đó kiểm nghiệm lại mức độ thành công của đề tài. 
- Nghiên cứu hoàn cảnh, môi trường, điều kiện học tập của học sinh.
- Phương pháp đối chiếu, thống kê, so sánh.
III. KHẢO SÁT THỰC TẾ VÀ SỐ LIỆU TRƯỚC KHI THỰC HIỆN ĐỀ 
TÀI
1. Khảo sát thực tế
 Qua thăm dò học sinh tôi thấy khi gặp loại toán này học sinh không biết 
giải bằng phương pháp nào? mà chỉ mò mẫm không có phương pháp cụ thể nào 
áp dụng cho từng bài. Vì vậy học sinh mất nhiều thời gian dẫn đến chán nản, 
ngại khó, không có hứng thú học phần này. Đặc biệt khi tham gia cỏc kỳ thi 
khảo sát chất lượng môn toán ,thi vào 10, đa số các em rất ngại và bỏ qua bài 
toán dạng này.
 Nói tóm lại, tình trạng thực tế của học sinh khi chưa thực hiện đề tài thì 
việc giải các bài toán dạng này rất khó khăn, lúng túng và hiệu quả chưa cao. 
2. Số liệu điều tra trước khi thực hiện đề tài
Trước khi thực hiện đề tài tụi đó cho đề khảo sát chất lượng 40 em học
sinh lớp 9A, trong đó có nhiều em có học lực khá, giỏi môn toán, kết quả thu 
được như sau :
Số học sinh Điểm từ Điểm từ Điểm từ Điểm từ Điểm từ
 kiểm tra 0 đến 2 2,5 đến 4,5 5 đến 6,5 7 đến 8,5 9 đến 10
 40 4 10 15 8 3
 Kết quả là rất đáng lo ngại là nhiều em học sinh hầu như không biết làm 
bài trên, các em rất sợ và thường bỏ qua bài tập này trong các kỳ thi khảo sát 
chất lượng , và thi vào lớp 10
 Tôi đã rất băn khoăn , lo lắng , lên kế hoạch dạy bồi dưỡng , cung cấp 
cho các em những kiến thức cơ bản về hệ thức Vi-ét và đưa ra phương pháp giải 
các bài toán dạng này
 B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I.CUNG CẤP CHO HỌC SINH CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HỆ 
THỨC VI-Ét
 1.Định lí Vi-ét: (thuận)
 2
 Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax + bx + c = 0 (a 0) thì “Phương pháp giải các dạng toán vận dụng hệ thức Vi - ét”
 Giải
 x2 + 2 m 1 x + m2 = 0 (a = 1 0, b = 2b’ = m 1 , c = m).
 2 2 2 2
Ta có: ' m 1 1.m m 2m 1 m 1 2m .
 1
Để phương trình có nghiệm ' 0 1 2m 0 m . 
 2
 1
Vậy với m , phương trình có hai nghiệm x1, x2. 
 2
 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
 b 2 m 1 c m2
 x x 2 1 m , x .x m2 .
 1 2 a 1 1 2 a 1
2.Dạng toán 2: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.
 *Phương pháp: Để thực hiện việc nhẩm nghiệm (nếu có thể) cho phương 
trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 (a 0), ta áp dụng nhận xét sau:
 Trường hợp 1 (Trường hợp đặc biệt):
 • Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0) có a + b + c = 0 thì phương 
 c
 trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = . 
 a
 • Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0) có a - b + c = 0 thì phương 
 c
 trình có một nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = - . 
 a
 Trường hợp 2: Cho phương trình x2 + bx + c = 0.
 Ta thực hiện theo các bước:
 • Bước 1: Vận dụng hệ thức Vi-ét để thiết lập cho các nghiệm x1 và x2 là 
 x1 x2 b
 x1.x2 c
 • Bước 2: Thực hiện phân tích c thành tích của hai thừa số (c = m.n), từ đó ta 
 tính ngay được m + n. Khi đó:
 - Nếu m + n = - b thì ta chuyển sang bước 3 (kết luận).
 - Nếu m + n - b, thì ta chuyển sang bước 2.
 • Bước 3: Kết luận: 
 2
 Phương trình x + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 = m và x2 = n.
 Chú ý: Thuật toán trên có tính dừng và được hiểu như sau:
 - Nếu tìm được một cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b thì dừng lại và 
đưa ra lời kết luận nghiệm. 
- Nếu không tìm được một cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b thì dừng
lại và trong trường hợp này không nhẩm được nghiệm.
