Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS

 Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS
 PHẦN I: MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài:
Môn Toán ở THCS có một vai trò rất quan trọng, một mặt nó phát triển hệ thống 
hóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở bậc 
tiểu học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái độ 
cần thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào các lĩnh 
vực lao động sản xuất đòi hỏi những hiểu biết nhất định về Toán học.
Chương trình Toán THCS khẳng định quá trình dạy học là quá trình giáo viên tổ 
chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng. Mặt khác 
muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho học 
sinh những kiến thức cơ bản, tìm tòi đủ cách giải bài toán để phát huy tính tích 
cực của học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ.
Trong vài năm trở lại đây, các trường Đại học, các trường PTTH chuyên thành 
phố... đang ra sức thi tuyển, chọn lọc học sinh và trong các đề thi vào lớp 10 
THPT, trong các đề thi tuyển học sinh giỏi lớp 9 các cấp xuất hiện các bài toán 
bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét khá phổ biến. Trong khi đó nội dung và thời 
lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dang.
Thế nhưng đa số học sinh khi gặp bài toán bậc hai, các em lại lúng túng không 
giải được do trong chương trình học chỉ có 2 tiết, về nhà các em không biết cách 
đọc thêm sách tham khảo nên không ứng dụng hệ thức Vi_ét để giải.
Vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các em 
học sinh, giúp các em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán bậc hai. 
Góp phần giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển. Bản thân tôi đã mạnh 
dạn làm đề tài “ ứng dụng hệ thức Vi-et trong thực hành giải toán cấp THCS” từ 
năm học 2014-2015 và đã được hội đồng khoa học ngành Giáo dục & đào tạo 
của thành phố công nhận đạt giải C. Trong năm học 2016-2017 tôi tiếp tục vận 
dụng đề tài của mình trong quá trình công tác giảng dạy tại đơn vị. Tuy nhiên 
đối với mỗi năm học và với mỗi đói tượng học sinh thì tôi cũng điều chỉnh cho 
phù hợp với đối tượng học sinh để đạt được hiệu quả cao nhất. Đó là lý do tôi 
tiếp tục chọn đề tài này: “Ứng dụng định lí Vi-ét trong thực hành giải Toán 
cấp THCS”.
Mục đích nghiên cứu:
Để nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải các bài toán bậc hai có ứng 
dụng hệ thức Vi-ét cho các em học sinh THCS. Từ đó các em có thể làm tốt các 
bài toán bậc hai trong các kỳ thi tuyển.
Kích thích, giúp các em biết cách tìm kiến thức nhiều hơn nữa, không chỉ bài 
toán bậc hai mà cả các dạng toán khác.
Nhiệm vụ nghiên cứu:
Bài tập toán học rất đa dạng và phong phú. Việc giải bài toán là một yêu cầu rất 
quan trọng đối với học sinh. Nhiệm vụ của giáo viên phải làm cho học sinh nhận 
dạng, hiểu được bài toán, từ đó nghiên cứu tìm ra cách giải.
 1/26 Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS
Câu 1: Em có muốn củng cố và nâng cao kiến thức không ?
Câu 2: Em thích các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét không?
Câu 3: Em có thích đọc nhiều sách tham khảo nội dung toán không ?
Câu 4: Em hãy đọc lại định lý Vi-ét. Hãy nhẩm nghiệm của các phương trình 
sau:
 a/ 4321x2 + 21x – 4300 = 0
 b/ x2 + 7x + 12 = 0
 2 
Câu 5: Cho phương trình: x – 3x + m = 0, với m là tham số, có hai nghiệm x 1 , 
 3 3
x2 (x1 > x2). Tính giá trị biểu thức P x1 x2 x1x2 theo m.
Phương pháp thực nghiệm sư phạm: 
 Sau khi sắp xếp thành 9 nhóm ứng dụng hệ thức Vi-ét, tôi đã thực hiện lên 
lớp hướng dẫn học sinh các ứng dụng trên. 
 3/26 Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS
Giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 hằng năm nhưng ít có học sinh 
tham gia thi học sinh giỏi cấp quận môn Toán.Nhà trường có tổ chức dạy phụ 
đạo cho học sinh yếu, kém. Nhờ vậy học sinh đã có nhiều tiến bộ. 
