Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng nguyên lí Đirichlet vào giải một số bài toán ở bậc trung học cơ sở

 A. PhÇn më ®Çu
I. LÝ do chän ®Ò tµi
 Trong nh÷ng n¨m qua cïng víi sù ph¸t triÓn cña ®Êt n­íc, sù nghiÖp 
gi¸o dôc kh«ng ngõng ®æi míi vµ ®· thu ®­îc nh÷ng thµnh c«ng nhÊt ®Þnh.HÖ 
thèng gi¸o dôc quèc d©n ®· ®µo t¹o cho ®Êt n­íc mét ®éi ngò tri thøc hïng 
hËu, mét lùc l­îng lao ®éng chÊt l­îng cao ®¸p øng ®­îc sù ®ßi hái cña x· 
héi trong giai ®o¹n míi. C¸c nhµ tr­êng ngµy cµng quan t©m ®Õn chÊt l­îng 
gi¸o dôc toµn diÖn ,sù ®Çu t­ thÝch ®¸ng cho gi¸o dôc mòi nhän. Víi vai trß lµ 
m«n khoa häc c¬ b¶n, bé m«n to¸n ®· gãp phÇn t¹o ®iÒu kiÖn cho häc sinh 
ph¸t huy tèt trÝ lùc cña b¶n th©n ,gióp c¸c em häc tèt c¸c bé m«n khoa häc tù 
nhiªn kh¸c.
 §Ó ®¸p øng ®­îc yªu cÇu cña sù nghiÖp gi¸o dôc vµ nhu cÇu häc tËp cña 
häc sinh ®Æc biÖt lµ häc sinh kh¸, giái. §iÒu ®ã ®ßi hái mçi thÇy c« gi¸o ph¶i 
kh«ng ngõng häc tËp , t×m tßi tÝch lòy kinh nghiÖm gióp c¸c em trang bÞ cho 
m×nh mét l­îng kiÕn thøc ®Çy ®ñ vµ cã chiÒu s©u.T¹o cho häc sinh sù høng 
thó khi häc to¸n vµ ngµy cµng yªu thÝch bé m«n hay vµ khã nµy.
 NÕu ta xem to¸n häc nh­ lµ mét kho b¸u th× mçi c«ng thøc ,®Þnh lÝ 
gièng nh­ mçi viªn ngäc quý t¹o nªn kho b¸u Êy. Viªn ngäc quý mµ t«i 
muèn t×m hiÓu,nghiªn cøu vµ trao ®æi trong ®Ò tµi nµy chÝnh lµ nguyªn lÝ 
§irichlet. Nguyªn lÝ §irichlet lµ mét c«ng cô to¸n häc ®­îc ph¸t biÓu kh¸ 
®¬n gi¶n, dÔ hiÓu vµ dÔ chøng minh nh­ng hiÖu qu¶ mµ nã mang l¹i khi gi¶i 
to¸n l¹i v« cïng lín.Trong qu¸ tr×nh båi d­ìng ®éi tuyÓn häc sinh giái b¶n 
th©n t«i còng nh­ c¸c ®ång nghiÖp t¹i tr­êng ®· gÆp mét sè bµi to¸n mµ viÖc 
gi¶i quyÕt nã ®­îc thùc hiÖn kh¸ dÔ dµng nhê sö dông nguyªn lÝ §irichlet. 
ChÝnh v× thÕ mµ t«i chän ®Ò tµi : “Sö dông nguyªn lÝ §irichlet vµo gi¶i mét sè 
bµi to¸n ë bËc trung häc c¬ së ”. Qua ®Ò tµi nµy t«i mong muèn trao ®æi víi 
 Trang - 1 - tæng sè ®å vËt ®em bá lµ m vµ m > n,®iÒu nµy v« lÝ.VËy Ýt nhÊt mét ng¨n kÐo 
®­îc bá tõ hai ®å vËt trë lªn.
Nguyªn lÝ §irichlet chØ góp chóng ta chøng minh ®­îc sù tån t¹i “ ng¨n kÐo” 
chøa Ýt nhÊt hai vËt mµ kh«ng chØ ra ®­îc ®ã lµ “ng¨n kÐo” nµo. Tuy nhiªn 
trong rÊt nhiÒu bµi to¸n chõng Êy còng ®ñ cho ta cã mét lêi gi¶i hay vµ trän 
vÑn.
