Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh Lớp 9

 “ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ”
 I. PHẦN MỞ ĐẦU :
I.1. Lý do chọn đề tài :
 Một trong những mục tiêu cơ bản của nhà trường là đào tạo và xây 
dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện, có 
đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế 
hiện nay. 
 Muốn giải quyết thành công nhiệm vụ quan trọng này, trước hết chúng 
ta phải tạo tiền đề vững chắc lâu bền trong phương pháp học tập của học sinh 
cũng như phương pháp giảng dạy của giáo viên các bộ môn nói chung và môn 
toán nói riêng.
 Trong chương trình Toán ở bậc THCS, học sinh ít được tiếp cận với 
các bài toán về cực trị nhưng lại là một trong những nội dung quan trọng 
trong quá trình bồi dưỡng học sinh khá giỏi. Chính vì vậy khi gặp các bài toán 
tìm cực trị học sinh thường rất khó khăn khi định hướng cách giải, trong quá 
trình giải học sinh thường hay mắc phải những sai lầm cơ bản hoặc ngộ nhận.
 Trước thực tế đó nhằm giúp học sinh nắm được một cách hệ thống và 
có kĩ năng giải các dạng toán này một cách thành thạo nhằm phát huy khả 
năng suy luận sáng tạo và linh hoạt của học sinh, từ đó tôi viết chuyên đề về 
“Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN,GTNN cho học sinh lớp 9”
I.2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài :
 Củng cố cho học sinh kiến thức cơ bản về giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ 
nhất.
 Đưa ra cho học sinh nắm được một số dạng toán cơ bản về cực trị 
phương pháp giải, học sinh biết áp dụng để giải các bài toán về cực trị xuất 
hiện trong đề thi vào THPT, đề thi học sinh giỏi lớp 9
 Chỉ ra cho học sinh một số sai lầm thường gặp trong quá trình giải toán 
cực trị.
 Nâng cao chất lượng công tác bồi dưỡng học sinh giỏi của nhà trường
Giáo viên : THCS Trang 1 “ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ”
đặt kiến thức, giáo viên chỉ đóng vai trò là người hướng dẫn, gợi mở giúp học 
sinh tự khám phá kiến thức mới.
II.2. Thực trạng :
 a. Thuận lợi - khó khăn :
* Thuận lợi : 
 Nhà trường rất quan tâm đến việc giảng dạy bộ môn toán và luôn tạo 
điều kiện thuận lợi cho giáo viên và học sinh. 
 Tập thể giáo viên tổ, nhóm chuyên môn nhiệt tình thường xuyên dự giờ 
góp ý để có được các bài dạy tốt hơn. 
 Có tập thể học sinh đoàn kết, ngoan ngoãn và say mê học tập. 
 Bản thân tôi thực sự cố gắng, nỗ lực phấn đấu và học hỏi thêm các 
đồng nghiệp trong quá trình giảng dạy.
* Khó khăn : 
 Một số học sinh các em chưa có ý thức tự giác học, mà còn mang tính ỷ 
lại lười suy nghĩ chưa độc lập trong việc tiếp thu kiến thức. Gia đình các em 
đa số làm nông nghiệp, kinh tế còn khó khăn nên chưa quan tâm nhiều đến 
các em. Các em chỉ học ở trên lớp mà thiếu hẳn việc luyện tập và thực hành ở 
nhà nên kiến thức học nhanh quên, kỹ năng thực hành kém. Bên cạnh đó cũng 
có những học sinh thực sự ham học, dẫn đến sự cách biệt về kiến thức trong 
cùng một lớp, gây khó khăn trong việc truyền thụ kiến thức của giáo viên.
 b. Thành công - hạn chế :
 Việc rèn luyện cho học sinh kĩ năng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất giúp 
học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ . Rèn luyện cho học sinh 
các phương pháp khoa học trong suy nghĩ, trong suy luận qua đó có tác 
dụng tốt rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo, góp một phần không 
nhỏ cho các em khi bước vào các kì kiểm tra, kì thi đặc biệt là kì thi vào 
THPT sắp tới. Tuy nhiên do phạm vi nghiên cứu chỉ trong một nội dung nhỏ 
Giáo viên : THCS Trang 3 “ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ”
 Do cơ sở vật chất của trường còn thiếu sách, báo, tài liệu tham khảo cho 
giáo viên và học sinh.