Những mặt chưa đạt:
Trường chưa tổ chức bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho học sinh các khối 6 ; 7 ; 
mà mới chỉ dừng ở bồi dưỡng nâng cao kiến thức cho học sinh khối 8; 9
Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu, để nâng cao kiến 
thức chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Toán còn rất hạn chế.
 Chương II: Giải pháp sư phạm cần thực hiện để giúp học sinh 
ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình bậc hai:
Trước hết, Giáo viên dạy tiết lý thuyết ở trong chương trình cho học sinh nắm 
được định lý Vi-ét:
 Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 
 b b 
 có 2 nghiệm : x ; x 
 1 2a 2 2a
 Suy ra : 
 b b 2b b
 x x 
 1 2 2a 2a 2a a
 2 2
 b b b2 b b 4ac 4ac c
 x x 
 1 2 4a2 4a2 4a2 4a2 a
Đặt S và P lần lượt là tổng và tích hai nghiệm của phương trình.
 b
 Vậy: S x x 
 1 2 a
 c
 P x .x 
 1 2 a
Giáo viên soạn ra các dạng bài toán bậc hai cần ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải. 
Trong đề tài này tôi trình bày 9 nhóm ứng dụng sau:
Cụ thể như sau:
Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn. Phân tích tam thức 
 2
ra thừa số: ax + bx + c = a( x-x1) ( x-x2) .
Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của phương trình bậc 
hai một ẩn số - Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
Ứng dụng 3: Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình. Tính giá trị của các 
biểu thức đối xứng giữa các nghiệm. Xác định dấu các nghiệm của phương trình 
bậc hai.
Ứng dụng 4: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1, x2 không phụ thuộc vào 
tham số hay tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiêm x1, x2 độc lập với tham số.
Ứng dụng 5: Tìm điều kiện của tham số để thoả mãn một hệ thức giữa hai 
nghiệm
Ứng dụng 6: Ứng dụng của định lý Vi-ét trong giải toán chứng minh.
Ứng dụng 7: Áp dụng định lý Vi-ét giải phương trình và hệ phương trình.
Ứng dụng 8: Định lý Vi-ét với bài toán cực trị.
Ứng dụng 9: Định lí vi –ét vận dụng vào đồ thị
 5/26 Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS
 5 5
Theo hệ thức Vi-ét : x1. x2 = 5 suy ra: x2 = 
 x1 2
 2 
b/ Ta thay x1 = 5 vào phương trình x + 5x + q = 0 , ta được:
 25+ 25 + q = 0 q 50
 50 50
Theo hệ thức Vi-ét: x1. x2 = -50 suy ra: x2 = 10
 x1 5
c/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x 1 - x2 =11 và theo hệ 
thức Vi-ét: x1+ x2 = 7 ta có hệ phương trình sau: 
 x1 x2 11 x1 9
 x1 x2 7 x2 2
Suy ra: q = x1. x2 = 9.(-2)= -18 
d/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x 1 = 2x2 và theo hệ 
thức Vi-ét: x1. x2 = 50 ta có hệ phương trình sau: 
 x1 2x2 2 2 2 x2 5
 2x2 50 x2 5 
 x1.x2 50 x2 5
 Với x2 5 thì x1 10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = 5 + 10 = 15 
Với x2 5 thì x1 10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = (- 5) + (-10) = -15 
Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của phương trình 
bậc hai một ẩn số - Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1, x2
Ví dụ: 
 Cho x1= 3; x2= 2 . Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
Giải: 
 S x1 x2 5
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
 P x1.x2 6
Vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có dạng: 
 x2 – Sx + P = 0 x2 – 5x + 6 = 0
Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm:
 a/ x1= 8 và x2= - 3
b/ x1= 3a và x2= a
c/ x1= 36 và x2= - 104
d/ x1= 1+2 và x2= 1 - 2
2/ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai 
nghiệm của một phương trìnhcho trước
Ví dụ: 
 2 
 Cho phương trình x – 3x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 . Không 
giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn: 
 1 1
 y1 x2 và y2 x1 
 x1 x2
Giải: 
 7/26 Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS
 b/ S = -3 và P = 6
 c/ S = 9 và P = 20
 d/ S = 2x và P = x2 – y2
Bài tập nâng cao: 
 Tìm hai số a, b biết:
 a/ a + b = 9 và a2 + b2 = 41 
 b/ a - b = 5 và a.b = 36
 c/ a2 + b2 =61 và a.b = 30
 Hướng dẫn: 
 a/ Theo đề bài ta dã biết tổng của hai số a và b, vậy để áp dụng hệ thức 
Vi-ét thì cần tìm tích của hai số a và b.