 1.2. Nguyªn lÝ §irichlet d¹ng më réng
 NÕu nh­ trong n ng¨n kÐo ta bá vµo mét sè ®å vËt nhiÒu h¬n kn (k Z) th× 
Ýt nhÊt cã mét ng¨n kÐo chøa nhiÒu h¬n k ®å vËt.
 1.3. Nguyªn lÝ §irichlet d¹ng tËp hîp
 Cho A vµ B lµ hai tËp hîp kh¸c rçng cã sè phÇn tö h÷u h¹n vµ sè l­îng 
 phÇn tö cña A lín h¬n sè l­îng phÇn tö cña B. NÕu víi mçi quy t¾c nµo ®ã 
 ,mçi phÇn tö cña A cho t­¬ng øng víi mét phÇn tö cña B th× tån t¹i Ýt nhÊt hai 
 phÇn tö cña A( Hai phÇn tö kh¸c nhau) t­¬ng øng víi mét phÇn tö cña B
2. Mét sè chó ý khi sö dông nguyªn lÝ §irichlet
 - C¸c bµi to¸n sö dông nguyªn lÝ §irichlet lµ c¸c bµi to¸n chøng minh sù 
tån t¹i cña c¸c sù vËt,sù viÖc mµ kh«ng cÇn chØ ra mét c¸ch t­êng minh c¸c 
sù vËt,sù viÖc ®ã. NhiÒu bµi to¸n nguyªn lÝ §irichlet xuÊt hiÖn qua mét sè 
phÐp biÕn ®æi trung gian. 
 - §Ó gi¶i bµi to¸n b»ng nguyªn lÝ §irichlet ®«i khi ta ph¶i kÕt hîp víi ph­¬ng 
ph¸p ph¶n chøng. 
 - Khi c¸c bµi to¸n mµ ta biÕt ph¶i ¸p dông nguyªn lÝ §irichlet chóng ta cÇn 
suy nghÜ biÕn ®æi lµm xuÊt hiÖn c¸c kh¸i niÖm: “®å vËt” vµ ‘ng¨n kÐo”,kh¸i 
niÖm “ bá ®å vËt vµo ng¨n kÐo”. 
 - Khi ¸p dông nguyªn lÝ §irichlet ®Ó gi¶i to¸n vµ ®· lµm xuÊt hiÖn c¸c kh¸i 
niÖm: “®å vËt” vµ ‘ng¨n kÐo”th× c¸c ng¨n kÐo kh«ng nhÊt thiÕt ®­îc bá ®å vËt 
 Trang - 3 - §Æt b1= a1 
 b2= a1+ a2
 b3 = a1+ a2 + a3
 b4 = a1+ a2 + a3 + a4
 .............................................
 b10 = a1+ a2 + a3 ............+ a10
Ta thÊy r»ng:
- NÕu tån t¹i mét Bi nµo ®ã : (i=1,2,3,...,10) chia hÕt cho 10 th× bµi to¸n ®· 
®­îc chøng minh
- NÕu kh«ng tån t¹i mét Bi nµo ®ã chia hÕt cho 10 th× ta chia 10 sè cña d·y 
cho 10 ®­îc c¸c sè d­ tõ 1 ®Õn 9 .Cã 9 sè d­ mµ cã 10 sè ®em chia ( nh­ vËy 
t­¬ng ®­¬ng víi 10 ®å vËt bá vµo 9 ng¨n kÐo) nªn theo nguyªn lÝ §irichlet cã 
mét ng¨n kÐo chøa hai ®å vËt hay cã hai sè cña d·y cã cïng sè d­ khi chia 
cho 10 , nh­ vËy cã hiÖu chia hÕt cho 10. Bµi to¸n ®­îc chøng minh.
VÝ dô 3
Chøng minh r»ng : Tån t¹i 1 béi cña sè 1993 chØ chøa toµn sè 1.
