Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN 
 RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN 
 Lĩnh vực/môn : Toán 
 Cấp học : Trung học cơ sở 
 Tên tác giả: Nguyễn Cao Cường 
 Đơn vị công tác: Trường THCS Thái Thịnh, quận Đống Đa 
 Chức vụ: Hiệu trưởng 
 NĂM HỌC 2019 - 2020 Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn 
1. ĐẶT VẤN ĐỀ 
 1.1. Lý do chọn đề tài 
 Từ năm học 2006 – 2007 đến năm học 2018-2019, Sở GD&ĐT Hà Nội thực 
hiện phương án thi vào lớp 10 theo hình thức kết hợp thi tuyển với xét tuyển. Từ năm 
học 2019 – 2020, phương án thi vào lớp 10 là thi tuyển bốn môn: Toán, Ngữ Văn, 
Tiếng Anh và môn thứ tư. Với cả hai phương án, kết quả bài thi môn Toán và Văn 
được nhân hệ số 2, đóng vai trò quan trọng trong việc quyết định tổng điểm của học 
sinh. Chính vì vậy, giáo viên luôn trăn trở việc làm thế nào để ôn luyện cho học sinh 
của mình ôn tập một cách có hệ thống, hoàn thiện kiến thức Trung học cơ sở môn 
Toán, ngày càng yêu thích môn học đồng thời đạt điểm cao trong bài thi vào lớp 10. 
Cấu trúc đề thi vào lớp 10 môn Toán của Hà Nội luôn ổn định với 5 dạng bài: Rút 
gọn biểu thức; Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình; Phương 
trình, hàm số, đồ thị; Hình học; Cực trị. Với những học sinh có lực học chưa tốt, bài 
toán rút gọn là một thử thách quan trọng. Hoàn thành được bài toán này học sinh có 2 
điểm và tạo tâm lí tốt cho việc thực hiện các bài tập tiếp theo. Tuy vậy, các câu hỏi 
phụ của bài toán này ngày một đa dạng và khó. Chính vì vậy, tôi quyết định viết sáng 
kiến kinh nghiệm với đề tài: “Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức 
chứa căn” 
1.2. Nhiệm vụ và mục đích của đề tài 
Đề tài “Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn” với nhiệm 
vụ giúp học sinh ôn tập và củng cố kiến thức về bài toán rút gọn biểu thức chứa biến, 
hình thành phương pháp giải các câu hỏi phụ điển hình, từ đó giúp các em làm tốt bài 
thi vào lớp 10 môn Toán, đạt kết quả cao. 
 Đề tài “Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn” thực 
hiện việc thuật toán hóa các dạng toán thường gặp liên quan tới biểu thức chứa căn 
thức từ đó giúp học sinh có cái nhìn tổng quát, hình thành kỹ năng và phương pháp 
làm bài đúng, đủ yêu cầu. 
 Trang 3/17 Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn 
 x−1 =( x − 1)( x + 1) ; x − 4 =( x − 2)( x + 2)
 x x+1 =( x + 1)( x − x + 1) ; x x − 1 =( x − 1)( x + x + 1) 
 22
 x−4 x + 4 =( x − 2) ; x + 6 x + 9 =( x + 3)
 AA AA−
*) Qui tắc đổi dấu: =− hoặc = 
 BB− BB−
*) Một số bài giải mẫu: 
 2 x− 1 x + 2 x − 1 
Bài 1. Rút gọn biểu thức P = + : − 
 x− 2 2 x − x x x − 2 
 Bài giải. 
