SKKN Nghiên cứu khai thác định lý Vi-ét và các ứng dụng phong phú của nó trên nhiều phương diện Đại số, Hình học, Số học

Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm 
 Mục lục 
 Các ứng dụng của định lý vi-ét 
 Phần I: Cơ sở xuất phát 
 1. Đặt vấn đề 
 2. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài. 
 Phần II: Nội dung - phương pháp. 
 1. Lý thuyết (Kiến cơ bản và mở rộng) 
 2. Các ứng dụng của định lý viét 
 * Các ứng dụng cơ bản. 
 * Các ứng dụng khác. 
 Phần III: Các biện pháp thực hiện 
 Phần IV: Kết quả - bài học kinh nghiệm 
 Phần V: Kết luận 
Năm học 2011-2012 1 Giáo viên: Đặng Thị Hương 
 Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm 
 PHẦN I: CƠ SỞ XUẤT PHÁT 
1. Đặt vấn đề 
 Trong việc dạy học toán, việc giải toán có tầm quan trọng lớn và đã từ lâu là 
một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp dạy học toán. Đối với học sinh 
ở bậc trung học cơ sở có thể coi việc giải toán là một hình thức chủ yếu của việc 
học toán. 
 Việc giải toán có nhiều ý nghĩa: 
 - Đó là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức và rèn 
luyện kĩ năng kĩ xảo. Trong nhiều trường hợp giải toán là một hình thức tốt để dẫn 
dắt học sinh tự mình đi đến kiến thức mới. 
 - Đó là hình thức vận dụng kiến thức đã học vào các vấn đề cụ thể, thực tế và 
các vấn đề mới. 
 - Là hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh tự kiểm tra 
mình về năng lực, mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức đã học. 
 - Việc giải toán có tác dụng lớn gây hứng thú học tập cho học sinh phát triển 
trí tuệ và giáo dục, rèn luyện người học sinh về nhiều mặt. 
1. Định lý toán học là mệnh đề đúng. Vì thế nó là kiến thức cơ bản có giá trị về 
phương diện suy luận và ứng dụng trong chương trình toán nói chung cũng như 
chương trình toán THCS nói riêng. 
2. Trong môn Đại số lớp 9 ở THCS có một định lý đã nói rõ mối quan hệ giữa các 
nghiệm số của một phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) với các hệ số của 
nó. Đó là định lý do nhà toán học nổi tiếng người Pháp Prăng xoa Vi-ét (F. Viete) 
(1540- 1603) tìm ra được mang tên ông: Định lý Vi-vét. 
Năm học 2011-2012 3 Giáo viên: Đặng Thị Hương 
 Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm 
6. Phương trình bậc hai và định lý Vi-ét thông qua hệ thức giữa các nghiệm số 
được gắn kết với nhau như hình với bóng để tạo ra những bài toán, những ứng dụng 
phong phú và đa dạng từ Đại số, Số học, Hình học hấp dẫn kì lạ. 
7. Những ứng dụng cơ bản và phong phú của định lý Vi-ét thuận, đảo đã làm giàu 
tư duy, kĩ năng giải toán cho HS cuối cấp. Giúp các em nhìn nhận các bài toán 
trong mối liên hệ sinh động dưới “con mắt động” của sự ràng buộc giữa biến số và 
tham số; giữa hằng và biến, phần nào giúp HS nâng cao chất lượng học tập môn 
toán. 
8. Việc khai thác định lý Vi-ét thuận, đảo và các ứng dụng phong phú của nó trong 
Đại số, Hình học, Số học có tính tất yếu tuân theo quy luật biện chứng của bất kì 
một môn khoa học nào, đồng thời hình thành cho người dạy, người học một phong 
cách nghiên cứu toán học ở một phạm vi nhất định tạo điều kiện đổi mới phương 
pháp dạy học một cách hiệu quả. 
9. Thực tế việc khai thác định lý Vi-ét và các ứng dụng của nó, của người dạy và 
người học phần nào còn nhiều sơ sài như chưa khai thác triệt để định lý đảo; các 
kết quả từ định lý Vi-ét, đặc biệt khai thác các ứng dụng phong phú vào các thể loại 
bài tập còn hạn chế. Với lý do trên nên tôi đề xuất một vấn đề: “Nghiên cứu khai 
thác định lý Vi-ét và các ứng dụng phong phú của nó trên nhiều phương tiện 
Đại số, Hình học, Số học.” 
2. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài. 
 2.1. Mục đích: 
Mục đích của sáng kiến nhằm rèn luyện kỹ năng cho học sinh lớp 9 cách khai thác 
các ứng dụng của định lí Vi- et trong giải toán nhằm nâng cao chất lượng học cho 
học sinh khắc phục những vướng mắc trong quá trình tìm tòi tìm phương pháp giải 
bài tập một cách hợp lí. Thông qua đó giúp học sinh biết khai thác bài toán nhằm 
phát triển tư duy cho học sinh cao hơn nữa góp phần rèn tính tích cực, tự giác, chủ 
động, độc lập qua từng bài giảng. Rèn kỹ năng vận dụng quy tắc suy luận, vận 
dụng khái niệm, tính chất, kỹ năng sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học tìm hiểu 
bài toán phân tích bài toán và đường lối giải toán. 
Năm học 2011-2012 5 Giáo viên: Đặng Thị Hương 
 Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm 
 PHẦN II: NỘI DUNG – PHƯƠNG PHÁP 
1. LÝ THUYẾT 
1. 1. Định lý Viet thuận: 
 2
Nếu phương trình ax + bx + c = 0 (a 0) có 2 nghiệm x1, x2 thì 
 − b
 S = x1 + x2 = − b 
 a x + x =
 1 2 a 
 c (a 0vµΔ 0) 
 P = x1 . x2 = c 
 a x1.x2 =
 a 
* Hệ quả: PT bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (*) 
- Nếu a + b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x1 = 1, nghiệm kia là x2 = 
 − c
- Nếu a - b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x = - 1; nghiệm kia là x = 
 1 2 a
1.2. Định lý đảo: 
 x1 + x 2 = S
Nếu có 2 số x1, x2 thoả mãn thì chúng là nghiệm số của phương trình: 
 x1 .x 2 = P
 2 2
t - st + p = 0 (Điều kiện  2 số x1, x2 là s - 4p 0) 
Chú ý: 
* Trước khi áp dụng hệ thức Vi- et cần tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm 
 a 0
 Δ 0(Δ' 0)
* a + b + c = 0 x = 1 ; a - b + c = 0 x = - 1 
 x + y = S
* Nếu có: x = ; y =  là nghiệm hệ phương trình thì ,  là nghiệm 
 xy = P
phương trình: t2 - st + p = 0 
Năm học 2011-2012 7 Giáo viên: Đặng Thị Hương 
 Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm 
 KL: 2 số dương có tính không đổi tổng nhỏ nhất khi chúng bằng nhau. 
c. Xét dấu các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (*) (a 0) 
 − b c 
 S = ;P = 
 a a 
- Điều kiện cho (*) có 2 nghiệm trái dấu là P < 0 
 Δ 0
- Điều kiện cho (*) có 2 nghiệm cùng dấu là 
 P 0
 Δ 0
- Điều kiện để (*) có 2 nghiệm cùng dương là: P 0 
 S 0
 Δ 0
- Điều kiện để (*) có 2 nghiệm cùng âm là: P 0 
 S 0
 Δ = 0
- Điều kiện để (*) có 1 nghiệm kép dương là: 
 S 0
 Δ = 0
- Điều kiện để (*) có 1 nghiệm kép âm là: 
 S 0
 x + y = f(m)
d. Điều kiện của tham số để hệ phương trình: có 1 nghiệm duy nhất 
 x.y = g(m)
là: 
 2
 f (m) - 4g(m) = 0 
 2
(Chính là điều kiện để phương trình bậc 2 t - f(m)t + g(m)) = 0 có nghiệm kép) 
2. CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI – ÉT 
2.1.Tìm hai số biết tổng và tích của chúng 
1. Phương pháp: Dựa vào định lý đảo của định lý Viet: 
Năm học 2011-2012 9 Giáo viên: Đặng Thị Hương 
 Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm 
 x + y = 5
 (Ta quy về tìm x, y / ) 
 xy = P
 Từ (1) có 3 x + 3 y = 4 x + y + 33 xy (3 x + 3 y )= 64 x + y = 28 
 x + y = 28
 Vậy hệ (1) (2) có dạng do 282 - 4 . 27 > 0 nên x, y là nghiệm 
 xy = 27
 2
của phương trình: t - 28t + 27 = 0. Giải được t1 = 1 ; t2 = 27. Hệ có 2 nghiệm: 
 x = 1 x = 27
 ; 
 y = 27 y = 1
 5 − x 5 − x 
d. Giải phương trình: x . x + = 6 (Đ/K: x -1) 
 x +1 x +1 
 5 − x 5 − x 
 Đặt: u = x ; v = x + = 6 (Đ/K: x -1) 
 x +1 x + 1 
 u + v = 5
 u + v = 5 (2) Từ (1) và (2) ta quy về tìm u, v sao cho: 
 u.v = 6
 Do 25 - 24 > 0. Nên u, v là nghiệm phương trình t2 - 5t + 6 = 0 
  t1 = 3; t2 = 2. 