 Gi¶i
 XÐt 1994 sè nguyªn chøa toµn bé sè 1 lµ: 1 ;11 ;111 ;  ; 11111
 1994 sè 1
Khi chia 1994 sè nµy cho 1993 th× cã 1993 sè d­ suy ra theo nguyªn lÝ 
§irichlet cã Ýt nhÊt 2 sè cã cïng sè d­.
Gi¶ sö hai sè ®ã lµ:
 ai = 1993q + r ; aj = 1993k + r (0 r j ; q, k N )
Suy ra: ai - aj = 1993(q - k) 
 Hay : 
 111  1100  0 1993(q k )
 i- j 1994 sè 1 j sè 0
 Trang - 5 - Do ®ã ta cã: 199419941994...1994  1993 (k N vaø 1< k 1993)
 k soá 1994
VÝ dô 5: 
Chøng minh r»ng tån t¹i n N sao cho 3n tËn cïng b»ng 000001
 Gi¶i
Ta chøng minh tån t¹i n N ®Ó cho 3n – 1  106
 6
Ta xÐt d·y gåm 1000000 sè h¹ng sau: 3, 32, 33, ., 310 (1)
Chia c¸c sè h¹ng cña d·y (1) cho 106,Sè d­ cña phÐp chia cã thÓ lµ 
1;2;3;4....;999999
Cã 1000000 phÐp chia mµ cã 999999 sè d­ .Nªn theo nguyªn lÝ §irichlet cã 
Ýt nhÊt hai sè h¹ng cña d·y (1) cã cïng sè d­ khi chia cho 106
 i j 6 j i 6
Gäi hai sè ®ã lµ 3 vµ 3 . Víi i, j N vµ 1 i < j 10 3 – 3  10
 3i(3j – i - 1)  106 . Nh­ng (3; 10) = 1 (3i ; 106) = 1. 
Do ®ã : 3j – i – 1  106
VËy tån t¹i n N ®Ó 3n tËn cïng bëi 0000001
VÝ dô 6 : 
Chøng minh r»ng tån t¹i mét sè tù nhiªn x < 17 sao cho 25x - 1  17
 Gi¶i
XÐt d·y sè gåm 17 sè h¹ng : 25; 252; 253; 254;;2517 ( 1)
V× (25;17) = 1 nªn (25n;17) = 1 n N vµ n 1. 
Chia c¸c sè h¹ng cña d·y (1) cho 17 ta nhËn ®­îc c¸c sè d­ lµ : 1;2;3;4;...;16
Cã 17 phÐp chia mµ chØ cã 16 sè d­ nªn theo nguyªn lÝ §irichlet cã Ýt nhÊt hai 
sè cña d·y (1) cã cïng sè d­ khi chia cho 17 
Gäi hai sè ®ã lµ 25i vµ 25j víi i, j N vµ 1 i j 17 
 Trang - 7 - Bµi tËp 3.
a) Cã hay kh«ng 1 sè cã d¹ng 19931993  1993000  00  1994
b) Cã hay kh«ng mét sè K nguyªn d­¬ng sao cho khi chia cho 1993 cã c¸c 
ch÷ sè tËn cïng lµ 0001.
Bµi tËp 4.
Chøng minh r»ng : tån t¹i mét béi sè cña 17 
 a) §­îc viÕt bëi c¸c ch÷ sè 1 vµ ch÷ sè 0
 b) §­îc viÕt bëi toµn ch÷ sè 1
Bµi tËp 5.
Chøng minh r»ng : tån t¹i mét béi sè cña 23 ®­îc viÕt bëi toµn ch÷ sè 4
Bµi tËp 6.
Chøng minh r»ng : tån t¹i mét béi sè cña 17 cã tËn cïng lµ 219
Bµi tËp 7.
 a) Chøng minh r»ng tån t¹i mét béi sè cña 2003 cã tËn cïng lµ 2006
 b) Chøng minh r»ng tån t¹i mét béi sè cña 189 cã tËn cïng lµ 1234
Bµi tËp 8.
Chøng minh r»ng tån t¹i sè tù nhiªn k sao cho 7k cã tËn cïng lµ 0001
2. Sö dông nguyªn lÝ §irichlet vµo bµi to¸n suy luËn
2.1. C¸c vÝ dô:
VÝ dô 1 .
