SKKN Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Lớp 8, 9 tại trường THCS Lương Thế Vinh

 “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9 
 tại trường THCS Lương Thế Vinh”
 Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU
 I. ĐẶT VẤN ĐỀ.
 Lí do lý luận: Như chúng ta đã biết, môn Toán học là một môn khoa học tự 
nhiên không thể thiếu trong đời sống mọi mặt của con người. Với một xã hội mà 
khoa học kỹ thuật ngày càng phát triển như hiện nay thì môn toán lại càng đóng vai 
trò quan trọng trong việc nghiên cứu khoa học nói riêng. Để thực hiện được nhiệm 
vụ là môn khoa học cơ bản, nền tảng cho nhiều môn khoa học khác phát triển thì 
phương pháp dạy học môn Toán ở trường trung học cơ sở phải luôn gắn liền việc 
dạy học kiến thức, kĩ năng với việc giáo dục, rèn luyện con người, song hành việc 
phát triển trí tuệ của học sinh và kĩ năng vận dụng các kiến thức đã học vào thực tế. 
Như vậy, người giáo viên sẽ đóng một vị trí quan trọng trong việc hướng dẫn, tổ 
chức điều khiển học sinh tiếp cận, lĩnh hội kho tàng tri thức của nhân loại. Khi đó 
thông qua hoạt động dạy và học nói chung, qua việc học toán nói riêng, đặc biệt là 
qua hoạt động giải bài tập toán giúp học sinh rèn luyện việc ghi nhớ - lưu giữ và tái 
hiện kiến thức. Nghĩa là học sinh hồi tưởng, nhớ lại, biết lựa chọn, kết hợp và vận 
dụng các kiến thức đã học một cách phù hợp trong việc giải quyết các bài toán. Qua 
đó rèn trí thông minh, sự sáng tạo, tính tích cực nhằm phát triển năng lực trí tuệ 
toàn diện cho học sinh.
 Lí do thực tiễn: Qua thực tế giảng dạy môn Toán THCS nói chung và môn 
Toán lớp 8, 9 nói riêng, môn Toán luôn tạo ra những những điều thú vị đầy bí ẩn 
riêng biệt. Để am hiểu cặn kẽ những điều này, đòi hỏi người học phải luôn có sự 
đam mê khám phá, tìm hiểu. Những kiến thức ở mức độ căn bản của bộ môn 
thường yêu cầu tất cả người học phải nắm được. Những kiến thức mở rộng, nâng 
cao, luôn tạo ra nhiều cơ hội mới cho tất cả những ai có lòng say mê bộ môn, có 
tính kiên trì, nghị lực, có bản lĩnh vượt khó tìm hiểu và chinh phục. Đối với học 
sinh THCS bất đẳng thức nói chung là một mảng khó trong chương trình toán. 
Phần lớn học sinh chưa nắm được phương pháp giải và trình bày bài toán bất đẳng 
thức. Nguyên nhân cơ bản của những khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải bài 
tập bất đẳng thức chính là những lập luận (suy luận) từ những kiến thức lí thuyết 
trừu tượng đến những điều kiện cụ thể chuyển thành lời giải của bài toán. Trong đó 
điều cơ bản của việc dạy cách giải bài tập toán là dạy cho học sinh tự giải những 
bài tập quen thuộc, cơ bản để từ đó học sinh liên tưởng, tìm tòi, sáng tạo vào trong 
các bài tập liên quan hoặc cùng dạng. Bồi dưỡng, phát triển trí tuệ và năng lực hoạt 
động sáng tạo của học sinh là nhiệm vụ trọng tâm của mỗi giáo viên và các trường 
học. Trong công tác bồi dưỡng hoc sinh giỏi việc chọn lọc học sinh giỏi trong đội 
tuyển là khâu hết sức quan trọng và việc chọn lựa các chuyên đề bồi là việc làm 
quan trọng nhất. Chính vì điều này, tôi đã viết sáng kiến kinh nghiệm tìm hiểu 
“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh 
giỏi lớp 8, 9 tại trường THCS Lương Thế Vinh” trong chương trình Toán lớp 8, 9 
Giáo viên: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 1 - “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9 
 tại trường THCS Lương Thế Vinh”
 Quy ước: Khi nói về một bất đẳng thức mà không nói gì thêm thì ta hiểu đó 
là một bất đẳng thức đúng.
 Tính chất cơ bản của bất đẳng thức
 Tính chất giao hoán: Cho các số thực A và B bất kì, ta luôn có 
 A B B A
 Tính chất bắc cầu: Cho các số thực A, B, C bất kì, ta luôn có 
 A B, B C A C
 Tính chất liên hệ với phép cộng: Cho các số thực A, B và M bất kì, ta luôn 
có A B A M B M
 Cho các số thực A, B, C, D bất kì , ta luôn có
 A B; C D A C B D
 A B; C D A D B C
 Tính chất liên hệ với phép nhân: Cho các số thực A, B bất kì, ta luôn có
 A B; M 0 A.M B.M
 A B; M 0 A.M B.M
 Cho các số thực A, B, C, D bất kì , ta luôn có
 0 A B
 0 A.C B.D
 0 C D
 Tính chất liên hệ với tính nghịch đảo: Cho các số thực dương A, B bất kì, ta 
 1 1
luôn có A B 
 A B
 Để giải quyết các bài tập này học sinh phải nắm chắc hệ thống lý thuyết cơ bản 
bất đẳng thức, biết vận dụng kiến thức một cách linh hoạt, hợp lí, qua đó học sinh 
có khả năng phát triển tư duy, đặc biệt là tư duy sáng tạo trong giải toán.
