SKKN Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-ét trong giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠0)

 UBND HUYỆN GIA LÂM
 TRƯỜNG THCS LỆ CHI
 SAÙNG KIEÁN KINH NGHIEÄM
 “NÂNG CAO HIỆU QUẢ CỦA HỆ THỨC VI–ÉT 
TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH 
 BẬC HAI AX2 + BX + C = 0 "
 Tác giả: Đào Thị Hạnh
 Môn: Toán
 Cấp học: THCS
 Năm học 2018 - 2019 SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương 
 trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”
V. KÕt qu¶ thùc nghiÖm: 17
PhÇn III: bµi häc Kinh nghiÖm 18
PhÇn IV: KÕt luËn – KIẾN nghÞ - ®Ò xuÊt 19
TÀI LIỆU THAM KHẢO 20
 SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến 
 phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”
 PHẦN II: NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN:
1. Cơ sở thực tiễn:
 Đứng trước yêu cầu của công cuộc đổi mới, giáo dục phải luôn đi trước một 
bước. Muốn giáo dục và đào tạo tồn tại và phát triển, xứng đáng với vị trí của nó 
trong xã hội thì mỗi giáo viên phải tự mình đổi mới, đề ra những định hướng kịp 
thời.
 Là một giáo viên dạy toán THCS trong những năm qua tôi đã đặt cho mình 
những câu hỏi, những trăn trở để từ đó tìm hiểu nghiên cứu tìm ra những 
phương pháp dạy phù hợp.
 Môn toán là một môn học khó nhưng nó rất hấp dẫn và bổ ích với những 
em yêu thích Toán học. Nó giúp các em từng bước phát triển năng lực tư duy. 
Hình thành kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn cũng như vào việc học tập 
các môn học khác.
 Qua tìm hiểu tình hình thực tế và kinh nghiệm của bản thân tôi thấy đa số học 
sinh lớp 9 gặp khó khăn khi giải các bài toán có liên quan đến "Ứng dụng của hệ 
thức VI-ÉT trong giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai: ax2 + bx + c 
= 0 " .
 Trong chương trình lớp 9 kiến thức này đề cập rất ít trong sách giáo khoa. 
Tuy nhiên các bài tập liên quan đến nó lại rất nhiều và rất đa dạng.
 Là một giáo viên dạy Toán trước thực trạng như vậy tôi không khỏi băn 
khoăn trăn trở làm như thế nào để giúp đỡ các em bớt đi những khó khăn, lúng 
túng trong việc giải các bài toán có liên quan đến hệ thức VI-ÉT trong phương 
trình bậc hai ax2+bx+c=0 (a 0).
 Từ thực tiễn giảng dạy tôi xin được trình bày một ý kiến nhỏ, một kinh 
nghiệm mà qua thử nghiệm tôi thấy đã làm giảm bớt khó khăn cho các em khi 
giải các bài toán có liên quan đến hệ thức VI-ÉT trong phương trình bậc hai.
2. Thực trạng và nguyên nhân
2.1. Thực trạng
 Qua quá trình dạy học môn Toán nhiều năm tôi nhận thấy, việc giải áp dụng 
hệ thức Vi-ét trong giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai: ax2 
+ bx + c = 0 của học sinh là khá khó khăn. Điều đó ảnh hưởng không nhỏ đến 
chất lượng môn toán nói chung và dạng toán này nói riêng, gây ra sự chán nản 
trong học tập của học sinh. Cụ thể, theo điều tra tình hình học tập môn toán ở 
 2 SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến 
 phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”
 c c
 -Nếu 0 thì x .
 a a
 c
 -Nếu 0 thì phương trình vô nghiệm.
 a
Dạng 3: Tổng quát 
 CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN
 b2 4ac ' b'2 ac
 0 : phương trình có 2 nghiệm phân ' 0: phương trình có 2 nghiệm 
 biệt phân biệt
 b b b' ' b' '
 x ; x x ; x 
 1 2a 2 2a 1 a 2 a
 0 : phương trình có nghiệm kép ' 0: phương trình có nghiệm kép
 b b'
 x x x x 
 1 2 2a 1 2 a
 0 : phương trình vô nghiệm ' 0: phương trình vô nghiệm
2. Hệ thức VI-ÉT và ứng dụng
 2
- Nếu phương trình ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì: 
 b
 S x x 
 1 2 a
 c
 P x x 
 1 2 a
 u v S 2
- Nếu có hai số u và v sao cho S 4P thì u, v là hai nghiệm của 
 uv P
phương trình x2 – Sx + P = 0.
 c
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = 1; x2 = 
 a
 c
- Nếu a – b+c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 =-1; x2 = 
 a
IV. PHÂN DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT.
DẠNG 1: NHẨM, TÍNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Phương pháp giải:
 b c
 • Áp dụng hệ thức VI-ÉT: x x ;x .x 
 1 2 a 1 2 a
 4 SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến 
 phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”
HD:
a) Thay x1 2 v à phương trình ban đầu ta được : 
 1
 4 4 p 5 0 p 
 4
 5 5
 Từ x1x2 5 suy ra x2 
 x1 2
b) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1 x2 11 và theo VI-
 x1 x2 11 x1 9
ÉT ta có x1 x2 7 , ta giải hệ sau: 
 x1 x2 7 x2 2
 Suy ra q x1x2 18
Bài tập áp dụng:
a) Phương trình x2 5x q 0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.
b) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2 qx 50 0 , biết phương trình có
 2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia. 