Chøng minh r»ng trong 366 ng­êi bao giê còng cã Ýt nhÊt hai ng­êi cã cïng 
ngµy sinh nhËt.
 Gi¶i
Ta xem mét n¨m cã 365 ngµy nh­ lµ 365 “ ng¨n kÐo” vµ 366 ngµy sinh cña 
366 ng­êi nh­ lµ 366 “ ®å vËt” .
Theo nguyªn lÝ §irichlet th× cã Ýt nhÊt mét “ ng¨n kÐo” cã chøa hai “ ®å vËt”. 
Hay cã Ýt nhÊt hai ng­êi cã cïng ngµy sinh nhËt.
 Trang - 9 - VÝ dô 4: 
Mét ®åi th«ng cã 800 000 c©y th«ng. Trªn mçi c©y th«ng cã kh«ng qu¸ 
500 000 chiÕc l¸.Chøng minh r»ng Ýt nhÊt còng cã hai c©y th«ng cã cïng sè 
l¸ nh­ nhau ë trªn c©y.
 Gi¶i
Ta h·y t­ëng t­îng mçi c©y th«ng lµ mét “ ®å vËt” nh­ vËy cã 800 000 “ ®å 
vËt” ®­îc bá vµo kh«ng qu¸ 500 000 c¸i “ ng¨n kÐo ”
 “Ng¨n kÐo 1 ” øng víi c©y th«ng cã 1 chiÕc l¸ trªn c©y
 “Ng¨n kÐo 2” øng víi c©y th«ng cã 2 chiÕc l¸ trªn c©y
 ........................................................................................................................................................
 “Ng¨n kÐo 500 000” øng víi c©y th«ng cã 500 000 chiÕc l¸ trªn c©y
Sè ®å vËt nhiÒu h¬n sè ng¨n kÐo nªn theo nguyªn lÝ Dirichlet cã Ýt nhÊt mét 
“Ng¨n kÐo ” cã kh«ng Ýt h¬n 2 ®å vËt. NghÜa lµ cã Ýt nhÊt 2 c©y th«ng cã cïng 
sè l¸ trªn c©y.
VÝ dô 5:
Cã 10 ®éi bãng thi ®Êu víi nhau mçi ®éi ph¶i ®Êu mét trËn víi c¸c ®éi 
kh¸c.Chøng minh minh r»ng vµo bÊt cø lóc nµo còng cã hai ®éi ®· ®Êu sè trËn 
®Êu nh­ nhau
 Gi¶i
Râ rµng nÕu trong 10 ®éi bãng cã 1 ®éi ch­a ®Êu mét trËn nµo th× trong c¸c 
®éi cßn l¹i kh«ng cã ®éi nµo ®· thi ®Êu 9 trËn. Nh­ vËy 10 ®éi chØ cã sè trËn 
®Êu tõ 0 ®Õn 8 hoÆc tõ 1 ®Õn 9 . Nªn theo nguyªn lÝ §irichlet ph¶i cã Ýt nhÊt 2 
®éi cã sè trËn ®Êu nh­ nhau.
VÝ dô 6: 
 Trang - 11 - ng­êi sao cho bÊt k× 2 ng­êi ®Òu quen nhau.
Bµi tËp 6:
Trong mét gi¸ s¸ch cã 25 ng¨n. Ta thÊy cã 1 ng¨n chøa 10 cuèn s¸ch,c¸c 
ng¨n kh¸c chøa sè s¸ch Ýt h¬n. Chøng minh r»ng Ýt nhÊt ba ng¨n s¸ch chøa 
cïng sè s¸ch nh­ nhau.