 Kiến thức về bất đẳng thức không chỉ được ứng dụng trong thi học sinh giỏi các 
cấp, kì thi đại học mà ngay những bài toán trong các đề kiểm tra một tiết, học kì 
chúng ta thường xuyên gặp. Vì vậy muốn nắm chắc được hệ thống lý thuyết cơ bản 
bất đẳng thức học sinh có thể vận dụng để giải quyết rất nhiều bài tập trong chương 
trình THCS.
 Qua tham khảo một số tài liệu tôi đã cố gắng hệ thống lại một số dạng bài tập 
cơ bản liên quan đến bất đẳng thức. Ngoài ra, mở rộng đối với một số bài toán lớp 
8; 9 trong phần bài tập nhằm giúp các em có tư duy sáng tạo trong suy nghĩ. Mỗi 
dạng bài tập đều có phần gợi ý nhận xét, định hướng cách giải thông qua kiến thức 
áp dụng. Mặc dù đã cố gắng để hoàn thành SKKN này, song việc mắc phải những 
Giáo viên: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 3 - “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9 
 tại trường THCS Lương Thế Vinh”
 SKKN được áp dụng trực tiếp vào giảng dạy học sinh giỏi trong nhiều tiết 
theo chuyên đề của mảng kiến thức này (những dạng bài tập cơ bản) tại trường đã 
đạt kết quả tốt. Học sinh nắm kiến thức chắc chắn hơn, chính xác hơn và kĩ năng 
trình bày bài làm được cải thiện rõ rệt. Đây là tiền đề vững chắc, những thuận lợi 
đáng kể góp phần thúc đẩy kết quả bồi dưỡng HSG đối với nội dung kiến thức này 
của bản thân tôi trong thời gian vừa qua.
 Học sinh khối 8 mới bắt đầu làm quen bất đẳng thức. Vì thế, năng lực tư duy 
logic của các em chưa phát triển cao, các em phải làm quen với nhiều kí hiệu toán 
học và các thuật ngữ mới cũng như lượng kiến thức lí thuyết tương đối nhiều. Do 
vậy, việc áp lý thuyết để làm bài tập toán về bất đẳng thức nói riêng đối với các em 
là một điều khó. Hầu hết chỉ có các học sinh giỏi mới có thể tự làm đúng hướng và 
trọn vẹn yêu cầu của bài toán. Còn hầu hết các học sinh khá lúng túng không biết 
cách làm, cách thức thực hiện và trình bày lời giải như thế nào là đúng mặc dù 
được giáo viên hướng dẫn hoặc đã được trình bày bài tập mẫu.
 Đây là một vấn đề hay trong toán học, vận dụng được rộng rãi, có giá trị sử 
dụng lâu dài và có thể tiếp tục mở rộng theo hướng chuyên sâu hơn. Nội dung này 
là một phần kiến thức tuy ngắn gọn song được bao hàm có thể áp dụng được trực 
tiếp vào giảng dạy trên lớp cũng như dạy tạo nguồn kiến thức bồi dưỡng HSG.
 Vấn đề hay, nhiều nội dung nhỏ, đơn giản nhưng dễ mắc sai lầm trong suy 
nghĩ, trong lời giải, trong trình bày, Vì vậy, đây là một chú ý để chúng ta thật 
thận trọng, tự rút kinh nghiệm cho bản thân với mục đích cuối cùng là đạt được kết 
quả cao về nội dung của SKKN đề ra.
 Thực tế cho thấy có nhiều nguyên nhân, nhiều yếu tố tác động tạo nên 
những khó khăn, hạn chế nêu trên. Trước hết phải kể đến là ý thức tự giác trong 
học tập của người học chưa cao, khả năng tự học, tự rèn của học sinh hiện nay giảm 
sút nhiều. Nhiều học sinh thông minh nhưng ngại va chạm ý thức vươn lên chưa 
cao. Các em ít có những suy nghĩ, trăn trở khi làm bài tập khó hoặc khi làm bài tập 
sai thì động lực để các em quyết tâm tự làm lại cho đúng chưa nhiều. Một điều nữa 
là việc lưu giữ (quá trình ghi nhớ), tái hiện (trình bày bằng lời hoặc viết) của học 
sinh chưa tốt, các em lười làm bài tập ở nhà,. Trong mảng kiến thức về bất đẳng 
thức, các em tỏ ra lúng túng khi lập luận, khi trình bày một số dạng bài tập nêu 
trên. Vì vậy mà các em quên nhanh nhiều kiến thức cơ bản của phần này dẫn đến 
ngại làm bài tập. Trong khi đó, để học môn toán tốt, nhớ lâu kiến thức thì con 
đường vô cùng hiệu quả là luyện giải bài tập.
