SKKN Hướng dẫn học sinh áp dụng hệ thức Vi-ét để giải một số dạng toán trong đề thi vào Lớp 10 THPT

 1
 A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 Trong vài năm trở lại đây, trong các đề thi vào lớp 10 THPT nói chung, đối 
với thành phố Hà Nội nói riêng thường xuất hiện các bài toán phương trình bậc 
hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét. Khi gặp bài toán này các em thường lúng túng 
không giải được do thời lượng trong chương trình được giảng dạy rất ít, bài tập 
trong sách giáo khoa và sách bài tập chưa đa dạng. Nếu các em không biết cách 
đọc thêm sách tham khảo thì hầu như không ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải được.
 Qua nhiều năm giảng dạy lớp 9 và ôn thi vào lớp 10 cho học sinh tôi đã 
thấy được những khó khăn của học sinh khi giải dạng toán này. Để nâng cao 
chất lượng học tập cho các em học sinh, giúp các em biết vận dụng hệ thức Vi-ét 
để giải các bài toán bậc hai và tự tin giải được câu hỏi trong đề thi tuyển sinh 
vào lớp 10 tôi đã đi sâu nghiên cứu sách ôn và các đề thi vào lớp 10 của thành 
phố Hà Nội trong một số năm gần đây, phân loại các bài toán có vận dụng hệ 
thức Vi - ét. Đó là lý do tôi chọn đề tài: “ Hướng dẫn học sinh áp dụng hệ thức 
Vi – ét để giải một số dạng toán trong đề thi vào lớp 10 THPT ”.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Nhằm mục đích bổ sung, nâng cao kiến thức giải các bài toán phương trình bậc 
hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét cho các em học sinh THCS. Từ đó các em có thể 
làm tốt các bài toán phương trình bậc hai, các bài toán về tương giao giữa đồ thị 
hàm số trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT.
- Kích thích, giúp các em biết cách tìm kiến thức nhiều hơn nữa, không chỉ 
những bài toán phương trình bậc hai áp dụng hệ thức Viet để giải mà cả các 
dạng toán khác.
- Đề tài có thể giúp giáo viên và học sinh có cái nhìn tổng thể về các vấn đề liên 
quan đến hệ thức Vi-ét, rút ra được những kinh nghiệm trong giảng dạy và học 
tập, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. Từ đó có phương pháp dạy - học cho học 
sinh có hiệu quả, giúp học sinh giảm bớt những khó khăn lúng túng khi học nội 
dung này.
- Thực hiện đề tài để thấy được những thuận lợi và khó khăn khi dạy học nội 
dung hệ thức Vi-ét. Qua đó định hướng nâng cao chất lượng dạy - học môn Toán. 3
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN
 Sau khi dạy xong hệ thức Vi-ét tôi cho học sinh làm một bài kiểm tra để 
đánh giá mức độ vận dụng kiến thức và có kết quả như sau:
 Loại Trước khi thực hiện đề tài
 SL Tỉ lệ %
 Giỏi 3 8,6
 Khá 5 14,3
 Trung bình 13 37
 Yếu 9 25,8
 Kém 5 14,3
 Qua bài kiểm tra tôi thấy đa số các em chỉ vận dụng hệ thức Vi-ét để 
nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai còn các dạng toán khác hầu như không 
làm được.
 Nguyên nhân do theo chương trình, học sinh được học hệ thức Vi-ét 
nhưng không có nhiều tiết học đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét 
nên các em nắm và vận dụng hệ thức chưa linh hoạt. Trong khi đó trong hầu hết 
đề thi vào lớp 10 của thành phố Hà Nội trong những năm gần đây đều có bài 
toán về phương trình bậc hai có ứng dụng Vi-ét.
 Qua nhiều năm trực tiếp đứng lớp giảng dạy môn Toán 9 và ôn thi vào lớp 
10 THPT cho học sinh nên tôi thấy nếu không hướng dẫn học sinh chi tiết thì 
các em khó có thể làm được câu III trong đề thi vào 10. Vì vậy, tôi thấy được sự 
cần thiết phải thực hiện đề tài: “ Hướng dẫn học sinh áp dụng hệ thức Vi – ét 
để giải một số dạng toán trong đề thi vào lớp 10 THPT ”.