II.3. Giải pháp, biện pháp :
 a. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp :
 Với mục tiêu phát hiện, bồi dưỡng và phát triển những học sinh có 
năng lực về Toán, từ đó xây dựng cho học sinh kĩ năng nhận dạng và giải 
Toán.
 Thúc đẩy việc tìm hiểu và mở rộng kiến thức thêm của giáo viên cũng 
như của học sinh.
 Xây dựng một tài liệu hoàn chỉnh về một số dạng Toán khó ở cấp học 
THCS.
 Với nội dung của đề tài học sinh có thể tự học, tự nghiên cứu và nội 
dung không những giới hạn ở cấp THCS mà còn vận dụng ở nhiều cấp học 
cao hơn.
 Rèn luyện kĩ năng giải các dạng toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 
nhất thường gặp trong sách giáo khoa, trong các đề thi vào lớp 10, trong các 
đề thi học sinh giỏi, đề thi giải toán trên mạng . . . 
 b. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp :
 A. Cơ sở về lý thuyết :
 1. Định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN): 
 Cho biểu thức f(x) xác định trên miền D. Ta nói M là giá trị lớn nhất 
của f(x) trên D. Kí hiệu M=max f(x), nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn.
 +Với mọi x thuộc D thì f(x) M, M là hằng số.
 +Tồn tại xo thuộc D sao cho f(xo) = M.
 2. Định nghĩa giá trị nhỏ nhất (GTNN): Cho biểu thức f(x) xác định 
trên miền D. Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D, kí hiệu m = min f(x), 
nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:
Giáo viên : THCS Trang 5 “ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ”
 b.Tính chất:
 1) a 0
 2) a b a + b đẳng thức xảy ra khi ab > 0.
 3) a b a - b ( đẳng thức xảy ra khi a b 0 hoặc a b 0 )
 5. Một số tính chất và bất đẳng thức thường gặp :
 1 1
 • a b,ab 0 xảy ra đẳng thức khi a=b
 a b
 • a b 0 an bn,n N * 
 • a b 0 a b 
 • Bất đẳng thức côsi :
 a b
 Với a 0,b 0 thì ab (Dấu “=” xảy ra a b )
 2
 • Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki :
 Cho hai bộ số a1 ,a2 ; b1 ,b2 . Ta có
 2 2 2 2 2 a1 a2
 a1.b1 a2 .b2 a1 a2 b1 b2 ( Dấu “=” xảy ra khi )
 b1 b2
 B. Xây dựng hệ thống bài tập phù hợp với từng đối tượng học sinh, 
giúp học sinh độc lập suy nghĩ và sáng tạo trong cách giải : 
 Dạng 1 : Tìm GTLN, GTNN của biểu thức dạng : 
 f(x) = ax2 + bx + c. (a, b, c là hằng số, a 0 ) 
Phương pháp giải:
 b b 2 2
 Ta có: f(x) = ax2 + bx + c = a ( x2 + x + ) - b + c =
 a 4a 2 4a
 b (b 2 4ac)
 = a (x + )2 + 
 2a 4a
 * Nếu a > 0 
 (b 2 4ac) b
 GTNN của f(x) là khi x = và không có GTLN.
 4a 2a
 * Nếu a < 0 
 (b 2 4ac) b
 GTLN của f(x) là khi x = và không có GTNN
 4a 2a
Giáo viên : THCS Trang 7 “ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ”
 • Ví dụ minh họa : 
 Tìm GTNN của biểu thức C = x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 2y + 15.