 III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề.
 Nhằm nâng cao chất lượng học sinh giỏi cấp huyện và cấp tỉnh và chia sẻ 
một số kinh nghiệm cùng đồng nghiệp nhằm nâng cao chất lượng học sinh giỏi 
toán trên địa bàn Krông Ana. Để đạt được kết quả như mong muốn khi dạy kiến 
Giáo viên: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 5 - “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9 
 tại trường THCS Lương Thế Vinh”
 Yêu cầu và bắt buộc học sinh phải học thuộc lòng các bất đẳng thức thường 
gặp để từ đó hình thành tư duy, kỹ năng nhận dạng bất đẳng thức thuộc loại nào để 
đưa ra cách giải hợp lí đở tốn thời gian.
 Mục đích cho các em làm bài tập áp dụng trong tiết dạy lý thuyết và trong tiết 
dạy luyện tập với các dạng bài tập cụ thể đa dạng từ dễ đến khó có hướng dẫn gợi 
mở của giáo viên, được trình bày ngắn gọn có các căn cứ rõ ràng. Ngoài ra, có thể 
tổ chức thi làm bài nhanh giữa các em, để kích thích tính tích cực, ganh đua trong 
học tập. Giao bài tập về nhà đồng thời tăng cường biện pháp để kiểm tra việc học 
bài và làm bài ở nhà của học sinh để đảm bảo chất lượng của bài dạy và để tiến 
hành loại bỏ học sinh lười học khỏi đội tuyển.
 III.3. Đưa ra dạng bài có quy tắc để học sinh dễ nhận dạng, không lúng 
túng khi làm bài trong các kì thi học sinh giỏi các cấp.
Bài 1. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3. Chứng minh rằng:
 a b c 3
 (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Đắk Lắk năm 2018-2019)
 1 b2 1 c2 1 a2 2
Bài giải: Ta luôn có : 
 1 3
 3(ab bc ca) (a b c)2 ab bc ca 3 (ab bc ca) 
 2 2
Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: 1 b2 2b nên
 a ab2 ab2 ab
 a a a (1)
 1 b2 1 b2 2b 2
 b bc c ca
Hoàn toàn tương tự ta cũng có: b (2); c (3) 
 1 c2 2 1 a2 2
 a b c 3
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có: 
 1 b2 1 c2 1 a2 2
 (Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
Bài 2. Chứng minh về mọi số dương a, b, c có a+b+c=3 thì ta có:
 a 1 b 1 c 1
 3
 1 b2 1 c2 1 a2
 a b c ab bc ac
Ta có: 3(ab bc ca) (a b c)2 9 0
 2
Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: 1 b2 2b nên
 a 1 b2 (a 1) b2 (a 1) ab b
 a 1 a 1 a 1 (1)
 1 b2 1 b2 2b 2
Giáo viên: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 7 - “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9 
 tại trường THCS Lương Thế Vinh”
 a2 2ab b2 b2 2bc c2 c2 2ca a2
 a2 b2 c2 ab bc ca 
 2
 2 2 2
 a b b c c a 
 0
 2
 Suy ra a2 b2 c2 ab bc ca 
 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 
 a b c
b) Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức
 a2 b2 c2 3 2 a b c a2 2a 1 b2 2b 1 c2 2c 1
 2 2 2
 a 1 b 1 c 1 0
 Suy ra: a2 b2 c2 3 2 a b c 
 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 
 a b c 1.
Bài 2. Chứng minh rằng: x12 y12 x4 y4 x10 y10 x6 y6 
 ( Đề thi học sinh giỏi toán 9 huyện Krông Ana năm học 2014-2015)
 Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức
 x12 y12 x4 y4 x10 y10 x6 y6 x16 x12 y4 x4 y12 y16 x16 x10 y6 x6 y10 y16
 x12 y4 x4 y12 x10 y6 x6 y10 0 x4 y4 (x8 x6 y2 y8 x2 y6 ) 0
 4 4 6 2 2 6 2 2 4 4 2 2 6 6
 x y x (x y ) y (x y ) 0 x y x y x y 0
 2
 x4 y4 x2 y2 x4 x2 y2 y4 0
Bất đẳng thức cuối luôn đúng với mọi x, y. Vậy x12 y12 x4 y4 x10 y10 x6 y6 
 2
 a2 b2 c2 a b c 
Bài 3. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rẳng: 
 3 3 
Lời giải
Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức
 2
 2 2 2 2 2 2 2
 a2 b2 c2 a b c 3 a b c a b c a b b c c a 
 3 3 9 9
 2
 a2 b2 c2 a b c 
Suy ra: 
 3 3 
Giáo viên: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 9 -