Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toán

 PHẦN I. MỞ ĐẦU
 I. lý do chọn đề tài.
 Trong các kỳ thi HSG toán 9, thi tuyển sinh vào lớp 10, vào các trường chuyên, lớp 
chọn ta thường gặp các dạng toán mà học sinh có thể vận dụng „Điều kiện có nghiệm 
của phương trình bậc hai” để giải quyết một cách nhanh chóng, tránh gặp các sai sót một 
cách đáng tiếc có thể xẩy ra.
 Vì lẻ đó, là một giáo viên được giao nhiệm vụ bồi dưỡng và giảng dạy môn Toán 9, lớp 
mà các em sắp bước vào nhiều kì thi quan trọng – tôi đã học hỏi và tích lũy được nhiều 
điều và phân dạng để xây dựng phương pháp giải cho từng dạng. 
 Với những lý do trên đây, trong sáng kiến này tôi đưa ra "Sử dụng điều kiện có 
nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toán”. 
 II. Phạm vi nghiên cứu.
 1. Phạm vi của đề tài.
 Môn Đại sổ 9
 2. Đối tượng
 Học sinh lớp chọn 9D trường THCS Cẩm Nhượng năm học 2015 – 2016.
 3. Mục đích:
 a) Kiến thức:
 1. Tìm cực trị của một biểu thức.
 2. Giải phương trình nghiệm nguyên.
 3. Chứng minh bất đẳng thức.
 b) Kỹ năng:
 Học sinh có kỹ năng vận dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai 
 để tìm GTNN, GTLN của một biểu thức, giải phương trình nghiệm nguyên, 
 chứng minh bất đẳng thức.
 PHẦN II. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
 A. NỘI DUNG
 I. Cơ sở lý luận của đề tài:
* Phương trình ax2 bx c 0 a 0 
 ax2 bx c
 1 Dạng 1: Tìm cực trị của một biểu thức
 I. Biểu thức có dạng là phân thức : 
Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
 4x 3 2x2 2x 9
 a, A b, B 
 x2 1 x2 2x 5
Giải: 
 4x 3
a) A 
 x2 1
 4x 3
Ta có x2+1 0 với x R , nên A 
 x2 1
 A(x2+1)=4x+3
 Ax2 + A = 4x+3
 Ax2 - 4x +A – 3 = 0 (2)
- Nếu A=0 thì phương trình (2) - 4x – 3 = 0
 3
 x=
 4
 3
 A=0 x= (*)
 4
- Nếu A 0, thì phương trình bậc hai ẩn x: Ax2 - 4x +A – 3 = 0 (2)
Có nghiệm khi và chỉ khi: ' 0
 (-2)2-A(A-3) 0
 4-A2+3A 0
 (4-A)(A+1) 0
 4 A 0 A 4
 A 1 0 A 1
 1 A 4
 4 A 0 A 4
 (VN)
 A 1 0 A 1
 1
*Max A=4, Thay vào (2) ta có: 4x2 – 4x + 1 = 0 x 
 2
*Min A=1, Thay vào (2) ta có: –x2 - 4x – 4=0 x= - 2
 1
Đối chiếu với (*) ta có: Max A=4 x 
 2
 3 Nên (4) M(x2+2) = ax+b
 Mx2-ax+2M-b=0 (*)
 a b 0
 - Nếu M=0 thì (*) ax+b=0 b
 a 0, x 
 a
 - Nếu M 0 thì phương trình (*) ẩn x có nghiệm 0
 (-a)2- 4M(2M-b) 0
 a2-8M2+4bM 0
 1 1
Để M đạt giá trị nhỏ nhất bằng , đạt giá trị lớn nhất bằng 1, thì , 1 là nghiệm của 