Đkxđ: x 0; x 4 Bình luận: Ta nhận thấy ở bài toán 
 2 x− 1 x + 2 x − 1 này việc phân tích mẫu thành nhân tử 
P = + : − 
 x− 2 2 x − x x x − 2 là đơn giản nhưng phải đổi dấu để 
 2 x− 1 x + 2 x − 1 được mẫu chung hợp lí. (dòng thứ 2: 
P = −: −
 x−− 2x x− 2 x x 2
 ( ) vừa kết hợp đổi dấu mẫu đồng thời đổi 
 2 x−+ x 1 ( x+ 2)( x − 2) − x( x − 1) dấu phân thức và phân tích thành nhân 
P = :
 x( x−− 2) x( x 2) tử, có lẽ nên tách làm 2 bước) 
 x+ 1 x − 4 − x + x
P = : 
 x( x−− 2) x( x 2)
 x1+ x( x− 2)
P = .
 x( x− 2) x4−
 x1+
P =
 x4− 
 x+− 2 x 4 x
Bài 2.Rút gọn biểu thức Px= −: − 
 x++ 1 1x− x 1
 Bài giải. 
 Trang 5/17 Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn 
 x+ 3 x + 2 x + 2 x 
Bài 4. Rút gọn biểu thức P1= + + : − 
 x− 2 3 − x x − 5 x + 6 x + 1 
 Bài giải. 
 x+ 3 x + 2 x + 2 x Bình luận: Bài toán này đã sử dụng 
 P1= + + : − 
 x− 2 3 − x x − 5 x + 6 x + 1 2 kỹ thuật trong việc tách mẫu 
 x+ 3 x + 2 x + 2 x + 1 − x 
 P = − + : thành nhân tử kèm theo đổi dấu 
 x− 2 x − 3( x − 3 ).( x − 2 ) x + 1 
 (x3x3+ )( − ) − ( x2x2 + )( − ) + x2 + 1 mẫu, bên cạnh đó trong quá trình 
 P = :
 (x− 3 ).( x − 2 ) x + 1 rút gọn tử cũng sử dụng những 
 x− 9 −() x − 4 + x + 2 1
 P = : hằng đẳng thức quen thuộc. 
 (x− 3 ).( x − 2 ) x + 1
 x− 9 − x + 4 + x + 2 1
 P = :
 (x−− 3 ).( x 2) x1+
 x3−
 P=+.( x 1 )
 (x−− 3 ).( x 2 )
 x1+
 P =
 x2−
ĐKxđ: x 0; x 4; x 9 
Bài 5. Rút gọn biểu thức 
 x+1 x + 2 x + 1 Bình luận: 
 P = − −
 x −1 x x−11 x + x + Ở bài toán này có thể nhận thấy 
 x+1 x + 2 x + 1
 P = − − những kỹ thuật: 
 (x− 1)( x + 1) ( x − 1)( x + x + 1) x + x + 1
 1xx++ 2 1 - Phân tích mẫu thành nhân tử rồi 
 P = − −
 x−1 ( x − 1)( x + x + 1) x + x + 1 rút gọn phân thức (phân thức đầu 
 x+ x +1 − ( x + 2) − ( x + 1)( x − 1)
 P = tiên) 
 (x− 1)( x + x + 1)
 - Sử dụng hằng đẳng thức 
 x+ x +1 − x − 2 − ( x − 1)
 P =
 (x− 1)( x + x + 1) x x−1 =( x − 1)( x + x + 1) 
 xx−11 − +
 P =
 (x− 1)( x + x + 1)
 xx−
 P =
 (x− 1)( x + x + 1)
 −−xx( 1)
 P =
 (x− 1)( x + x + 1) 
 − x
 P =
 xx++1
 Trang 7/17 Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn 
 x +1 35−
Bài 3. Tính giá trị của P = với x 0;x 4 biết x = 
 x − 2 2
 Bài giải 
 2
 3− 5 6 − 2 5 5 − 1 Bình luận: 
 x = = =
 (tmđk) thay vào 
 2 4 2 Đôi khi cách viết biểu thức cũng quan 
P ta có trọng không kém. ở bài này ta thấy x 
 22 có dạng phân thức. Chính vì thế nên 
 5−− 1 5 1 
 P = +1 : − 2 
 22 viết theo kiểu Tử : Mẫu để biểu thức 
 5− 1 5 − 1 5 − 1 + 2 5 − 1 − 4 không cồng kềnh. 
 P = +1 : − 2 = :
 2 2 2 2
 5+ 1 5 − 5 5 + 1 2
 P ==:. 