 * Ví dụ 1: Tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:
 a) 35x2 - 37x + 2 = 0 b) x2 - 49x - 50 = 0 c) x2 + 6x + 8 = 0 “Phương pháp giải các dạng toán vận dụng hệ thức Vi - ét”
 Vì 3(-3)2 + 2.(-3) - 21 = 27 – 6 – 21 = 0. 
 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
 b 2 2 2 2 7
 x x = = x x 3 3 .
 1 2 a 3 2 3 1 3 3 3
 b) 3x2 – 2(m – 3)x + 5 = 0.
 c 5 1
 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x .x . Mà x1 = nên suy ra:
 1 2 a 3 3
 5 5 1
 x : x : 5..
 2 3 1 3 3
 Cũng theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
 b 2 m 3 1 2 m 3 
 x x = = 5 16 2m 6 m 11. 
 1 2 a 3 3 3
 Vậy x2 = 5, m = 11.
 * Ví dụ 2 : Cho phương trình: x2 + 2 (m + 1)x + m2 = 0. (1)
 a) Giải phương trình với m = 5
 b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 
nghiệm bằng - 2.
 Giải
 a) Với m = 5 ta có phương trình: x2 + 12x + 25 =0.
 2
∆’ = 6 -25 = 36 - 25 = 11 x1 = - 6 - 11 ; x2 = - 6 + 11
b) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi:
 - 1
∆’ > 0 (m + 1)2 - m2 > 0 2m + 1 > 0 m > (*)
 2
Phương trình có nghiệm x = - 2 4 - 4 (m + 1) + m2 = 0 
 2 m = 0
 m - 4m = 0 (thoả mãn điều kiện (*))
 m = 4
4.Dạng toán 4: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
 u v S
 * Phương pháp: Nếu hai số u, v thỏa mãn thì hai số đó là hai 
 u.v P
nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0 (1)
 2
  Nhận xét: Nếu (1) có hai nghiệm x 1, x2 (điều kiện S - 4P 0) thì ta 
 u x1 u x2
được: hoặc .
 v x2 v x1
 * Ví dụ : Tìm hai số u và v biết: 
a) u + v = 32, u.v = 231; 
b) u-v =5 và u.v = 24
 Giải
 a) Ta có u + v = 32, u.v = 231. “Phương pháp giải các dạng toán vận dụng hệ thức Vi - ét”
 2 2 2 2 2
a) A = x1 x2 = x1 x2 2x1x2 S 2P = 6 – 2.8 = 36 – 16 = 20.
Vậy A = 20
 1 1 x x S 6 3 3
b) B = 1 2 . Vậy B = 
 x1 x2 x1x2 P 8 4 4
 2 2
c) C = x1 x2 x1 x2 x1 x2 S. x1 x2 6. x1 x2 .
Mà ta có: 
 2 2 2 2 2 2
 x1 x2 x1 x2 2x1x2 x1 x2 4x1x2 S 4P 6 4.8 4
 x1 x2 2
Vậy C = 12. 
 6.Dạng toán 6: Tìm hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
 * Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau:
*Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2 (a 0, 0 hoặc 
 a 0, ' 0).
*Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét tính S = x1 + x2, P = x1x2 theo tham số.
*Bước 3: Khử m để lập hệ thức giữa S và P, từ đó suy ra hệ thức giữa hai 
nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
 * Ví dụ 1. Cho phương trình x2 – 2mx + 2m - 2 = 0 (x là ẩn)
Tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
 Giải
Phương trình x2 – 2mx + 2m - 2 = 0 có: ' m2 2m 2 m 1 2 1 0 với 
mọi m. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
 S x1 x2 2m (1)
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: .
 P x1x2 2m 2 (2)
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được S – P = 2 x1 + x2 - x1x2 = 2 (không phụ 
thuộc vào m).
 * Ví dụ 2. Cho phương trình mx2 – (2m + 3)x + m - 4 = 0 (x là ẩn)
 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Khi đó tìm hệ thức 
liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. 
 Giải
 2
Phương trình mx – (2m + 3)x + m - 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 
 m 0
 m 0 m 0 m 0 
 2 9 .
 0 2m 3 4m m 4 0 28m 9 0 m 
 28
 2m 3 3 12
 S x x 2 4S 8 (1)
 1 2 m m m
Áp dụng hệ thức Vi-ét: 
 m 4 4 12
 P x x 1 3P 3 (2)
 1 2 m m m