Sáng kiến kinh nghiệm Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh Lớp 9
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Sáng kiến kinh nghiệm Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh Lớp 9", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
Tóm tắt nội dung tài liệu: Sáng kiến kinh nghiệm Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh Lớp 9
Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh lớp 9 MỤC LỤC PHẦN I - ĐẶT VẤN ĐỀ Trang I. Lý do chọn đề tài 2 II. Mục đích và phương pháp nghiên cứu 3 1. Mục đích 2. Nhiệm vụ III. Phạm vi nghiên cứu 4 IV. Phương pháp nghiên cứu 4 PHẦN II – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ A. Tình hình thực tế trước khi thực hiện đề tài: 5 B. Nội dung và biện pháp thực hiện 6 I. Một số kiến thức và kĩ năng cần thiết khi giải phương trình 6 II. Phương trình quy về phương trình bậc hai 6 III. Một số dạng phương trình quy về phương trình bậc hai 7 1) Phương trình chứa ẩn ở mẫu 7 2) Phương trình bậc ba 8 3) Phương trình trùng phương 10 4) Phương trình dạng: (x+a)4 + (x+b)4 = c 13 5) Phương trình dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)= m 15 6) Phương trình có hệ số đối xứng 16 2 19 7) Phương trình dạng a f x bf x c 0 21 8) Phương trình vô tỷ PHẦN III – KẾT QUẢ 24 PHẦN IV – KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I. Bài học kinh nghiệm 25 II. Những đề xuất sau khi thực hiện đề tài 25 I. Kết luận 26 Tài liệu tham khảo 27 1/27 Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh lớp 9 nội dung bồi dưỡng phần kiến thức này chưa có sự thống nhất, gây không ít khó khăn cho người học và người dạy . Nghiên cứu sách giáo khoa và chương trình hiện hành ta thấy: SGK đại số 8, 9 đã đưa ra cho học sinh một số loại phương trình quy về phương trình bậc hai như: phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình vô tỷ, phương trình trùng phương, đưa vào ẩn mới song nhìn chung mức độ yêu cầu về loại này chỉ dừng lại ở mức độ nhận dạng, chỉ phù hợp với học sinh đại trà, còn với các em học sinh ở các lớp chuyên, lớp chọn nếu dừng lại ở yêu cầu trên thì chưa đủ, vì vậy cũng cần hệ thống, phân loại và giới thiệu với các em về mảng kiến thức “phương trình quy về phương trình bậc hai”. Trước tình hình đó, sau khi nghiên cứu kỹ các tài liệu, tôi mạnh dạn đưa ra một hệ thống kiến thức nói về “phương trình quy về phương trình bậc hai” với một mong ước là làm tài liệu ôn tập, nhằm tạo điều kiện thuận lợi hơn cho người dạy và người học trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi. “Một số dạng phương trình đưa về phương trình bậc hai” là một hệ thống kiến thức có đặc thù riêng, được tích hợp từ nhiều tài liệu khác nhau. Nói về cách giải của một số loại phương trình quy về phương trình bậc hai như: Phương trình chứa ẩn ở mẫu; phương trình bậc ba; phương trình bậc bốn; phương trình vô tỷ. Với mỗi loại phương trình sau khi trình bày cách giải đều có kèm theo các ví dụ minh hoạ, cuối mỗi dạng còn có các nhận xét và những lưu ý nhằm giúp người đọc dễ dàng tiếp cận với vấn đề cần nghiên cứu. B. Mục đích và phương pháp nghiên cứu: 1. Mục đích: Sáng kiến kinh nghiệm này nghiên cứu và chọn ra một hệ thống kiến thức cơ bản nhất, chung nhất về các dạng phương trình đưa về phương trình bậc hai nhằm: + Giúp cho giáo viên có tài