 2 2
phương trình bậc hai: -8M2+4bM+a2=0 (ẩn M)
Vì phương trình: -8M2+4bM+a2=0 (ẩn M) có hệ số a,c trái dấu nên luôn có nghiệm, theo 
hệ thức viet ta có:
 1 4b 1 2 b a 2
 1 
 2 8 2 2 2 b 1 b 1
 2 2 
 1 a 1 a a 2 a 2
 .1 
 2 8 2 8 b 1
 ax b 1
Vậy: Để biểu thức M ; (4) đạt giá trị nhỏ nhất bằng , đạt giá trị lớn nhất 
 x2 2 2
 a 2 a 2
bằng 1 thì: hoặc 
 b 1 b 1
Bài toán 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 x2 xy y2
 A với x 0;
 x2 y2
 - Xét y=0 A=1(*)
 2
 x2 xy y2 x x
 1
 y2 y2 y2 y y
 - Xét y 0 ta có A 
 x2 y2 2
 x 
 2 2 1
 y y y 
 x t 2 t 1
 Đặt t , ta có: A , ta có: t2+1 0
 y t 2 1
 t 2 t 1
 Nên : A At2+A=t2+t+1
 t 2 1
 5 y2 + 2y -3 0
 ( y – 1)(y + 3) 0
 y 1 0 y 1
 3 y 1
 y 3 0 y 3
 y 1 0 y 1
 (VN)
 y 3 0 y 3
Vậy Max(y) = 1 x = -3
Bài toán 2.( §Ò thi TS líp 10- §HQG Hµ néi - n¨m häc 04 - 05)
T×m c¨p sè ( x; y) sao cho y nhá nhÊt tháa m·n: x2 + 5y2 +2y - 4xy -3 = 0(2)
Giải
 (2) x2 - 4xy+ 5y2 +2y -3 = 0
Phương trình bậc hai ẩn x, có nghiệm 
 ' 0 4y2 - 5y2 -2y +3 0
 -y2 -2y +3 0
 ( y – 1)(y + 3) 0
 -3 y 1
 Vậy: ( x; y) = ( 6; -3)
Bài toán 3: (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10- Hà Tĩnh năm học 2010-2011)
Tìm x để y lớn nhất thỏa mãn: x2+2y2+2xy-8x-6y+13=0 (3)
Giải: 
 x2+2y2+2xy-8x-6y+13=0
 x2+2(y-4)x+2y2-6y+13=0; (Phương trình bậc hai ẩn x), có nghiệm:
 ' 0 (y-4)2-(2y2-6y+13) 0
 y2-8y+16-2y2+6y-13 0
 -y2-2y+3 0
 y 1 0 y 1
 3 y 1
 y 3 0 y 3
 y2+2y-3 0 (y-1)(y+3) 0 
 y 1 0 y 1
 (VN)
 y 3 0 y 3
Nên y có giá trị lớn nhất là 1, thay y=1 vào phương trình (5) ta có:
x2+2+2x-8x-6+13=0 x2-6x+9=0
 7 2 2
 ( x0 +x0+2) ( x0- x0 ) 0
 2 1 2 7
Vì x +x0+2= (x0+ ) + >0
 0 2 4
 2 2 2
Nên ( x0 +x0+2) ( x0- x0 ) 0 khi: ( x0- x0 ) 0
 x0(1- x0) 0
 x0 0
 1 x0 0
 0 x 1
 0
 x0 0
 1 x0 0
Dấu “=” xảy ra khi x0=0; x0=1 thay vào (5) ta có: 
 2
Khi x0=0 thì m +2m+1=0 m= -1
 2
Khi x0=1 thì : m +4m+4 = 0 m= - 2
 4 2 2
Vậy: Để phương trình ẩn x: x +2x +2mx+m +2m+1=0 có nghiệm là lớn nhất x0=1 thì 
m= - 2, có nghiệm nhỏ nhất x0=0 thì m= -1. 
Bài toán 6: Tìm cặp số (x;y) thỏa mãn: x 1y2 x 1 y ; (6) sao cho x đạt giá trị lớn 
nhất.
Giải: 
 - Nếu x=1 thì y=0.
 - Nếu x>1, Xem phương trình (6) là phương trình bậc 2 ẩn y
 Phương trình (6) x 1y2 y x 1 0 có nghiệm: 
 0
 1 2 4 x 1 x 1 0
 1- 4(x-1) 0 (vì x>1)
 1-4x+4 0
 5
 x 
 4
 Suy ra x có giá trị lớn nhất là 5 .