 Giải: C = x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 2y + 15
 = x2 + 2(2 – y)x + 2y2 – 2y + 15
 = x2 + 2(2 – y)x + (4 – 4y + y2) + (y2 + 2y + 1) + 10
 = x2 + 2(2 – y)x + (2 – y)2 + (y + 1)2 + 10
 = (x + 2 – y)2 + (y + 1)2 + 10 10
 x + 2 – y = 0 x = - 3
 Nên minC = 10 khi 
 y + 1 = 0 y = - 1
 Vậy minC = 10 khi x = -3, y = -1
 Dạng 3 : Tìm GTLN, GTNN của biểu thức là phân thức có tử là 
hằng số, mẫu là tam thức bậc hai
Phương pháp giải:
 1 1
Sử dụng tính chất : a b,ab 0 xảy ra đẳng thức khi a=b
 a b
 • Ví dụ minh họa : 
 7
 * Ví dụ 1 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Q 
 4x2 4x 5
 Hướng dẫn giải : 
 7 7 7
Ta có : Q 
 4x2 4x 5 4x2 4x 1 4 (2x 1)2 4
Mà (2x 1)2 0 (2x 1)2 4 4 
 7 7
Suy ra Q 
 (2x 1)2 4 4
Vậy giá trị lớn nhất của Q là 7 đạt khi x = 1 
 4 2
Giáo viên : THCS Trang 9 “ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ”
 • Ví dụ minh họa : 
 3x2 4x
 *Ví dụ 1: Tìm GTLN của B Và giá trị x tương ứng
 x2 1
 3x 2 4x 4x 2 4 x 2 4x 4 x 2 2
 Giải: B 4 4
 x 2 1 x 2 1 x 2 1
 Dấu “=” xảy ra khi x - 2 = 0 x = 2
 Vậy MaxB = 4 khi x = 2
 *Ví dụ 2: (Trích đề thi vào lớp 10 –Quảng Ngãi năm 2013-2014)
 x2 2x 2014
 Với x 0 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 
 x2
 Hướng dẫn giải : 
 x2 2x 2014
 A Ax2 x2 2x 2014 A 1 x2 2x 2014 0 1 
 x2
 * Với A 1 x 1007
 * Với A 1 PT (1) là pt bậc 2 ẩn x có 
 ' 1 2014 A 1 1 2014A 2014 2014A 2013
 2013
 PT (1) có nghiệm khi ' 0 2014A 2013 0 A 
 2014
 2013
 Kết hợp với trường hợp A=1 ta có A 
 min 2014
• Bài Tập Tự Luyện :
 (Trích đề thi vào lớp 10-Cao Bằng năm 2012-2013)
 x2 4x 1
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 
 x2
 Dạng 5 : Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm GTLN, GTNN của 
biểu thức 
 Bất đẳng thức Côsi
 a b
 Với a 0,b 0 thì ab (Dấu “=” xảy ra a b )
 2
Giáo viên : THCS Trang 11 “ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ”
 3x 4 16
 *Ví dụ 3: Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức A 
 x 3
 16
 Nhận xét: 3x và có tích không phải là hằng số. Muốn khử được x 3 thì 
 x 3
 ở tử phải có x 3 x.x.x do đó phải biểu diễn 3x = x + x + x và dùng bất 
 đẳng thức Côsi cho 4 số dương.
 3x 4 16 16 16 16
 Giải: A 3x x x x 44 x.x.x. 4.2 8
 x 3 x 3 x 3 x 3
 16
 Dấu “=” xảy ra khi x x=2
 x 3
 Vậy minA = 8 khi x=2
 *Ví dụ 4 : (Trích đề thi vào lớp 10 – Hà Nội năm 2012-2013)
Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x 2y , tìm giá trị nhỏ nhất của 
 x2 y2
biểu thức: M 
 xy
 Hướng dẫn giải : 
 x2 y2 x2 y2 x y x y 3x
Ta có M = ( ) 
 xy xy xy y x 4y x 4y
 x y
Vì x, y > 0 , áp dụng bdt Cô si cho 2 số dương ; ta có 
 4y x
 x y x y
 2 . 1, 
 4y x 4y x
dấu “=” xảy ra x = 2y
 x 3 x 6 3
 Vì x ≥ 2y 2 . , dấu “=” xảy ra x = 2y
 y 4 y 4 2
 3 5
Từ đó ta có M ≥ 1 + = , dấu “=” xảy ra x = 2y
 2 2
Vậy GTNN của M là 5 , đạt được khi x = 2y
 2
Giáo viên : THCS Trang 13