SKKN Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi Lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh

 Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh 
 PHẦN I. MỞ ĐẦU
 I. Đặt vấn đề
 1. Lí do lí luận
 Albert Einstein đã nói: “Toán học thuần túy, theo cách riêng của nó, là thi ca của 
tư duy logic”. Do vậy, có rất nhiều những thắc mắc xoay quanh việc học nhiều toán 
liệu có phi thực tế trong khi đời sống không cần suy nghĩ quá nhiều đến những con số? 
Tuy nhiên, thực tế chứng minh rằng, mọi kiến thức liên quan đến toán học, đều có tác 
dụng chung là làm cho bộ não của con người tư duy logic hơn, khoa học hơn và sáng 
tạo hơn, nó giúp cho người học có khả năng suy nghĩ trừu tượng và trong một chừng 
mực nhất định nào đó nó làm cho chúng ta mạnh mẽ hơn trong mọi quyết định. 
 Chính vì điều này, bản thân tôi là một giáo viên vốn luôn tâm đắc trong việc định 
hướng các em học tốt môn Toán, luôn tìm tòi đổi mới để giúp các em ngày càng hoàn 
thiện hơn các kiến thức toán học. Mặc dù chương trình sách giáo khoa hiện hành đã 
được chọn lọc những kiến thức rất cơ bản, phù hợp cho mọi đối tượng. Tuy nhiên, 
không phải bất cứ dạng toán nào các em cũng có thể nắm bắt được, trong số đó có 
dạng toán phương trình vô tỉ, một dạng toán phổ biến trong các đề thi học sinh giỏi 
văn hóa các cấp, đề thi vào lớp 10 và thi giải toán trên máy tính cầm tay Casio. 
 2. Lí do thực tiễn
 Để làm tốt việc bồi dưỡng học sinh học Toán, tôi nhận thấy chỉ cung cấp cho các 
em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm nhiều bài tập khó mà 
giáo viên phân loại cấp độ từ dễ đến khó là chưa đủ, mà chúng ta phải biết phân chia 
theo từng kiểu loại bài tập và định hướng phương pháp giải cho từng dạng, đồng thời 
rèn luyện cho học sinh có thói quen suy nghĩ tìm tòi lời giải của một bài toán trên cơ 
sở các kiến thức đã học. 
 Qua nhiều năm thực tế giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi khối 9, tôi nhận thấy 
học sinh còn lúng túng rất nhiều khi gặp dạng phương trình vô tỉ và thường có những 
sai sót khi giải dạng bài tập này, học sinh còn vướng mắc về phương pháp giải, quá 
trình giải thiếu logic và chưa chặt chẽ, chưa đủ điều kiện, chưa xét hết các trường hợp 
xảy ra. Lí do là học sinh chưa nắm vững các kiến thức về phương trình có chứa biến 
dưới dấu căn hay gọi là phương trình vô tỉ. Nên khi gặp bài toán giải phương trình vô 
tỉ, đa số học sinh chưa phân biệt và chưa nắm được các phương pháp giải đối với từng 
dạng bài tập, có nhiều bài toán đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến 
thức và kĩ năng phân tích biến đổi để đưa phương trình từ dạng phức tạp về dạng đơn 
giản. 
 Do đó người giáo viên cần phải biết sắp xếp các dạng toán từ dễ đến khó, phân 
loại được các dạng bài tập và định hướng phương pháp giải cho từng dạng để các em 
có thể vận dụng linh hoạt trong từng tình huống cụ thể, giúp học sinh hiểu sâu sắc bản 
chất của từng dạng toán và giải được các dạng bài toán một cách thành thạo. Từ đó rèn 
luyện cho học sinh kĩ năng giải toán và tư duy sáng tạo.
 Với những lý do trên, tôi chọn đề tài: “Một số giải pháp về giải phương trình vô 
tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh” với mong muốn được 
chia sẻ một vài kinh nghiệm của mình trong công tác giảng dạy cũng như bồi dưỡng học 
sinh giỏi để các đồng nghiệp tham khảo, rất mong nhận được sự góp ý chân thành của các 
đồng chí để đề tài được phát huy hiệu quả, hoàn thiện hơn.