3. Sö dông nguyªn lÝ §irichlet vµo bµi to¸n h×nh häc
3.1 C¸c vÝ dô:
VÝ dô 1:
Cho mét h×nh vu«ng vµ 13 ®­êng th¼ng,mçi ®­êng th¼ng ®Òu chia h×nh 
vu«ng thµnh hai tø gi¸c cã tØ sè diÖn tÝch 2:3.Chøng minh r»ng trong 13 
®­êng th¼ng ®ã,cã Ýt nhÊt 4 ®­êng th¼ng cïng ®i qua mét ®iÓm
 Gi¶i
Gäi d lµ ®­êng th¼ng chia h×nh vu«ng ABCD thµnh 2 tø gi¸c cã tØ sè diÖn tÝch 
lµ 2:3. §­êng th¼ng d kh«ng thÓ c¾t hai c¹nh kÒ nhau cña h×nh vu«ng v× khi 
®ã kh«ng t¹o thµnh hai tø gi¸c.Gi¶ sö d c¾t hai c¹nh AB vµ CD t¹i M vµ N
khi ®ã nã c¾t ®­êng 
 A M B
trung b×nh EF cña h×nh v«ng t¹i I.
 2 (AM DN)a (MB NC)a I
Gi¶ sö SAMND = SBMNC => E F
 3 2 2
 2
=> EI = IF ( víi a lµ ®é dµi c¹nh h×nh vu«ng ABCD)D C
 3 N
Nh­ vËy mçi ®­êng th¼ng ®· cho chia ®­êng 
trung b×nh cña h×nh vu«ng theo tØ sè 2: 3.Ta cã 4 ®iÓm chia ®­êng trung b×nh 
cña h×nh vu«ng ABCD theo tØ sè 2:3. 
Cã 13 ®­êng th¼ng ,mçi ®­êng ®i qua mét trong 4 ®iÓm , suy ra theo nguyªn 
lÝ §irichlet cã Ýt nhÊt 4 ®­êng th¼ng cïng ®i qua mét ®iÓm. 
 Trang - 13 - mét trong hai h×nh trßn (C) ; (D). Suy ra 2n - 1 ®iÓm kh¸c M vµ N ph¶i n»m 
trong h×nh trßn (C) hoÆc (D)
Ta cã: 2n – 1= 2(n- 1) +1 ,theo nguyªn lÝ §irichlet cã mét h×nh trßn b¸n 
kÝnh b»ng 1 chøa Ýt nhÊt n- 1 + 1 = n ®iÓm.TÝnh c¶ t©m cña h×nh trßn nµy n÷a 
lµ n + 1 ®iÓm ®· cho.
VÝ dô 4:
Trong mét h×nh vu«ng c¹nh b»ng 1,ta lÊy 51 ®iÓm bÊt k× ph©n biÖt.Chøng 
minh r»ng cã Ýt nhÊt 3 trong sè 51 ®iÓm ®ã n»m trong mét h×nh trßn cã b¸n 
kÝnh nhá h¬n 1
 7
 Gi¶i
Ta chia h×nh vu«ng cã c¹nh b»ng 1 ®· cho thµnh 25 h×nh vu«ng nhá, nh­ vËy 
 1
mçi h×nh vu«ng nhá cã c¹nh b»ng . Cã 51 ®iÓm bá vµo 25 h×nh vu«ng nhá 
 5
nµy nªn theo nguyªn lÝ §irichlet cã Ýt nhÊt 3 ®iÓm n»m trong mét h×nh vu«ng 
nhá. B¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp h×nh vu«ng nhá b»ng 1 < 1 . VËy 3 
 5 2 7
®iÓm nãi trªn n»m trong h×nh trßn ngo¹i tiÕp h×nh vu«ng nhá cã b¸n kÝnh nhá 
h¬n 1
 7
VÝ dô 5:
Cho ®­êng trßn b¸n kÝnh b»ng 1m vµ mét sè ®iÓm n»m trªn ®­êng trßn.Hái 
ph¶i cã Ýt nhÊt bao nhiªu ®iÓm sao cho tån t¹i hai ®iÓm cã kho¶ng c¸ch nhá 
h¬n 1m.( §Ò thi to¸n Ch©u ¸ - Th¸i B×nh D­¬ng n¨m 2011)
 Gi¶i
- §­êng trßn t©m O b¸n kÝnh 1m. H×nh lôc gi¸c ®Òu néi tiÕp trong (O) cã 6 
®Ønh thuéc ®­êng trßn vµ ®é dµi c¸c c¹nh còng lµ 1m.
Do ®ã nÕu chØ cã 6 ®iÓm thuéc ®­êng trßn th× ta cã thÓ 
 Trang - 15 -