liệu để bồi dưỡng học sinh giỏi + Giúp cho học sinh có một cái nhìn thật đầy đủ về phương trình đưa được về phương trình bậc hai, từ đó có những thao tác tư duy nhanh nhạy, sáng tạo, có kỹ năng nhuần nhuyễn trong việc giải các dạng phương trình này. + Giúp học sinh tự tin trong khi giải toán hoặc trong thi cử. 2. Nhiệm vụ Để góp phần nâng cao chất lượng dạy và học và căn cứ vào mục đích nghiên cứu. Tôi xác định nhiệm vụ cho việc nghiên cứu đề tài này như sau: a. Tìm hiểu thực trạng quá trình nắm bắt, cách giải phương trình vô tỉ ở lớp 9. b. Tìm ra các nguyên nhân dẫn đến thực trạng đó. 3/27 Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh lớp 9 PHẦN II – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ A) Tình hình trước khi thực hiện đề tài Qua 4 năm giảng dạy lớp 9, khi giảng dạy về giải phương trình quy về phương trình bậc hai tôi thấy: - Nội dung này được đưa vào một tiết trong chương trình toán 9 (tiết 60) - Học sinh chưa biết cách giải mặc dù phương trình trong sách giáo khoa rất đơn giản. Trước tình hình đó tôi tiến hành kiểm tra khảo sát kỹ năng giải phương trình vô tỉ của học sinh lớp 9 mình dạy với đề bài: Giải các phương trình sau: x2 3x 6 1 a. x2 9 x 3 b. 2x4 3x2 2 0 c. x3 3x2 2x 6 0 d. x 3 4 x 5 4 2 e.(x 4).(x 5).(x 7).(x 8) 4 - Kết quả thu được như sau: Điểm Số lượng Giỏi Khá Trung bình Yếu Câu a 47 19 17 7 4 b 47 23 14 6 4 c 47 17 14 8 8 d 47 10 9 17 11 e 47 6 9 21 11 - Qua bảng kết quả trên ta thấy ba ví dụ đầu thì học sinh giải được vì các em đã được làm quen với một số bài tập trong sách giáo khoa nên số học sinh giỏi và khá tương đối cao ở ví dụ d và e thì hầu hết học sinh chưa có kỹ năng làm chưa biết cách giải thích hợp có một số bài đạt điểm giỏi nhưng số lượng không nhiều mà chủ yếu rơi vào mức độ trung bình và yếu. * Nguyên nhân chủ yếu dẫn đến thực trạng trên Qua tìm hiểu xem xét và phân tích tôi thấy một số nguyên nhân dẫn đến thực trạng trên là: - Thứ nhất: Đây là dạng toán đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng tính toán, biến đổi thành thạo, nắm chắc các kiến thức được học. 5/27 Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh lớp 9 + Nếu ’= 0: Phương trình có nghiệm kép + Nếu ’> 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt III. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Trong trường phổ thông ta thường gặp một số dạng phương trình quy về phương trình bậc hai sau: 1. Phương trình chứa ẩn ở mẫu Phương trình chứa ẩn ở mẫu là những phương trình có ẩn số nằm ở mẫu thức của phương trình. a) Cách giải: + Tìm tập xác định của phương trình + Quy đồng, khử mẫu + Biến đổi phương trình, đưa phương trình về dạng ax2 + bx + c = 0 + Giải phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 + Nhận định kết quả và trả lời (loại bỏ những giá trị của ẩn vừa tìm được không thuộc tập xác định của phương trình). b) Các ví dụ : Ví dụ 1. Giải và biện luận theo a và b phương trình: a b 2 (1) x b x a Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: Hướng dẫn học sinh: Điều kiện: x a,x b : a b Ta có: 2 x b x a 2(x a)(x b) a(x a) b(x b) 2x2 3(a b)x a 2 b2 2ab 0 2x2 3(a b)x (a b)2 0 (a b)2 0a,b Phương trình có hai nghiệm phân biệt: a b x a b x 1 2 2 * x1 a b 0; x1 b a 0 * x2 a a b ; x2 b a b Vậy với a b;a 0,b 0 thì (1) có hai nghiệm phân biệt. 7/27 Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh lớp 9 2(x+1)(x2-x+1)+7x(x+1) = 0 (x+1)(2x2+5x+2) = 0 x 1 0 (1) 2 2x 5x 2 0 (2) Giải phương trình (1) cho nghiệm x = -1 1 Giải phương trình (2) cho nghiệm x = -2 và x = - 2 1 Vậy phương trình (*) có tập nghiệm S ={ - 1; 2; } 2 Ví dụ 2. Cho phương trình x3-(2a+1)x2+(a2+2a-b)x-(a2-b) = 0 (1) Giải và biện luận theo a,b số nghiệm của phương trình đã cho. Hướng dẫn học sinh: Phương trình (1) có tổng các hệ số bằng 0 nên có 2 2 nghiệm x1 = 1. Do đó pt (1) có thể viết: (x-1)(x -2ax+a -b) = 0 Xét PT bậc hai: x2- 2ax + a2-b = 0 (2) ’= b * Nếu b < 0: phương trình (2) vô nghiệm phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 1 * Nếu b = 0: phương trình(2) có nghiệm kép: x = a phương trình (1) có hai nghiệm: x = 1; x = a * Nếu b > 0: phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt: phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt: x = 1; x = a+ ; x = a- c. Nhận xét: Giải phương trình bậc ba ở THCS ta chủ yếu dùng phép phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình về dạng phương trình tích. Khi đó, ta có một hệ thống hai phương trình bao gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai. + Ta cần chú ý tới hai tính chất của phương trình bậc ba: ax3+ bx2+ cx + d = 0 Nếu a + b + c + d = 0 thì trong các nghiệm của phương trình ban đầu sẽ có nghiệm là x=1. Nếu a - b + c - d = 0 thì trong các nghiệm của phương trình ban đầu sẽ có một nghiệm là: x = -1. Khi biết trước một nghiệm, ta chia vế trái của phương trình cho đa thức x-1 hoặc x+1 để phân tích vế trái của phương trình thành nhân tử. + Với phương trình bậc ba có các hệ số nguyên, nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là ước số của hạng tử tự do d (Theo định lý về sự tồn tại nghiệm nguyên của phương trình với hệ số nguyên). 9/27 Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh lớp 9 Khi 2 < m < 3 thì phương trình (***) có hai nghiệm dương phân biệt, do vậy phương trình (**) có 4 nghiệm phân biệt (là hai cặp số đối nhau và khác nhau. b) Phương trình (**) có 3 nghiệm khi phương trình (***) có nghiệm x= 0 và nghiệm số thứ hai là số thực dương. Do vậy, trước hết phương trình (**) có dạng: ax4 + bx2 = 0 (c = 0) Do đó m - 3 =0 m = 3. Với m = 3 thì phương trình (**) trở thành: x4- 4x2 = 0 x2(x2-4) = 0 Phương trình (**) có hai nghiệm: x1 = 2; x2= -2 và một nghiệm kép x3 = 0 c) Điều kiện để phương trình (**) có hai nghiệm: *) Hoặc phương trình (***) có nghiệm kép dương. *) Hoặc phương trình (***) có 2 nghiệm phân biệt nhưng chỉ có một nghiệm dương, nghiệm còn lại là âm. d) Phương trình (**) vô nghiệm khi: *) Phương trình (***) vô nghiệm. *) Hoặc phương trình (***) có hai nghiệm cùng âm. + Phương trình (***) vô nghiệm khi ’< 0 hay m2 - m - 2 < 0 (m+1)(m-2) < 0 Lập bảng xét dấu của tích (m+1)(m-2) Ta xét dấu của các nhị thức bậc nhất m+1 và m-2 nhờ vào tính đồng biến, nghịch biến của đồ thị hàm số y= ax+ b (a 0) Ta thấy nghiệm của bất phương trình (m+1)(m-2) < 0 là -1 < m < 2 Vậy phương trình (***) vô nghiệm khi : -1 < m < 2 ' 0 2 m m 2 0 c + Phương trình (***) có hai nghiệm cùng âm khi: 0 (m 3) 0 a 2(m 1) 0 b 0 a Bảng xét dấu m2 - m - 2 M - -1 2 m+1 - 0 + 1 + m-2 - 1 - 0 + (m+1)(m-2) + 0 - 0 + 11/27
File đính kèm:
- sang_kien_kinh_nghiem_ren_ki_nang_giai_phuong_trinh_quy_ve_p.doc