III. NỘI DUNG.
1. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ. 
1.1- Công thức nghiệm của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) 
 Công thức nghiệm tổng quát Công thức nghiệm thu gọn
∆ = 2 ― 4 = 2 ′ , ∆′ = ′2 ― 
+) ∆ > 0: Phương trình có hai nghiệm +) ∆′ > 0: Phương trình có hai nghiệm 
 ∆ ∆
phân biệt: = ; = phân biệt: = ′ ∆′ ; = ′ ∆′
 1 2 2 2 1 2 
+) ∆ = 0: Phương trình có nghiệm +) ∆′ = 0: Phương trình có nghiệm 
kép: = = kép: ′
 1 2 2 1 = 2 = 
+) ∆ < 0: Phương trình vô nghiệm. +) ∆′ < 0: Phương trình vô nghiệm. 5
 a 0
 0
 S 0
 P 0
 a 0
* Hai nghiệm trái dấu ( x1 0 x2 ) 
 P 0
 có hai nghiệm trái dấu và nghiệm  có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm 
dương có giá trị lớn hơn giá trị tuyệt có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm 
đối của nghiệm âm: dương:
 a 0 a 0
 0 0
 S 0 S 0
 P 0 P 0
* Có một nghiệm bằng 0, nghiệm còn lại khác 0
 có một nghiệm bằng 0, nghiệm còn  có một nghiệm bằng 0, nghiệm còn 
lại âm x1 x2 0 : lại dương 0 x1 x2 :
 a 0 a 0
 S 0 S 0
 P 0 P 0
* Có đúng một nghiệm
 có một nghiệm kép dương:  có một nghiệm kép âm:
 a 0 a 0
 0 0
 b b
 0 0
 2a 2a
2.1.2. Ví dụ minh họa:
Bài 1: Cho phương trình: 2 ―2 + 2 ―4 = 0. 
 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt.
 Bài giải
∆′ = m2 ― m2 + 4 = 4 > 0 với ∀m.
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. 7
Trường hợp 2: Với m - 1 0 m 1. Khi đó, để phương trình có một nghiệm đ
iều kiện là: ' 0 m 2 2 m 1 m 1 0 6m + 3 = 0 6m = -3
 1
 m 
 2
 1
Vậy với m=1 hoặc m thì phương trình có một nghiệm.
 2
b. Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu điều kiện là:
 6m 3 0
 ' 0 1
 m 1 m 1
 P 0 0 2
 m 1
 1
Vậy, với m 1 phương trình có hai nghiệm cùng dấu.
 2
Bài 4: Cho phương trình mx2 2 3 m x m 4 0 . Xác định m để phương trình: 
a. Cã hai nghiệm đối nhau. 
b. Có đúng một nghiệm âm.
 Bµi giải
a. Phương trình có hai nghiệm đối nhau, điều kiện là:
 m 0
 m 0 
 m 4
 P 0 0 0 m 4
 m
 S 0 
 2(3 m)
 0 m 3
 m
Vậy, với m = 3 phương trình có hai nghiệm trái dấu.
b. Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Với m = 0, Khi đó phương trình có dạng:
 2
- 6x – 4 = 0 x = (thỏa mãn).
 3
Trường hợp 2: Với m 0 . Khi đó, để phương trình có đúng một nghiệm âm, điều 
kiện là:
*) Có nghiệm kép âm x1 x2 0 , điều kiện là:
 ' 9
 0 2m 9 0 m 
 2 9
 ' m 
 b 3 m m 0
 0 0 2
 a m 
 m 3
**) Phương trình có hai nghiệm trái dấu x1 0 x2 , điều kiện là:
 m 4
P < 0 0 0 m 4
 m 9
+ Biểu thức giữa x1, x2 gọi là đối xứng nếu ta thay x 1 bởi x2 và x2 bởi x1 thì biểu 
thức không thay đổi.