 Trang 1 Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh 
 Qua bảng thống kê trên tôi suy nghĩ tìm cách để học sinh nắm vững và giải 
thành thạo các bài toán về phương trình vô tỉ thì giáo viên nên phân loại theo dạng bài 
tập từ dễ đến khó, mỗi loại bài tập phân theo từng dạng khác nhau, qua mỗi dạng cần 
có ví dụ minh chứng và xây dựng phương pháp giải chung cho từng dạng. Với những 
ý tưởng đó tôi đã thể hiện trong đề tài nghiên cứu “Một số giải pháp về giải phương 
trình vô tỉ giành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh”. Sau khi đưa ra 
tập thể tổ chuyên môn thảo luận và áp dụng vào thực tiễn tôi nhận thấy học sinh hứng 
thú, chủ động hơn trong học tập và khi gặp dạng toán phương trình vô tỉ thì học sinh 
không chán nản mà đam mê phân tích nhận dạng tìm cách giải bài toán, từ đó ngày 
càng rèn luyện được cho học sinh kĩ năng giải toán có khoa học, lập luận logic và chặt 
chẽ. 
 III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
 Giải pháp 1: Phân tích cho học sinh hiểu về các kiến thức cơ bản cần nắm vững.
 Giải pháp 2: Hướng dẫn cho học sinh hiểu các dạng bài tập sử dụng cách giải 
phương trình vô tỉ bằng phương pháp nâng lên lũy thừa
 Giải pháp 3: Hướng dẫn cho học sinh hiểu các dạng bài tập giải phương trình 
vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
 Vận dụng các giải pháp trên, tôi tiến hành cụ thể các bước như sau:
 1. Giải pháp 1. Phân tích cho học sinh hiểu về các kiến thức cơ bản cần nắm 
vững.
 Các kiến thức cơ bản tổng hợp thành bảng sau, yêu cầu học sinh cần nắm vững, 
cụ thể:
 A (A 0) A A B
 (B 0) 
 B B
 A2 A
 C C A  B 
 AB A B(A 0;B 0) (A 0;A B2 )
 A B A B2
 A A
 (A ;B 0)
 B B C C A  B 
 (A 0;B 0;A B)
 A B A B
 A2B A B (B 0)
 3 A(A R)
 A B A2B(A 0;B 0)
 3
 3 A A
 A B A2B(A 0;B 0)
 3 AB 3 A.3 B
 A AB
 (AB 0;B 0)
 B B A 3 A
 3 (B 0)
 B 3 B
 Các kiến thức về giá trị tuyệt đối, hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân 
tử, chia đa thức cho đa thức, giải phương trình, bất trương bậc nhất một ẩn, bất đẳng 
thức Cauchy...
 Trang 3 Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh 
 x 12 0 x 12
 (x 12)(x 6) 0 
 x 6 0 x 6
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = 6;12
 Giáo viên? Ngoài cách giải trên còn cách giải nào khác không? (Bỏ dấu căn bậc 
hai theo kiến thức A2 A rồi giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối đa học)
 2 x 3 9 x 12
 Cách 2. Ta có: x 3 9 x 3 9 
 x 3 9 x 6
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = 6;12
 Nhận xét: Giáo viên cho học sinh nhận xét về hai cách giải trên? Khi nào thì 
phương trình dạng f (x) m giải được theo cách 2? Từ đó chọn cách giải phù hợp cho 
từng bài toán. (Cách 2 giải đơn giản hơn cách 1, để bài toán giải được theo cách 2 thì 
biểu thức dưới dấu căn viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức nếu không 
thì giải theo cách 1)
 Ví dụ 3: Giải phương trình 4x2 4x 1 6 0 
Phân tích: Phương trình đã cho có thể đưa về dạng của phương trình ví dụ 2 trang 5 
được không? (Học sinh nêu cách biến đổi phương trình đã cho về dạng 2x 1 2 6 )
 Giải
Ta có: 4x2 4x 1 6 0 2x 1 2 6 2x 1 6
 7
 x 
 2x 1 6 2x 7 2
 2x 1 6 2x 5 5
 x 
 2
 5 7 
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = ; 
 2 2
 Ví dụ 4: 3 x2 4x 4 11 10 
Phân tích: Đặt câu hỏi gợi mở như ví dụ 3 (Học sinh biến đổi phương trình đã cho về 
dạng x 2 2 7 )
 Giải 
Ta có: 3 x2 4x 4 11 10 3 x 2 2 21 x 2 2 7
 x 2 7 x 5
 x 2 7 
 x 2 7 x 9
 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {-9; 5}
 d) Nhận xét: Khi học xong dạng này thì tất cả các bài dạng này học sinh đều 
giải được, đây là dạng cơ bản để học sinh làm nền cho các dạng tiếp theo 
 Trang 5 Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh 
 Nhận xét: Giáo viên cho học sinh nhận xét về hai cách giải trên? Khi nào thì 
giải được theo cách 2? Từ đó chọn cách giải phù hợp cho từng bài toán. (Cách 2 giải 
đơn giản hơn cách 1, để bài toán giải được theo cách 2 thì biểu thức dưới dấu căn viếc 
được dưới dạng bình phương của một biểu thức nếu không thì giải theo cách 1)
 Ví dụ 2. Giải phương trình sau: 4x2 20x 25 3 3x 
 Phân tích: Phân tích cách giải như ví dụ 1. 
