Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng bất đẳng thức Cô-si trong giải Toán THCS

 Phßng GD&§T QuËn §èng §a 
 Tr•êng THCS Th¸i ThÞnh 
 -------*****------- 
 S¸ng kiÕn 
 kinh nghiÖm 
SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI 
 TRONG GIẢI TOÁN THCS 
 MÔN TOÁN 
 Tên tác giả: Nguyễn Cao Cường 
 Giáo viên môn Toán 
 Năm học 2013 - 2014 
 Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS 
 MỞ ĐẦU 
  
I. Lý do chọn đề tài 
 Toán học nói chung và toán học phổ thông nói riêng đã giúp người học, 
người nghiên cứu nó có được kiến thức, tư duy logic và khả năng suy luận. Đối với 
những học sinh trung học cơ sở, toán học đã hình thành cho các em những kiến 
thức cơ sở ban đầu, những kiến thức cơ bản nhất của toán học hiện đại. Qua những 
bài học, những vấn đề toán cùng với những cách thức suy luận đã giúp các em hình 
thành tư duy toán học. 
Toán học sơ cấp có lẽ là mảng toán học đòi hỏi trí thông minh, óc tư duy linh hoạt 
của người học, trong đó bất đẳng thức là vấn đề hay và khó. Từ các lớp trung học 
cơ sở, học sinh được giới thiệu một cách cơ bản nhất về bất đẳng thức, phương 
pháp chứng minh bất đẳng thức. Và hầu hết những người đã học bất đẳng thức, ai 
cũng biết về một bất đẳng thức kinh điển, nổi tiếng: bất đẳng thức Cô-si. Nhưng 
một thực tế chung đối với học sinh phổ thông là việc vận dụng bất đẳng thức Cô - 
si vào giải toán gặp rất nhiều khó khăn. Khó khăn đầu tiên là không biết cách sử 
dụng bất đẳng thức Cô - si. Khó khăn thứ hai là không biết bất đẳng thức Cô - si có 
thể ứng dụng vào việc giải những dạng toán nào? Chính vì vậy, để giúp các em học 
sinh có thể khắc phục phần nào những khó khăn trên, tôi viết đề tài " Sử dụng bất 
đẳng thức Cô - si trong giải toán trung học cơ sở" 
II. Nhiệm vụ, mục đích của đề tài 
 Đề tài " Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS" sẽ giới thiệu 
đến với học sinh về bất đẳng thức Cô - si; những kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức 
Cô-si và việc sử dụng bất đẳng thức Cô-si trong giải toán THCS. 
 Đề tài được viết theo cách thức lý thuyết đi kèm với ví dụ minh họa. Bên 
cạnh việc cung cấp, tổng kết những cách sử dụng bất đẳng thức Cô - si, đề tài còn 
 Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội 3 
 Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS 
1. NHỮNG QUY TẮC CHUNG TRONG CHỨNG MINH BẤT 
ĐẲNG THỨC SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI 
 Quy tắc song hành: hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử 
dụng các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra được kết 
quả nhanh chóng và định hướng cách giả nhanh hơn. 
 Quy tắc dấu bằng: dấu bằng “ = ” trong BĐT là rất quan trọng. Nó giúp ta 
kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh. Nó định hướng cho ta phương pháp giải, 
dựa vào điểm rơi của BĐT. Chính vì vậy mà khi dạy cho học sinh ta rèn luyện cho 
học sinh có thói quen tìm điều kiện xảy ra dấu bằng mặc dù trong các kì thi học 
sinh có thể không trình bày phần này. Ta thấy được ưu điểm của dấu bằng đặc biệt 
trong phương pháp điểm rơi và phương pháp tách nghịch đảo trong kỹ thuật sử 
dụng BĐT Cô Si. 
 Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: không chỉ học sinh mà ngay cả 
một số giáo viên khi mới nghiên cứu và chứng minh BĐT cũng thương rất hay mắc 
sai lầm này. Áp dụng liên tiếp hoặc song hành các BĐT nhưng không chú ý đến 
điểm rơi của dấu bằng. Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các BĐT là điểm 
rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu “ = ” phải được cùng được thỏa 
mãn với cùng một điều kiện của biến. 
