SKKN Nâng cao chất lượng môn Toán cho học sinh Lớp 8-9 thông qua sử dụng phương pháp tương tự trong giải toán

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỈM SƠN
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG MÔN TOÁN CHO HỌC 
SINH LỚP 8 -9 THÔNG QUA SỬ DỤNG PHƯƠNG 
 PHÁP TƯƠNG TỰ TRONG GIẢI TOÁN
 Người thực hiện: Nguyễn Thị Hòa
 Chức vụ: Giáo viên
 Đơn vị công tác: Trường THCS Lê Quý Đôn
 SKKN thuộc môn: Toán
 THANH HOÁ, NĂM 2013 A- ĐẶT VẤN ĐỀ
 Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng đổi mới 
không ngừng. Các nhà trường càng chú trọng đến chất lượng toàn diện bên cạnh 
sự đầu tư thích đáng cho giáo dục. Với vai trò là môn học công cụ, bộ môn Toán 
đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các môn khoa học tự nhiên khác.
 Trong dạy học toán, một việc làm không thể thiếu được đối với mỗi giáo 
viên là cung cấp cho các em kiến thức, phương pháp học tập để đạt kết quả tốt 
nhất.
 Phương pháp tương tự hoá là một trong những phương pháp cần được áp 
dụng trong quá trình dạy học sinh học toán, đặc biệt là dạy học sinh giải toán.
 Từ một bài toán học sinh phải đưa ra được những bài toán tương tự. Từ 
một cách giải của 1 bài toán học sinh phải tìm ra được cách giải tương tự... có 
như vậy mới:
 - Phát huy được tính tích cực, chủ động của người học.
 - Thông qua việc giải bài tập mà hình thành ở các em kỹ năng, kỹ xảo.
 - Trước bất kỳ một bài toán nào các em cũng có thể tìm ra được những 
cách giải khác nhau (nếu có thể), hấp dẫn thú vị hơn.
 Xuất phát từ lý do trên, tôi đã chọn và nghiên cứu đề tài: “Nâng cao chất 
lượng môn Toán cho học sinh lớp 8-9 thông qua sử dụng phương pháp 
tương tự trong giải toán” (Trường THCS Lê Quý Đôn-Bỉm Sơn ) 
 Trong lời giải nhiều bài toán, ta gặp những từ chứng minh tương tự như 
trên, giải tương tự như bài.... Tương tự được hiểu là giống nhau, có một số nét 
giống nhau: Hoàn toàn giống nhau, gần hoàn toàn giống nhau. Do đó, sự vận 
dụng tương tự trong chứng minh trong hình học rất đa dạng trong Số học và Đại 
số lại vô cùng là phong phú.
 Trên cơ sở thực hiện đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy 
tính tích cực của học sinh trong học tập , làm cho học sinh chủ động nắm bắt 
kiến thức, chủ động tư duy hình thành các khái niệm, các công thức thì người 
thầy phải chủ đạo, hướng học sinh nắm bắt kiến thức một cách khoa học, giáo 
viên cần tung ra những tình huống nhằm kích thích học sinh ham tìm tòi sáng 
 3 B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lý luận :
Trong toán học, nhất là trong dạy học toán theo chương trình đổi mới thì việc dạy 
học theo phương pháp tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, học sinh được 
tiếp cận kiến thức một cách chủ động sáng tạo, từ những hình ảnh, mô hình, ví dụ 
... để hình thành các khái niệm tương tự, tổng quát hơn.
 Tương tự hóa được các nhà toán học thường xuyên sử dụng, nhờ đó mà bài 
toán được giải bao giờ cũng ngắn gọn hơn và kết quả thu được cũng cho thấy rõ 
bản chất của vấn đề.
 Đối với học sinh thì các em thường hay ngại trình bày đặc biệt là các bài 
toán cứ phải lặp đi lặp lại cách trình bày như nhau . Là người giáo viên, chúng 
ta cần biết gây hứng thú học tập của các em thông qua các lời giải ngắn gọn, 
đằng sau mỗi lời giải của các bài toán luôn ẩn chứa nhiều bất ngờ dành cho các 
em say sưa tìm tòi.
 Rất nhiều em không dừng lại ở những bài toán tưởng chừng như rất nhỏ, 
các em luôn cố gắng suy nghĩ tự tìm tòi sáng tạo để thêm giả thiết,tìm các bài 
toán tương tự cho bài toán ban đầu nhưng ở mức độ hay hơn nhiều.. 
II.Thực trạng của vấn đề:
 Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy đa phần học sinh chỉ chú trọng việc 
giải toán, nhưng giải thế nào để bài toán có lời giải ngắn gọn thì lại cả một vấn 
đề. Thực tế, đó cũng là việc làm rất cần thiết đối với học sinh , tuy nhiên chỉ dừng 
lại ở đó thì học sinh không thể phát huy được tính sáng tạo qua các bài toán, vấn 
đề đặt ra là người giáo viên khi đứng trên bục giảng có biết hướng các em đi đến 
những bài toán khác, xây dựng những bài toán mới từ những bài toán mà các em 
vừa được làm hay không, từ đó tổng quát lại các dạng bài toán đã học .
