SKKN Phát triển tư duy học sinh thông qua dạy học ứng dụng những hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI 
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC SINH THÔNG QUA DẠY 
 HỌC ỨNG DỤNG NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC 
 ĐÁNG NHỚ VÀO GIẢI TOÁN 
 Môn: Toán 
 Cấp học: Trung học Cơ sở 
 Tên tác giả: Đặng Thị Hương 
 Đơn vị công tác: Trường THCS Thái Thịnh 
 Chức vụ: Giáo viên 
 NĂM HỌC 2019 – 2020 
 Để thực hiện những mục tiêu trên thì đòi hỏi những người trong cuộc phải nỗ 
lực, cố gắng không ngừng, phải tìm ra cho mình một phương pháp làm việc tối ưu 
và hiệu quả. Qua quá trình dạy toán, tôi thấy rằng những HẰNG ĐẲNG THỨC 
ĐÁNG NHỚ theo suốt quá trình học toán của học sinh lớp 8 và các lớp sau đó. Các 
hằng đẳng thức đáng nhớ được ứng dụng ở rất nhiều thể loại toán khác nhau như thực 
hiện phép tính, phân tích đa thức thành nhân tử, chứng minh đẳng thức, chứng minh 
bất đẳng thức, tìm cực trị, 
 Chính vì những lý do đó mà tôi chọn chủ đề “Phát triển tư duy học sinh 
thông qua dạy học ứng dụng những Hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán” 
nhằm giúp thầy và trò hoàn thành mục tiêu mà ngành giáo dục đã đặt ra. 
II. Mục đích nghiên cứu: 
- Rèn cho học sinh có kỹ năng về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp thu dễ dàng các 
chương học sau, các môn học khác và ở các lớp học sau nhằm mở rộng khả năng áp 
dụng kiến thức vào thực tế. 
- Bồi dưỡng cho học sinh các kỹ năng, kỹ xảo và thói quen giải các bài tập liên quan. 
- Giúp học sinh phát triển tư duy trừu tượng, rèn luyện cho học sinh khả năng độc 
lập suy nghĩ, sáng tạo và khả năng suy luận, đồng thời góp phần hình thành và củng 
cố phẩm chất đạo đức thẩm mỹ. 
III. Phương pháp nghiên cứu: 
* Các phương pháp nghiên cứu lý thuyết 
 Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết 
 Phương pháp phân loại và hệ thống hóa lý thuyết 
 Phương pháp giả thuyết 
**Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn 
 Phương pháp quan sát khoa học 
 Phương pháp điều tra 
 Phương pháp thực nghiệm khoa học 
 Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm 
 Phương pháp chuyên gia. 
IV. Thời gian, địa điểm: 
- Thời gian: Từ năm học 2017 – 2018; 2018 – 2019 đến năm học 2019 – 2020 
- Địa điểm: Trường THCS Thái Thịnh, quận Đống Đa, Hà Nội 
V. Đóng góp mới về lý luận 
 2/15 
 viên phải rèn cho học sinh khả năng quan sát, nhận xét để áp dụng hằng đẳng thức 
một cách hợp lý. Để làm được điều đó sau mỗi giờ học giáo viên phải giúp học sinh 
tự kiểm tra, hệ thống, diễn giải, khám phá, nêu ra vấn đề và tìm hướng giải quyết vấn 
đề, từ đó học sinh rút ra được kinh nghiệm học hiệu quả sau mỗi bài học. 
I. Tổng quan: 
Nhờ có hằng đẳng thức đáng nhớ giúp ta giải quyết được một số dạng bài tập sau: 
I.1. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để thực hiện phép tính 
I.2. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức, tính giá trị biểu 
thức 
I.3. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử 
I.4. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để chia đa thức cho đa thức 
I.5. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để hỗ trợ việc thực hiện phép tính về 
phân thức 
I.6. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để giải phương trình và bất phương trình 
một ẩn 
I.7. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để chứng minh đẳng thức 
I.8. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức 
I.9. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để tìm cực trị 
I.10. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để chứng minh tính chia hết, không 
chia hết 
I.11. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên 
Thông qua việc dạy các ứng dụng trên nhằm phát triển tư duy của học sinh. 