 Quy tắc biên: Cơ sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến 
tính, các bài toán tối ưu, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất 
nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng. Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, 
nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên. 
 Quy tắc đối xứng: các BĐT thường có tính đối xứng vậy thì vai trò của các 
biến trong BĐT là như nhau do đó dấu “ = ” thường xảy ra tại vị trí các biến đó 
bằng nhau. Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu “ = ” 
xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể. 
 Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội 5 
 Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS 
2. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ - SI 
 (CAUCHY) 
1. Dạng tổng quát (n số): x1, x2, x3 ..xn ≥ 0 ta có: 
 x++ x...... x
 • Dạng 1: 12 n n x x ........... x 
 n 12 n
 n 
 • Dạng 2: x12++ x...... xn n x12 x ........... xn 
 n
 x12++ x...... xn
 • Dạng 3: x12 x ........... xn 
 n
 Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi: x12== x............= xn 
 Hệ quả 1: 
 n
 S
 Nếu: x12+ x +........ + xn = S = const thì: Max(P= x x.... ........ xn ) = 
 12 n
 S
 khi x== x............= x = 
 12 n n
 Hệ quả 2: 
 Nếu: x x................. x== P const thì: ++= n 
 12 n Min(S= x1 x 2......... x 2 ) n P
 n
 khi x12== x............= xn = P 
2. Dạng cụ thể ( 2 số, 3 số ): 
 n = 2:  x, y ≥ 0 khi đó: n = 3:  x, y, z ≥ 0 khi đó: 
 xy+ x++ y z
 2.1 xy 3 xyz 
 2 3
 2.2 x+ y2 xy x+ y + z 3 3 xyz 
 2 3
 xy+ x++ y z
 2.3 xy xyz 
 2 3
 2.4 (x+ y)2 4 xy (x+ y + z)3 27 xyz 
 1 1 4 1 1 1 9
 2.5 + + + 
 x y x+ y x y z x++ y z
 Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội 7 
 Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS 
 3. CÁC KỸ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ - SI 
3.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân. 
Đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá BĐT theo chiều “ ≥ ”. Đánh giá từ tổng 
sang tích. 
Bài 1: Chứng minh rằng: (a2+ b 2)( b 2 + c 2)( c 2 + a 2) 8 a 2 b 2 c 2 abc , , 
 Giải 
Sai lầm thường gặp: 
Sử dụng:  x, y thì x2 - 2xy + y2 = ( x- y)2 ≥ 0 x2 + y2 ≥ 2xy. Do đó: 
 a22+ b2 ab
 22
 b+ c2 bc (abbcca2+ 2)( 2 + 2)( 2 + 2) 8 abc 2 2 2  abc , , (Sai) 
 22
 c+ a2 ca
 22 −
 Ví dụ: 35 − 24 = 2.3.4 ≥ (-2)(-5).3 = 30 ( Sai ) 
 4 3
Lời giải đúng: 
Sử dụng BĐT Cô Si: x2 + y2 ≥ 2 xy22 = 2|xy| ta có: 
 a22+ b2 ab 0
 22 222222 222 222
 b+ c2 bc 0 (abbcca+)( +)( +) 8| abc|= 8 abc  abc , , (Đúng
 c22+ a2 ca 0
) 
Bình luận: 
• Chỉ nhân các vế của BĐT cùng chiều ( kết quả được BĐT cùng chiều) khi và 
 chỉ khi các vế cùng không âm. 
• Cần chú ý rằng: x2 + y2 ≥ 2 xy22 = 2|xy| vì x, y không biết âm hay dương. 
• Nói chung ta ít gặp bài toán sử dụng ngay BĐT Cô Si như bài toán nói trên mà 
 phải qua một và phép biển đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng BĐT 
 Cô Si. 
 Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội 9 
 Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS 
 1 1 1 1 b c dCôsi bcd
 1 - + 1 − + 1 − = + + 3 3
 1+a 1 + b 1 + c 1 + d 1 + b 1 + c 1 + d (1+b)( 1 + c)( 1 + d )
Vậy: 
 1 bcd
 3 3 0
 1+ a (1+b)( 1 + c)( 1 + d )
 1 cda
 3 0
 1+b 3
 (1+c)( 1 + d)( 1 + a) 1dabc
 81
 1 dca (1+a)( 1 + b)( 1 + c)( 1 + d) ( 1 + a)( 1 + b)( 1 + c)( 1 + d )
 3 0
 1+ c 3
 (1+d)( 1 + c)( 1 + a)
 1 abc
 3 3 0
 1+ d 1+abc 1 + 1 +
 ( )( )( )
 1
 abcd 
 81
Bài toán tổng quát 1: 
Cho: 
 x, x , x ,............., xn 0
 1 2 3 1
 1 1 1 1 CMR : x1 x 2 x 3 ........... xn n 
 + + +......... + n − 1 (n −1)
 1+x1 1 + x 2 1 + x 3 1 + xn
Bình luận: 
• Đối với những bài toán có điều kiện là các biểu thức đối xứng của biền thì việc 
 biến đổi điều kiện mang tính đối xứng sẽ giúp ta xử lí các bài toán chứng minh 
 BĐT dễ dàng hơn 
 abc, , 0 1 1 1 
Bài 6: Cho CMR : − 1 − 1 − 1 8 (1) 
 abc+ + =1 abc 
 Giải 
 1−abc 1 − 1 − bccaab+ + + Côsi 2 bc 2 ca 2 ab
VT(1)= . . ==. . . . 8 (đpcm) 
 abc a b c a b c
Bài toán tổng quát 2: 
 Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội 11 
 Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS 
Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội 13 
 Sử dụng bất đẳng thức Cô - si trong giải toán THCS 
thức bậc hai của b) do đó ta phải phân tích về thành tích của các đa thức bậc nhất 
đối với b, khi đó ta có thể tách hạng tử a thành tổng các hạng tử là các thừa số của 
mẫu. 
Vậy ta có: (a−+ b)( b 1)2 = (a - b)( b + 1)( b + 1) ta phân tích a theo 2 cách sau: 
 bb++11
2a +2 = 2(a - b) + ( b + 1) + ( b + 1) hoặc a +1 = ab−++ 
 ( ) 22
Từ đó ta có (1) tương đương : 
 4bb++ 1 1 4
 VT + 1 = a+1 +2 =( a − b) + + + 
 (a−+ b)( b 1) 22(a− b)( b +11)( b + )
 Côsi bb++1 1 4
 44 .4 (ab −) . . . = ĐPCM 
 22(a− b)( b +11)( b + )
 1
 a 
 2a3 + 1 
Bài 5: CMR : 3 2 
 4b ( a− b ) a
 1
 b
 Giải 
 Nhận xét: Dưới mẫu số b(a-b) ta nhận thấy b + ( a – b ) = a. Chuyển đổi tất cả 
biểu thức sang biến a là 1 điều mong muốn vì việc sử lí với 1 biến sẽ đơn giản hơn. 
Biến tích thành tổng thì đây là một mặt mạnh của BĐT Cô-si. Do đó: 
 2
 b+−( a b) a2
 Ta có đánh giá về mẫu số như sau: 4.b a− b 4. = 4. = a2 
 ( ) 24
 2a3 + 1Côsi 2a3 + 1 a 3 + a 3 + 1 1Côsi 1
Vậy: = =a + a + 33 a . a . = 3 
 4b ( a− b ) aa22 a a
 b= a − b a =1
Dấu “ = ” xảy ra 11 
 ab==2
 a 2
Bình luận: 
• Trong việc xử lí mẫu số ta đã sử dụng 1 kỹ thuật đó là đánh giá từ TBN sang 
 TBC nhằm làm triệt tiêu biến b. 
 Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP. Hà Nội 15