 Tương tự hoá bài toán giúp học sinh phát huy được tính tích cực, chủ 
động sáng tạo, năng lực tự học của học sinh, tạo điều kiện cho các em hứng thú 
học tập bộ môn.
 5 A· DB ; A· DC Nếu thay B bởi C thay C bởi B thì lời giải của bài toán không đổi: 
Ta nói rằng hai góc đó có vai trò như nhau và nhờ sự tương tự ấy có thể sắp xếp 
chúng theo thứ tự A· DC A· DB mà không mất tính tổng quát của bài toán.
 Giải
 Giả sử A· DC A· DB thì A· DC 900 , dẫn đến tam giác cân ADC phải có đáy 
AC. Ta chỉ phải xét 3 trường hợp:
 - Tam giác cân ADB có đáy AD (h.a) hoặc BD (h.b) hoặc AB (h.c) mà 
không phải xét đến 9 trường hợp
 A
 A
 2a
 a (H.b)
 (H.a)
 2a a
 B D C B D C
Đặt Cµ = a 
 0 o
Trường hợp 1: Cho ta 3a = 105 nên a = 35 A
Trường hợp 2: Cho ta: a + (180o- 4a) = 105o nên a = 250
 (H.c
Trường hợp 3: Không xảy ra vì khi đó B· AC=900 )
Vậy chỉ xảy ra trường hợp 1 và trường hợp 2. B D C
Trường hợp 1: a = Cµ = 35o => Bµ = 180o - (105o+ 35o) = 40o
Trường hợp 2: a = 25o => Cµ = 25o => Bµ = 180o- (105o+25o) = 50o
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC: Aµ 90 o, Bµ và Cµ là các góc nhọn. Các đường 
trung trực của AB và của AC cắt nhau ở O và cắt BC theo thứ tự ở E và F. 
Chứng minh : AO là tia phân giác của góc EAF.
 Giải:
Ta có EA = EB nên EO là tia phân giác của góc A· EB 
Chứng minh tương tự FO là tia phân giác của góc A· FC .
 7 tương tự vì chúng là các trường hợp riêng của đa giác. Những suy luận bằng 
tương tự thuộc loại "suy luận nghe có lý". Nó mới cho ta những dự đoán, còn để 
khẳng định hay bác bỏ dự đoán đó thì phải chứng minh. Sẽ sai nếu bằng tương 
tự, ta cho rằng giao điểm các đường phân giác của tam giác cũng cách mỗi định 
bằng 2 độ dài đường phân giác đi qua đỉnh ấy (!) hoặc cho rằng trong hai tam 
 3
giác bất kỳ đối diện với 2 cạnh bằng nhau là 2 góc bằng nhau.
3. Sử dụng phương pháp tương tự để tìm tòi cách giải khác cho một bài toán:
a. Bằng cách nghĩ đến bài toán có nét tương tự với bài toán đang giải:
Ví dụ: Vẽ về phía ngoài tam giác ABC ( Bµ < 900; Cµ < 900 ) các tam giác vuông 
cân ABD, ACE ( A· BD = A· CE = 90o ) gọi I và K là chân các đường vuông góc kẻ 
từ D và E đến BC. Chứng minh: BI = CK.
- Nhận xét:
 Rõ ràng BID có cạnh BI và CKE có cạnh CK không phải là hai tam 
 A
giác bằng nhau. E
 Một câu hỏi được đặt ra: D
Có bài toán nào tương tự bài toán 
này không ? Hoặc với một phần I B H C K
của bài toàn này?
 Các dữ kiện của bài toán tam giác ABD vuông cân, đường thẳng IK đi 
qua đỉnh góc vuông... làm ta nhớ lại 1 bài toán đã giải cũng có các dữ kiện 
tương tự "Đó là: Cho tam giác ABC có Aµ = 900; AB = AC, qua A vẽ đường 
thẳng d sao cho B và C nằm cùng phía đối với đường thẳng d. Kẻ BH và CK 
vuông góc với d. Chứng minh rằng: a) AH= CK; b) HK= BH+CK
Do sự liên hệ đó, ta vẽ thêm AH  IK; được BI = AH
Tương tự với ACE vuông cân, được CK=AH. Do đó BI = CK
Nhờ liên hệ đến một bài toán tương tự đã giải mà ta tạo ra đường thẳng AH làm 
trung gian để so sánh BI và CK
 Giải:
Kẻ đường cao AH  BC
 9 - Ngoài ra còn có nhiều cách giải khác
 Ví dụ 1c:
a) Chứng minh rằng nếu trên các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C ta lấy các 
điểm A', B', C' sao cho AA', BB', CC' đồng quy thì:
 AB' CA' BC'
 . . = 1 (Đ.lý xê va)
 B'C A'B C'A
b) Chứng minh rằng kết luận trên vẫn đúng nếu các điểm A', B', C' thuộc các 
đường thẳng chứa các cạnh của tam giác, trong đó có đúng hai điểm nằm ngoài 
tam giác.