II. Nội dung vấn đề nghiên cứu 
Các kiến thức cần nhớ: 
 1.(a+ b )2 = a 2 + 2 ab + b 2 5.(a− b )3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 ab 2 − b 3
 2.(a− b )2 = a 2 − 2 ab + b 2 6.a3+ b 3 = ( a + b )( a 2 − ab + b 2 ) 
 3.a22− b = ( a + b )( a − b ) 7.a3− b 3 = ( a − b )( a 2 + ab + b 2 )
 4.(a+ b )3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3
Ngoài ra, khi dạy cho học sinh khá, giỏi, giáo viên cần cung cấp thêm các hằng đẳng 
thức sau: 
Bằng phép nhân đa thức, ta chứng minh được các hằng đẳng thức sau: 
 n n n−1 n − 2 n − 2 n − 1
1.a− b = ( a − b )( a + a b + ... + ab + b ) với mọi số n nguyên dương 
 n n n−1 n − 2 n − 2 n − 1
 2.a+ b = ( a + b )( a − a b + ... + ab − b ) với mọi số nguyên dương lẻ n 
 4/15 
 Thay x =87 và y = 13 vào ta có (x− y)( x + y) =(87 − 13)( 87 + 13) = 100.74 = 7400 
Ví dụ 2.2. Cho ab+=1. Tính giá trị M 23(a3+ b 3) −( a 2 + b 2 ) 
Giải: M =2(a3 + b 3) − 3( a 2 + b 2) = 2( a + b)( a 2 − ab + b 2) − 3 a 2 − 3 b 2 .Vì ab+=1 
nên M =2.1.(aabb2 −+−−=−−−−=−+=− 2) 3322233 a 2 b 2 a 2 b 2 aba 2 b 2 ( ab)2 1 
Ví dụ 2.3. Tính giá trị của biểu thức. 
 4322− 11(43+− 11)( 43 11) 54.32
 = = = 3 
(36,5)22− ( 27,5) (36,5−+ 27,5)( 36,5 27,5) 9.64
 x+ y + z = a
 3 3 3
Ví dụ 2.4. Cho x2+ y 2 + z 2 = b 2 ; Tính x++ y z theo abc,, 
 1 1 1 1
 + + =
 x y z c
Giải: Áp dụng hằng đẳng thức 
x3++− y 3 z 33 xyz =++( x y z)( x 2 ++−−− y 2 z 2 xy yz zx) 
 3 3 3 2
 x + y + z =3 xyz + a b −( xy + yz + zx) . Cần tính xy++ yz zx và xyz theo abc,, 
Ta có: a2 =( x + y + z)2 = x + y + z +2( xy + yz + zx) 
 1 1 1 1xy++ yz zx 1
 ab22− + + = = xyz = c( xy + yz + zx)
 xy + yz + zx = Từ x y z c xyz c 
 2
 2 2c a22− b 2 2
 a−− b3 3 3( ) 2 a b
 xyz = c. x + y + z = 3. + a b − 
 2 2 2
 33c( a2− b 2) + a( b 2 − a 2 )
 x3 + y 3 + z 3 = 
 2
II.3. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân 
tử 
Phương pháp giải: Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi các biểu thức 
thành tích một cách phù hợp. 
Ví dụ 3.1. Phân tích đa thức thành nhân tử 
 2 2
 ax)2− 9 =( x − 3)( x + 3) bxxyy )9 2 + 6 + 2 =( 3 xy + ) c)6 x− 9 − x2 = −( x − 3) 
Lưu ý: Khi phân tích đa thức thành nhân tử, ta cần cố gắng phân tích được triệt để 
(càng nhiều nhân tử càng tốt) 
Các bài tập áp dụng 
 6/15 
 Vậy giá trị biểu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của biến x. 
 cxyxxyy)( +)( 2 −++− 2) ( xyxxyy)( 2 ++− 2) 2 x 3 =−−+−=− xyxy 3 3 3 3 2 y 3 
Vậy giá trị biểu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của biến x. 
II. 6. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để chứng minh đẳng thức: 
Phương pháp giải: 
Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ và một số kiến thức liên quan để biến đổi vế trái 
bằng vế phải hoặc vế phải bằng vế trái, hoặc cả hai vế về cùng biểu thức. 
Ví dụ 6.1. Chứng minh (10a+ 5)2 = 100 a ( a + 1) + 25 
Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số có tận cùng là số 5 và áp 
dụng để tính 252, 352, 652, 752. 
Giải: Biến đổi vế trái, ta có: (10a+ 5)22 = 100 a + 100 a + 25 = 100 a ( a + 1) + 25 
Bình phương của một số có hai chữ số và có tận cùng bằng chữ số 5 là một số có tận 
cùng bằng 25 và số trăm bằng tích số trục của số đem bình phương với số liền sau. 
Áp dụng: 252 = 625, 352 = 1225, 652 = 4225, 752 = 5625 
Ví dụ 6.2. Chứng minh rằng: (a+ b )22 = ( a − b ) + 4 ab 
Giải: Cách 1: 
Biến đổi vế trái, ta có: (ab+=++=−++=−+= )2 a 2 2 abb 2 a 2 2 ab 4 abb 2 ( ab ) 2 4 abVP 
Vậy đẳng thức được chứng minh. 
Cách 2: 
Biến đổi vế phải, ta có: (ab−+=−++=++=+= )2 4 aba 2 2 ab 4 abb 2 a 2 2 abb 2 ( ab ) 2 VT 
Vậy đẳng thức được chứng minh. 
Cách 3: Biến đổi cả hai vế về cùng một biểu thức: 
Biến đổi vế trái: (a+ b )2 = a 2 + 2 ab + b 2 
Biến đổi vế phải: (ab− )2 + 4 aba = 2 − 2 ab + 4 abb + 2 = a 2 + 2 abb + 2 
Vế phải = Vế trái. Vậy đẳng thức được chứng minh. 