 2 2 2 55−
 5+ 1( 5++ 1)( 5 5) 5 + 5 5 + 5 + 5
 P = = =
 55− ( 5−+ 5)( 5 5) 5− 25
 10+ 6 5 − 5 − 3 5
 P ==
 −20 10
2.2.2 Dạng 2:Tìm x biết P = a (a là một giá trị thực) 
Bản chất của câu hỏi này là giải phương trình (chứa căn). Vậy phải chú ý: 
- Qui đồng và bỏ mẫu 
- Đặt xt= và đừng quên đặt điều kiện cho t. 
- Tìm được t thoả mãn điều kiện đã đắt. 
- Tìm x thông qua t. 
 x1−
Bài 1. Cho P = với x 0;; x 1 x 4 .Tìm x biết Px=− 
 x2+
 Bài giải 
 x1−
 P= − x = − x x + 3 x − 1 = 0 
 x2+
Đặt xt= (t 0;; t 1 t 2) 
 t2 + 3t − 1 = 0 
 Trang 9/17 Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn 
 Bài giải 
 x +1
 PPP 00 
 x − 3
Ta có x 0 x 0 x + 1 1 0 
 x +1
Để 0 x − 3 0 x 3 x 9 
 x − 3
 0 x 9
Kết hợp điều kiện xác định: 
 x1 
2.2.4. Dạng 4: So sánh P với một số a 
Phương pháp: Xét hiệu P - a. 
- Nếu P - a > 0 P >a 
- Nếu P - a <0 P <a 
 2 x
Bài 1. Cho P = với x 0; x 1. So sánh P với 2 
 x +1
 Bài giải 
 22x 2xx−+ 2( 1) −
Xét PPP−2 = − 2 − 2 = − 2 = 
 x+1 x + 1 x + 1
Ta có 
 −2
 P −20 = với mọi x thoả mãn đkxđ 
 x +1
 P 2 với mọi x thoả mãn đkxđ 
Vậy P < 2 với mọi x thoả mãn đkxđ. 
 xx++1
Bài 2. Cho P = với x 0; x 1. So sánh P với 3 
 x
 Bài giải 
 2
 x+ x +1 x + x + 1 − 3 x x − 2 x + 1 ( x −1)
Xét PP−3 = − 3 = = − 3 = 
 x x x x
 2
Ta có x 0;; x 1 ( x − 1) 0 x 0 
 2
 ( x −1)
 P −3 = 0 P 3  x thỏa mãn điều kiện 
 x
 xx−+1
Bài 3. Cho P = với . So sánh P với P 
 x +1
 Trang 11/17 Phương pháp giải một số dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn 
 7
Bài 3. Cho P = với x0 . Tìm x để P có giá trị nguyên. 
 x3+
 Bài giải 
Ta có x 0 nên P > 0 
 77 7
Mặt khác x 0 x+ 3 3 nên 0P . Để P Z P 1;2 
 x3+ 3 3
+) P = 1 =x 16 (thỏa mãn điều kiện) 
 1
+) P = 2 =x (thỏa mãn điều kiện) 
 4
 1
Vậy x  ;16 
 4
2.2.6. Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P 
 Đối với dạng toán này ta chia làm loại bài tập thường gặp: Khi chia tử cho 
mẫu, thương là số thì thực hiện đánh giá từ điều kiện của x. Khi chia tử cho mẫu, 
thương là biến thì phương pháp thực hiện là sử dụng bất đẳng thức Cô – si (AM-
GM). 
 3
Bài 1. Cho P = với x 0; x 4 . Tìm giá trị lớn nhất của P. 
 x + 2
 Bài giải 
Ta có 
x 0 x 0 x + 2 2
 11
 x2+ 2
 33 
 x2+ 2
 3
 P
 2
 3 3
 =P khi x = 0.Vậy giá trị lớn nhất của P là khi x = 0. 
 max 2 2
 5x + 13
Bài 2. Cho P = với x 0; x 9 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 
 x + 3
 Bài giải 
 −2
Ta có P =+5 
 x + 3
 Trang 13/17