 Giải:
a) Qua A vẽ đường thẳng // BC M A N
 cắt BB', CC' ở N, M
 B'
 AB' AN C'
 ta có: = ; 
 B'C CB O
 BC' BC CA' MA
 = ; = B A' C
 C'A AM' A'B AN
Nhân các đẳng thức trên từng vế, ta được điều phải chứng minh
b) Chứng minh tương tự (câu a)
 B' C'
Chú ý: Các hệ thức viết ở định lý.
Mênê-laúyt và các định lý Xêva như nhau. A
Chỗ khác nhau là vị trí của các điểm A', B', C' N M
- Ở định lý Mênê-laúyt có đúng 1 điểm hoặc B A' C
cả 3 điểm nằm ngoài tam giác.
- Ở định lý Xêva: không có điểm nào, hoặc có O
đúng hai điểm nằm ngoài tam giác.
4. Giải các bài toán cực trị với nội dung tương tự hoặc giải bằng phương 
pháp tương tự.
Ví dụ 1: Cho hai điểm A, B cùng nằm về một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng 
Tìm trên đường thẳng A một điểm P sao cho PA + PB là nhỏ nhất.
Giải: Lấy A' đối xứng với A qua đường thẳng nối A'B cắt đường thẳng a tại P'
 11 NP = 2 FG (FG là đường trung bình của QNP)
 MN + NP + PQ + QM = 2 (BE + EF + FG + GD) 2BD
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi E, F, G BD
Khi đó MN // AC // PQ và MQ // BD // NP.
5. Sử dụng phương pháp tương tự trong giải toán chứng minh bất đẳng 
thức.
Bài 1: Cho ABC có các cạnh a, b, c, và các trung tuyến ma, mb, mc
 4
Chứng minh rằng: a + b + c (ma + mb + mc)
 3
 A
 Giải:
Gọi G là trọng tâm ABC m
- Xét BGC có: GB + GC BC a
 2 2 m G m
trong đó: GB = mb, GC = mc c
 3 3 B b C
 2
 (mb + mc) > BC
 3
 2
 (mb + mc) > a (1)
 3
 2
Tương tự: (mc + ma) > m (2)
 3
 2
 (ma + mb) > c (3)
 3
Cộng (1), (2), (3) vế với vế ta được
 4
 (ma + mb + mc) > a + b + c .
 3
Bài 2: Trong tam giác ABC có chu vi 2P = a + b + c (a,b,c là độ dài 3 cạnh)
 1 1 1 1 1 1
CMR: + + 2 ( + + )
 P - a P - b P - c a b c
Dấu bằng trong bất đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì ?
 Giải:
 13 Nhân từng vế của (1), (2), (3)
 abc
 (P-a) (P-b) (P-c) (đpcm)
 8
 1 1
Bài 4: Chứng minh rằng, với mọi a, b > 0 thỏa mãn a + b = 1, thì: + 6 
 ab a 2 + b2
Hướng dẫn: Áp dụng
 1 1 4
 + ( x > 0, y > 0)
 x y x + y
 1 1 4
 + 
 2ab a 2 +b2 a 2 +b2 +2ab
 1 1 4 
 + 4
 2ab a 2 +b2 a+ b)2
 1
 Doa +b 2 ab 1 4ab 2
 2ab
 1 1 1 1 1
Vậy: + + + 4 2 6 
 ab a 2 + b2 2ab a 2 + b2 2ab
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = ½.
d) Nêu và giải toán tương tự với các bài toán sau:
Bài toán 1: Cho ABC vẽ ở phía ngoài tam giác ấy, các tam giác đều ABD, 
ACE. Tính góc tạo bởi các đường thẳng BE, CD
Bài toán tương tự: Thay "tam giác đều" bởi "tam giác vuông cân tại A)
Bài toán 2: Cho ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM. Gọi d là đường 
thẳng đi qua A sao cho B và C thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ d. Kẻ BH 
và CK vuông góc với d. CMR tam giác MHK là tam giác vuông cân.
Bài toán tương tự: Thay "B và C thuộc cùng một nửa mặt phẳng đối nhau có bờ 
d"
Giải: Ta có: AB = CA, B· AH = ·ACK (cùng phụ với C· AK ) nên
 ABH = CAK (cạnh huyền-góc nhọn) A
suy ra: AH = CK
 ABC cân có trung tuyến AM là
 H
đường cao, từ đó suy ra:
 AMC vuông cân nên AM = MC
 B M C
 K 15
 d