Ví dụ 6.3. Cho a + b + c =2p 
Chứng minh rằng ()()()p− a2 + p − b 2 + p − c 2 + p 2 = a 2 + b 2 + c 2 
Giải: Ta có: (p− a )2 = p 2 − 2 ap + a 2 (1), 
 (p− b )2 = p 2 − 2 bp + b 2 (2), 
 (p− c )2 = p 2 − 2 cp + c 2 (3) 
Cộng vế với vế của (1), (2), và (3), ta có: 
 8/15 
 2 2 2
Ví dụ 7.3. Cho D=( x + y ) + ( x + 1) + ( y − x ) với x, y R . Tìm Dmin. 
 Dx=2 +2 xyyx + 2 + 2 + 2 x + 1 + y 2 − 2 xyx + 2
 D =3 x22 + 2 y + 2 x + 1
 1 1 2
 D =( 3 x )22 + 2 3 x . + + 2 y +
 3 33
 12
 D =( 3 x + )22 + 2 y +
 3 3
 1 2
Vì ( 3x+ )22 0  x R ,2 y 0  y R , do đó D  x, y R 
 3 3
 2 1 2 2 −1
Suy ra: Dmin= khi ( 3x += ) 0 và 2y= 0 x = , y = 0 
 3 3 3
 −1
Vậy Dmin= khi xy==,0 
 3
II.7.2. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức có dạng phân thức 
II.7.2.1. Phân thức có tử số là một hằng số, mẫu số là một đa thức bậc hai (hoặc 
ngược lại) 
 2
Ví dụ 7.4. Tìm giá trị lớn nhất của phân thức A = 
 xx2 −+1
 22
Giải: Ta thấy A == 
 2 13
 xx−+1 ()x −+2
 24
 1 3 3
Vì ()x −2 + với mọi x, nên A luôn luôn có dạng một phân số dương, tử số là 
 2 4 4
 2 8 1
hằng số nên A lớn nhất khi mẫu số nhỏ nhất. Vậy Amax = = x = . 
 3 32
 4
II.7.2.2. Phân thức có tử là một đa thức bậc hai, còn mẫu thức là bình phương 
của một nhị thức 
 xx2 ++1
Ví dụ 7.5. Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức A = 
 (x − 1)2
 x22−21333(1)3(1)3 x + + x − + x − + x − + 3 3
Với mọi x 1, ta có A = = =1 + + 
 (x− 1)2 ( x − 1) 2 x − 1 ( x − 1) 2
 1 1 1 1 1
Đặt = y khi đó: A=3 y2 + 3 y + 1 A =3[( y22 + y + ) − ] + 1 = 3( y + ) + 
 x −1 4 4 2 4
 1 1 1 1
Vậy Amin= y = − hay = − x = −1 (TMĐK đề bài) 
 4 4x − 1 2
 10/15 
 Kiến thức hỗ trợ: 
1.Một số tính chất của bất đẳng thức 
 a b b a a b, b c a c 
 ab  ab 
  a + c b + d  ac bc 
 cd  c 0
 ab  ab 0
  ac bc  ac bd 
 cd  cd 0
2. Một số hằng bất đẳng thức 
 aa22 0; − 0xảy ra đẳng thức khi a = 0 a 0 xảy ra đẳng thức khi a = 0 
 3. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 
 3.1. Dùng định nghĩa: 
 Để chứng minh A > B, ta xét hiệu A – B và chứng minh A – B > 0 
 3.2. Dùng các phép biển đổi tương đương: 
 Để chứng minh A > B ta biến đổi tương đương: 
 a b a1 b 1 a 2 b 2 ann b . Trong đó bất đẳng thức An>Bn luôn đúng, do 
quá trình biến đổi là tương đương nên ta suy ra A>B là đúng. 
 3.3. Dùng bất đẳng thức phụ: 
* Khai thác bài toán: 
Nhận xét 1: Nếu tiếp tục áp dụng bất đẳng thức (1) và tang số mũ của biến, ta thu 
 2
 1
 8 8 2 
 (ab+ )128 1
được các kết quả như: ab16+ 16 =  
 2 2 215
Tổng quát, ta có bài toán sau: 
 1
Bài toán 1.1. Cho a + b = 1. Chứng minh rằng ab22nn+ 
 221n−
Để giải bài toán 1.1., ta áp dụng phương pháp quy nạp toán học và làm tương tự bài 
toán 1. 
Nhận xét 2: Tiếp tục khái quát bài toán 1.1, khi thay giả thiết a + b = 1 bởi giải thiết 
 k n
a + b = k, làm tương tự như trên ta có ab22nn+ 
 221n−
Vậy, ta có bài toán 1.2. như sau 
Bài toán 1.2. Cho a + b = k. Chứng minh rằng 
 12/15