 Giải
 Điều kiện: 3 - 3x 0 -3x -3 x 1 
 Ta có: 4x2 20x 25 3 3x 2x 5 2 3 3x 2x 5 3 3x
 8
 2x 5 3 3x 5x 8 x 
 5
 2x 5 3 3x x 2
 x 2
 Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm của phương trình là: S = {-2}
 Ví dụ 3. Giải phương trình: x2 6x 29 2x + 8
 Phân tích: Phương trình đã cho có đưa về phương trình giá trị tuyệt đối không? 
Vì sao (Phương trình đã cho không đưa về phương trình giá trị tuyệt đối được vì biểu 
thức dưới dấu căn không đưa về dạng bình phương của một biểu thức). Nên giải theo 
cách bình phương hai vế.
 Giải 
 Điều kiện: 2x + 8 0 2x - 8 x - 4
 2
Ta có: x2 6x 29 2x + 8 x2 6x 29 2x + 8 2
 x2 6x 29 4x2 32x 64 3x2 +38x 35 0 3x2 +3x + 35x 35 0
 3x2 +3x + 35x 35 0 3x x 1 + 35 x 1 0 x 1 3x 35 0
 x 1
 x 1 0 
 35
 3x 35 0 x 
 3
 Kết luận: So với điều kiện, nghiệm của phương trình là: x 1
 Ví dụ 4. Giải phương trình sau: 10x2 20x 10 x 1 5x - 3
 Phân tích: Phương trình đã cho biến đổi đưa về dạng ví dụ 3 không? (Phương 
trình đã cho biến đổi đưa về dạng ví dụ 3 bằng cách chuyển x + 1 sang vế phải thu gọn 
xong tìm điều kiện. Nên cách giải như sau:
 Giải
Ta có: 10x2 20x 10 x 1 5x - 3 10x2 20x 10 4x - 4 (*)
Điều kiện: 4x - 4 0 4x 4 x 1
 Trang 7 Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh 
 Ví dụ 2. Giải phương trình sau: x2 - x 6 x 3 
 Giải
 Điều kiện: * x2 x 6 0 x2 3x 2x 6 0 x2 3x 2x 6 0
 x x 3 2 x 3 0 x 3 x 2 0
 x 3 0 x 3
 x 2 0 x 2 x 3
 x 3 0 x 3 x 2
 x 2 0 x 2
* x 3 0 x 3
Vậy điều kiện bài toán là x 3
 2 2
Ta có: x2 - x 6 x 3 x2 - x 6 x 3 x2 x 6 x 3
 x2 2x 3 0 x2 3x x 3 0 x2 3x x 3 0
 x 1 0 x 1
 x x 3 x 3 0 x 1 x 3 0 
 x 3 0 x 3
 Kết luận: So sánh với điều kiên bài toán, nghiệm của phương trình x = 3
 Ví dụ 3. Giải phương trình sau: x2 4x 4 4x2 12x 9
 Giải 
 Điều kiện: * x 2 4x 4 x 2 2 0(x R )
 * 4x 2 12x 9 2x 3 2 0(x R )
Vậy điều kiện bài toán x R
 Cách 1: Giải như ví dụ 2
Giáo viên? ví dụ trên ngoài cách giải đó còn có cánh giải nào khác không?
 Cách 2
Ta có: x2 4x 4 4x2 12x 9 x 2 2 2x-3 2
 x 1
 x 2 2x 3 
 x 1 
 x 2 2x 3 5
 x 2 2x 3 3x 5 x 
 3
 5
 Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm của phương trình là: S = {1; } 
 3
 d) Nhận xét: Giáo viên cho học sinh nhận xét về hai cách giải trên? Khi nào thì 
phương trình giải được theo cách 2? Từ đó chọn cách giải phù hợp cho từng bài toán. 
(Cách 2 giải đơn giản hơn cách 1, để bài toán giải được theo cách 2 thì biểu thức dưới 
 Trang 9