DẠNG 3: LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Phương pháp:
 • Tính tổng hai nghiệm: S x1 x2 và tích hai nghiệm P x1x2
 2
 • Phương trình có hai nghiệm x1, x2 là X SX P 0
1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1; x2
Ví dụ : Cho x1 3; xlập2 một2 phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
 S x1 x2 5
HD: Theo hệ thức VI-ÉT tacó vậy x1; x2 là nghiệm của phương 
 P x1x2 6
trình có dạng:
 x2 Sx P 0 x2 5x 6 0
Bài tập áp dụng: 
 1. x1 = 8 và x2 = -3
 2. x1 = 3a và x2 = a
 3. x1 = 36 và x2 = -104
 4. x1 = 1 2 và x2 = 1 2
2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai 
nghiệm của một phương trình cho trước:
 6 SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến 
 phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”
giải phương trình trình ta được x1 1 và x2 4
Vậy nếu a = 1 thì b = 4
 nếu a = 4 thì b = 1
Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P 
 1. S = 3 và P = 2
 2. S = 3 và P = 6
 3. S = 9 và P = 20
 4. S = 2x và P = x2 y2
Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết
 1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41
 2. a b = 5 và ab = 36
 3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30
DẠNG 5: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM
Phương pháp:
 • Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu 
 thức nghiệm đó cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P 
 để áp dụng hệ thức VI-ÉT rồi tính giá trị của biểu thức
1. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : (x1 x2 ) và x1x2
 2 2 2 2 2
Ví dụ 1 a) x1 x2 (x1 2x1x2 x2 ) 2x1x2 (x1 x2 ) 2x1x2
 b) x3 x3 x x x2 x x x2 x x x x 2 3x x 
 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 
 2 2
 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
 c) x1 x2 (x1 ) (x2 ) x1 x2 2x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 2x1 x2
 1 1 x x
 d) 1 2
 x1 x2 x1x2
Ví dụ 2 x1 x2 ?
 2 2 2
Ta biết x1 x2 x1 x2 4x1x2 x1 x2 x1 x2 4x1x2
Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:
 2 2
 1) x1 x2 ( x1 x2 x1 x2 =.)
 2) x3 x3 ( = x x x2 x x x2 x x x x 2 x x =. )
 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 
 4 4 2 2 2 2
 3) x1 x2 ( = x1 x2 x1 x2 = )
 6 6 2 3 2 3 2 2 4 2 2 4
 4) x1 x2 ( = (x1 ) (x2 ) x1 x2 x1 x1 x2 x2 = ..)
Bài tập áp dụng
 8 SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến 
 phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”
 a b c 0
 a 0
Loại 3: Phương trình có nghiệm 
 b 0
 a 0
 0
 a 0
 b 0
Loại 4: Phương trình có nghiệm duy nhất 
 a 0
 0
 a 0
Loại 5: Phương trình có nghiệm kép 
 0
 a 0
Loại 6: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 
 0
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất
 mx2 2(m 1)x 2 0
 a 0
 b 0
HD: Phương trình có nghiệm duy nhất 
 a 0
 0
 a 0 m 0 m 0
 TH1: m 0
 b 0 2(m 1) 0 m 1
 a 0 m 0 m 0
 TH2: 2 2 (hpt vô nghiệm với 
 ' 0 (m 1) m. 2 0 m 1 0
 m2 1 0 Với mọi m)
 Vậy pt có nghiệm duy nhất m 0 
 Với m = 0 thì 2x 2 0 x 1
Ví dụ 2 : Cho phương trình : mx2 + 6(m - 2)x + 4m - 7 = 0 
 Tìm các giá trị của m để phương trình :
 a) Có nghiệm kép .
 b) Có 2 nghiệm phân biệt.
 c) Vô nghiệm .
 m 4
 m 0
HD: a) 9
 ' 0 m 
 5
 10 SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến 
 phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”
 2
Ví dụ 2: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình : m 1 x 2mx m 4 0 . Chứng 
minh rằng biểu thức A 3 x1 x2 2x1x2 8 không phụ thuộc giá trị của m.
HD: Để phương trình trình có 2 nghiệm x1 và x2 thì :
 m 1
 m 1 0 m 1 m 1 
 2 4
 ' 0 m (m 1)(m 4) 0 5m 4 0 m 
 5
Theo hệ thức VI-ÉT ta có :
 2m
 x x 
 1 2 m 1
 thay vào A ta có:
 m 4
 x .x 
 1 2 m 1
 2m m 4 6m 2m 8 8(m 1) 0
 A 3 x x 2x x 8 3. 2. 8 0
 1 2 1 2 m 1 m 1 m 1 m 1
 4
 Vậy A = 0 Với mọi m 1 và m . Do đó biểu thức A không phụ thuộc 
 5
vào m
Nhận xét:
 - Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm
 - Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích 
nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không 
phụ thuộc vào tham số.
Bài tập áp dụng:
 2
 1) Cho phương trình : x m 2 x 2m 1 0 có 2 nghiệm x1; x2 . Hãy lập hệ 
 thức liên hệ giữa x1; x2 sao cho x1; x2 độc lập đối với m.
 2) Cho phương trình : x2 4m 1 x 2 m 4 0 .
Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
DẠNG 8: TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN 
BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO
Phương pháp:
Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:
 • Tìm điều kiện cho tham số để phương trình đó cho có hai nghiệm x1 và x2
 a 0 a 0
 hoặc 
 0 ' 0
 12