 + Một số biểu thức đối xứng thường gặp có thể biểu diễn qua S và P (tổng và 
tích các nghiệm số):
 2 2 2 2
 1) x1 x2 x1 x2 2x1x2 S 2P
 3 3 3 3
 2) x1 x2 x1 x2 3x1x2 x1 x2 S 3PS 
 4 4 4 2 2 4 2 2
 2 2 2 2
 x1 x 2 x1 2 x1 x 2 x 2 2 x1 x 2
 3) = x1 x2 2 x1x2 
 2 2
 = x x 2 2x x 2 x x 2 = S 2 2P 2P2
 1 2 1 2 1 2 
 1 1 x x S
 4) 1 2 
 x1 x2 x1x2 P
 2
 x x x 2 x 2 x x 2x x S 2 2P
 5) 1 2 1 2 1 2 1 2 
 x2 x1 x1x2 x1x2 P
 2
 1 1 x2 x2 x x 2x x S 2 2P
 6) 1 2 1 2 1 2 
 x2 x2 x2 x2 2 P2
 1 2 1 2 x1x2 
 3
 1 1 x3 x3 x x 3x x x x S 3 3PS
 7) 1 2 1 2 1 2 1 2 =
 x3 x3 x3 x3 3 P3
 1 2 1 2 x1x2 
 + Ta cũng có thể biểu diễn biểu thức không đối xứng qua S và P. Chẳng hạn 
như:
 2 2 2 2
 a) x1 x2 để tính được x1 x2 ta cần tính x1 x2 x1 x2 2x1x2 = x1 x2 4x1x2
 2 2
 b) x1 x2 x1 x2 x1 x2 đến đây áp dụng công thức a) để làm tiếp.
 3 3 2 2
 c) x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1x2 
 2
 = x x x x x x đến đây áp dụng công thức a) để làm tiếp.
 1 2 1 2 1 2 
 2
 d) x4 x4 x2 x2 x2 x2 = x x x x x x 2x x đến đây áp dụng 
 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 
công thức a) để làm tiếp...
 * Ví dụ minh họa 
Bài 1: Cho phương trình x2 2(m 1)x m2 2 0 ( x là ẩn số ) (1)
Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn 
 2 2
 x1 x2 10
. ( Đề thi vào lớp 10, thành phố Hà Nội năm 2009-2010)
 Bài giải 11
 x1 , x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có độ dài cạnh huyền 
 x1 m 2 0 m 2
bằng 5 x2 3 0
 2 2 2
 x1 x2 5 (*)
 2
Giải phương trình (*) x1 x2 2x1x2 25
 x 1 x2 m 5 2
 Thay vào phương trình ta có: m 5 2 3m 6 25
 x1x2 3m 6
 2 m 2
 m 4m 12 0 
 m 6
m = - 6 không thỏa mãn vậy với m = 2 thì x1 , x2 là độ dài hai cạnh góc vuông 
của tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5
Bài 3: Cho phương trình: x2 + mx - 1 = 0 (3)
 Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn
 2 2
 1 x2 + 2 x1 – x1x2 = 3
 ( Đề thi vào lớp 10, thành phố Hà Nội năm 2010 - 2011)
 Bài giải
Phương trình (3) có: = m2 + 4 > 0 với ∀ 
Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2
 x1 x2 m
Theo định lí Vi-ét ta có: 
 x1  x2 1
 2 2
Ta có 1 x2 + 2 x1 – x1x2 = x1x2 ( x1 + x2 ) - x1x2
Suy ra: m +1 = 3 m = 2 
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Bài 4: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (4 )
Tìm các giái trị của m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn :
 2 2
 A = 10 x1x2 + x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
 Bài giải
 m 3
 , 2 
 Phương trình (3 ) có nghiệm = m - 9 ≥ 0 (*)
 m 3
 Khi đó phương trình có hai nghiệm x1, x2 theo định lí Vi-ét ta có:
 x1 x2 2 m 1 2m 2
 x1  x2 2m 10
 2 2 2 2 
 Từ A = 10 x1x2 + x1 + x2 = (x1 + x2 ) + 8 x1x2 = (2m + 2 ) + 8(2m +10)
 = 4m2 + 24m + 84 = ( 2m + 6)2 + 48 ≥ 48