 4
 5
 Thay x vào (6) ta có:
 4
 9 x2+2(S-x)2+2x(S-x)+8(x+S-x)+7=0 
 x2+2(S2-2Sx+x2)+2xS-2x2+8S+7=0 
 x2+2S2-4Sx+2x2+2xS-2x2+8S+7=0 
 x2-2Sx +2S2+8S+7=0 ( Phương trình bậc hai ẩn x), có nghiệm 
 ' 0 (-S)2-(2S2+8S+7) 0
 S2-2S2-8S-7 0
 S2+8S+7 0
 (S+1)(S+7) 0
 S 1 0 S 1
 7 S 1
 S 7 0 S 7
 S 1 0 S 1
 (VN)
 S 7 0 S 7
Hay: 7 x y 1.
 x 1
Vậy: Max S=-1 
 y 0
 x 7
 Min S=-7 
 y 0
Bµi tËp tù luyÖn:
1) T×m Max P = -x2 – y2 + xy + 2x + 2y + 5
2) T×m min P = 2x2 + 4y2 + 4xy + 2x + 4y + 9 
3) T×m cÆp sè (x;y) sao cho y nhá nhÊt tháa m·n: x2 + 5y2 – 4xy + 2y – 3 = 0
4) Cho c¸c sè thùc (x;y) tháa m·n: x2 + 2y2 + 2xy + 6x + 8y + 4 = 0
T×m min, Max cña S = x + y +2010
5) Cho x + y + z =3. T×m Max D = xy + 2yz + 3xz
6) Cho c¸c sè thùc (x;y; z) tháa m·n: x + y +2z = 3.
T×m min P = 2x2 + 2y2 – z2
7) Cho x, y, z lµ c¸c sè kh«ng ©m tháa m·n: x+y+z = 1.
T×m Max P = ( x+2y+3z)(6x+3y+2z)
 Dạng 2: Giải phương trình nghiệm nguyên:
Bài toán 1: T×m nghiÖm nguyªn cña ®a thøc:
 5x2 + 5y2 + 8xy - 2x + 2y + 2 = 0 (1)
Giải
(1) 5x2 + 2( 4y – 1)x + 5y2 + 2y + 2 = 0 ( pt bËc 2 Èn x)
 11 Bài toán 3: T×m cÆp sè (x, y ) nguyªn tháa m·n: 3x2 + 4y2 + 6x +4 y - 5 = 0 (3)
Giải
(3) 3x2 + 6x + 4y2 +4 y - 5 = 0 
Phương trình bậc hai ẩn x, có nghiệm 
 ' 0 9 – 3(4y2 + 4y – 5) 0
 -y2 - y + 2 0
 ( y – 1)(y + 2) 0
 -2 y 1
Vì y Z, nên y = ( -2; -1; 0; 1)
Suy ra: (x; y) = (-1; 2), (-1; 1)
Bài tập :Tìm cÆp sè (x, y ) nguyªn tháa m·n:
1) x2 + y2 + xy - 2x - y = 0 
2) x2 + 2y2 - 2xy + 3x - 3y + 2 = 0 
3) x2 + 2y2 + 2xy - 3y - 4 = 0 
4) 2x2 + y2 - 2xy + y = 0 
 Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức:
Bài toán 1: Cho x,y thỏa mãn điều kiện: x2+y2=xy+x-2y; (1) Chứng minh: 
 2 3 2 3
 x .
 3 3
Giải: x2+y2=xy+x-2y y2+(2-x)y+x2-x=0 (*)
Xét phương trình (*) là phương trình bậc hai ẩn y, ta có:
Phương trình (*) có nghiệm 0
 (2-x)2-4(x2-x) 0
 4-4x+x2-4x2+4x 0
 -3x2+4 0
 4
 x2 
 3
 4
 x 
 3
 2 3
 x 
 3
 13 Giải:
 Đặt a-b=x; a=b+x, thay vào (4) ta có:
(b+x)2+4b2=1 5b2+2xb+x2-1=0 (*) (Phương trình bậc hai ẩn b) có nghiệm
 ' 0
 x2-5(x2-1) 0
 -4x2+5 0
 5
 x2 
 4
 5
 x 
 2
 5
Hay: a b 
 2
Bài toán 5: Cho a,b,c thỏa mãn: 
 a b c 4
 ab bc ca 5
 2
Chứng minh rằng: a,b,c 2
 3
 a b c 4 b c 4 a b c 4 a
Giải: Ta có 
 ab bc ca 5 bc 5 a b c bc 5 a 4 a 
Khi đó b,c là hai nghiệm của phương trình bậc hai ẩn x sau:
x2-(4-a)x+5-4a+a2=0, có nghiệm 0
 (a-4)2-4(5-4a+a2) 0
 a2-8a+16-20+16a-4a2 0
 -3a2+8a-4 0
 3a2-8a+4 0
 (a-2)(3a-2) 0
 a 2 0
 3a 2 0 2
 a 2
 a 2 0 3
 3a 2 0
 2
 a 2
 3
 15