 2 2
 2 81 a b 
 Từ a b 9 a b 81 a2 2ab b2 81 ab 20
 2
 2 x1 4
 Suy ra: a, b là nghiệm của phương trình có dạng: x 9x 20 0 
 x2 5
 Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
 Nếu a = 5 thì b = 4
 b/ Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng: a + b
Cách 1: Đặt c = -b ta có: a + c = 5 và a.c = -36
 2 x1 4
 Suy ra: a, c là nghiệm của phương trình có dạng: x 5x 36 0 
 x2 9
 Do đó: Nếu a = - 4 thì c = 9 nên b = -9
 Nếu a = 9 thì c = - 4 nên b = 4
Cách 2: Từ a b 2 a b 2 4ab a b 2 a b 2 4ab 169
 2 2 a b 13
 a b 13 
 a b 13
- Với a + b = -13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 
 2 x1 4
 x 13x 36 0 
 x2 9
 Vậy a = - 4 thì b = - 9
- Với a + b = 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 
 2 x1 4
 x 13x 36 0 
 x2 9
 Vậy a = 4 thì b = 9
 c/ Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
 2 2 2 2 2 2 a b 11
 Từ a b 61 a b a b 2ab 61 2.30 121 11 
 a b 11
- Nếu a + b = -11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : 
 2 x1 5
 x 11x 30 0 
 x2 6
 Vậy a = - 5 thì b = - 6 hay a = - 6 thì b = - 5
 9/26 Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS
 2 2
a/ x1 x2
 1 1
b/ 
 x1 x2
Giải: 
 S x1 x2 8
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: 
 P x1.x2 15
 2 2 2 2 2 2
a/ x1 x2 x1 2x1x2 x2 2x1x2 x1 x2 2x1x2 8 2.15 34
 1 1 x x 8
b/ 1 2 
 x1 x2 x1x2 18
Bài tập áp dụng: 
1/ Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
 2
 2 2
a/ x1 x2 (Đáp án: 46)
 x x 34
b/ 1 2 (Đáp án: )
 x2 x1 15
2/ Cho phương trình: 8x2 - 72x + 64 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
 2 2
a/ x1 x2 (Đáp án: 65)
 1 1 9
b/ (Đáp án: )
 x1 x2 8
3/ Cho phương trình: x2 - 14x + 29 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
 2 2
a/ x1 x2 (Đáp án: 138)
 1 1 14
b/ (Đáp án: )
 x1 x2 29
4/ Cho phương trình: 2x2 - 3x + 1 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
 2 2
a/ x1 x2 (Đáp án: 1)
 x x 5
b/ 1 2 (Đáp án: )
 x2 1 x1 1 6
 1 1
c/ (Đáp án: 3)
 x1 x2
 1 x 1 x
d/ 1 2 (Đáp án: 1)
 x1 x2
 2 
5/ Cho phương trình: x - 43 x + 8 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 . Không giải phương 
trình, hãy tính:
 2 2
 6x1 10x1x2 6x2
 Q 3 3
 5x1x2 5x1 x2
 2
 2
 6x 2 10x x 6x 2 6 x x 2x x 6. 4 3 2.8 17
(HD: Q 1 1 2 2 1 2 1 2 )
 5x x 3 5x 3 x 2 2 80
 1 2 1 2 5x1x2 x1 x2 2x1x2 5.8 4 3 2.8
 2 
6/ Cho phương trình: x - 3x + m = 0, với m là tham số, có 2 nghiệm x1, x2 (x1> 
 3 3
x2 ). Tính giá trị biểu thức : A x1 x2 x1x2 theo m.
 11/26