 u1 = 3 u 2 = 2
 Từ đó có: hoặc . 
 v1 = 2 v 2 = 3
 x2 − 2x + 3 = 0
 2
 Phương trình đã cho x − 3x + 2 = 0 giải được x1 = 1; x2 = 2 (TM) 
 x −1
e. Cho phương trình: x2 +ax + b = 0 có 2 nghiệm là x và d; 
 phương trình x2 + cx + d = 0 có 2 nghiệm là a và b. 
Tính a, b, c, d biết rằng chúng đều 0. 
 Giải: áp dụng định lý Viet vào 2 phương trình đã cho có: 
 c + d = - a (1) c . d = b (2) 
Năm học 2011-2012 11 Giáo viên: Đặng Thị Hương 
 Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm 
 . . . 
2. Các ví dụ: 
a. Bài toán 1: Cho phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (*) (a 0) 
 n n
 Có 2 nghiệm là x1, x2. Chứng minh rằng: Với S n = x1 + x 2 
 Thì a . Sn + 2 + b . Sn + 1 + c . Sn = 0 
 Giải: 
 2
 ax1 + bx 1 + c = 0
 Do x1, x2 là nghiệm (*) 2 
 ax 2 + bx 2 + c = 0
 n 2 n n n+2 n+1 n
 ax1 .x1 + bx 1 .x1 + cx1 = 0 ax1 + bx1 + cx1 = 0
 n 2 n n n+2 n+1 n 
 ax 2 .x2 + bx 2 .x2 + cx 2 = 0 ax 2 + bx 2 + cx 2 = 0
 n+2 n+2 n+1 n+1 n n
 a.(x1 + x2 )+ b(x1 + x2 )+ c(x1 + x2 )= 0 
 hay: a . Sn + 2 + b . Sn + 1 + c . Sn = 0 
b. Bài toán 2: Cho phương trình x2 + 5x + 2 = 0 
 Gọi x1, x2 là các nghiệm. Hãy tính giá trị các biểu thức: 
 2 2 3 3 4 4 7 7 2 3 3 2
 x1 + x 2 ; x1 + x2 ; x1 + x2 ; . . . ; x1 + x2 ; x1 x2 + x1 x2 ; x1 − x 2 
 Giải: Trước hết kiểm tra phương trình đã cho nghiệm hay không. 
 = 25 - 8 = 17 > 0 Phương trình có 2 nghiệm x1 x2 
 2 2 2
 Suy ra: • x1 + x 2 = S − 2P = 21 
 3 3 2
 • x1 + x2 = S(S − 3P) = −95 
 4 4 2 2 2
 • x1 + x2 = (S − 2P) − 2P = 441 − 8 = 433 
 7 7 3 3 4 4 3 3
 • x1 + x2 = (x1 + x2 )(x1 + x2 )− x1 .x2 (x1 + x2 ) 
 = - 95 . 433 - 8 . (- 5) = 
 2 3 3 2 2 2 2
 • x1 x2 + x1 x2 = x1 x2 (x1 + x2 ) = P .S = −20 
 2 2 2
 • x1 − x2 = (x1 − x2 ) = (x1 + x2 ) − 4x1x2 = S − 4P = 17 
Năm học 2011-2012 13 Giáo viên: Đặng Thị Hương