SKKN Phương pháp giải một số dạng toán về sự tương giao của đường thẳng và Parabol

 ỦY BAN NHÂN DÂN HUYỆN ĐAN PHƯỢNG
 TRƯỜNG THCS LƯƠNG THẾ VINH
 ––––––––––––––––––––
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 “PHƯƠNG PHÁP 
GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO 
 CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL”
 Môn: Toán
 Cấp học: Trung học cơ sở
 Tác giả: Nguyễn Thị Ngọc
 Đơn vị công tác: Trường THCS Lương Thế Vinh
 Thị trấn Phùng - Huyện Đan Phượng
 Chức vụ : Giáo viên
 NĂM HỌC: 2022 – 2023 2/15
 Trước khi thực hiện đề tài
 Số lượng Tỉ lệ %
 Giỏi 1 2,2
 Khá 5 11,2
 Trung bình 25 55,6
 Dưới trung bình 14 31
 - Lớp 9D Năm học 2021 -2022 
 Tổng số học sinh: 43
 Trước khi thực hiện đề tài
 Số lượng Tỉ lệ %
 Giỏi 0 0
 Khá 6 13,9
 Trung bình 23 53,5
 Dưới trung bình 14 32,6
 PHẦN B: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Tên sáng kiến kinh nghiệm: “ Phương pháp giải một số dạng toán về sự tươ
ng giao của đường thẳng và Parabol” 
1. Giới thiệu
- Bài toán về “sự tương giao của đường thẳng và Parabol” là một bài toán thuộc 
phần hàm số và đồ thị. Đây là loại bài tập được học sinh đánh giá là khó nhất 
trong các bài tập về hàm số và đồ thị. Bài tập dạng này khó giải do khó tìm ra mối 
quan hệ tương ứng giữa bài toán về “sự tương giao của đường thẳng và Parabol” 
với bài toán về phương trình bậc hai .
- Để giải tốt dạng toán này quá trình thực hiện cần chú ý một số vấn đề sau:
 + Cần phải đọc kĩ và hiểu rõ đề bài.
 + Cần hiểu rõ số lượng giao điểm của đường thẳng và Parabol chính là số 
nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa đường thẳng và Parabol. Tính 
chất về hai nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm sẽ quyết định đến đặc 
điểm tọa độ giao điểm giữa đường thẳng và Parabol. 4/15
* Muốn giải đúng bài toán về “sự tương giao của đường thẳng và Parabol” cần 
chú ý đến các kiến thức về phương trình bậc hai một ẩn như:
- Cách giải phương trình bậc hai một ẩn: Công thức nghiệm, công thức nghiệm 
thu gọn, nhẩm nghiệm.
- Điều kiện để phương trình bậc hai một ẩn vô nghiệm, có nghiệm kép, có hai 
nghiệm phân biệt.
- Định lý Vi – ét và Các bài toán về hệ thức Vi ét.
3. Một số dạng bài tập về “sự tương giao của đường thẳng và Parabol”
3.1. Dạng 1. Xác định tọa độ giao điểm giữa đường thẳng và Parabol
a. Phương pháp giải.
Tọa độ giao điểm của đường thẳng (d): y bx c và Parabol (P): y ax2 a 0 
được xác định như sau:
- Bước 1. Xác định hoành độ giao điểm:
+ Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm của phương 
trình: ax2 bx c ax2 bx c 0 (1) ( PT hoành độ giao điểm).
+ Giải phương trình 1 sẽ tìm ra hoành độ giao điểm
- Bước 2. Xác định tung độ giao điểm:
Thay giá trị hoành độ giao điểm tìm được ở bước 1 vào (d) hoặc (P) tìm ra tung 
độ giao điểm tương ứng.
- Bước 3: Kết luận tọa độ giao điểm tìm được.
b. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) trong các 
trường hợp sau:
a. Đường thẳng (d): y 2x 3 và parabol (P): y x2 .
b. Cho đường thẳng (d): y 4x 4 và parabol (P): y x2 .
c. Cho đường thẳng (d): y x 5 và parabol (P): y 2x2 .
Giải: a. Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm của 
phương trình: x2 2x 3 x2 2x 3 0 (1) a 1;b 2;c 3 
Ta có a b c 1 2 ( 3) 0
 Phương trình (1) có hai nghiệm: x1 1; x2 3
 2
+ Với x1 1 y1 1 1 
 2
+ Với x2 3 y2 3 9
Vậy đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm có tọa độ là: 1;1 và 3;9 .
b. Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm của phương 
trình: x 2 4x 4 x 2 4x 4 0 (1) 6/15
 b) (d) tiếp xúc (P) tại một điểm.
 c) (d) và (P) không giao nhau.
Giải: Hoành độ giao điểm của đường thẳng và Parabol là nghiệm của phương 
trình: x2 2 m 1 x m2 9 x2 2 m 1 x m2 9 0 (1) 
 a 1 0;b 2 m 1 ;b' m 1 ;c m2 9 
 2 2 2 2 2
 Có ' b' ac m 1 1. m 9 m 2m 1 m 9 2m 8
 a) Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt 
 PT (1) có hai nghiệm phân biệt ' 0 2m 8 0 2m 8 
 m 4
Vậy với m 4 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
 b) Để (d) Tiếp xúc (P) Phương trình (1) có nghiệm kép
 ' 0 2m 8 0 2m 8 m 4
Vậy với m 4 thì (d) tiếp xúc (P) tại một điểm
c) (d) không cắt (P) Phương trình (1) vô nghiệm 
 ' 0 2m 8 0 2m 8 m 4
Vậy với m 4 thì (d) không cắt (P).
c. Bài tập tự luyện.
 Cho Cho parapol (P): y x2 và đường thẳng (d): y 2x 2m 1
a) Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. 
b) Tìm m để (P) và (d) tiếp xúc nhau. Xác định tọa độ tiếp điểm.
c) Tìm m để (P) và (d) không giao nhau.
3.3. Dạng 3. Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng và Parabol cắt nhau 
tại hai điểm phân biệt có hoành độ giao điểm thỏa mãn điều kiện về dấu.
a. Phương pháp giải:
Giả sử đường thẳng (d): y bx c và Parabol (P): y ax2 a 0 
- Bước 1: Xét PT hoành độ giao điểm của (d) và (P):
 ax2 bx c ax2 bx c 0 (1) Và xác định hệ số a, b, c
- Bước 2: Tính ' 
- Bước 3: Tìm điều kiện của tham số để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân
 biệt x1; x2 .
 PT (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 ' 0 điều kiện (*)
 b
 x x 
 1 2 a
- Bước 4: Viết hệ thức Viet 
 c
 x  x 
 1 2 a 8/15
 a) Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt cùng nằm về một phía so với trục tung 
 PT (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu 
 x1.x2 0 m 1 0 m 1
 5
Kết hợp điều kiện (*) ta có m 1 
 4
Ta thấy x1 x2 3 0 nên hai giao điểm của (d) và (P) nằm phía bên phải Oy.
 5
Vậy với m 1 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt cùng nằm về một phía so 
 4
với trục tung. Khi đó hai giao điểm nằm ở phía bên phải so với trục tung.
b) Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt cùng nằm về hai phía khác nhau so với 
trục tung PT (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu x1.x2 0 .
Ta có: x1.x2 0 m 1 0 m 1 (thỏa mãn (*))
Vậy với m > 1 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt cùng nằm về hai phía khác 
nhau so với trục tung.
Ngoài cách trình bày trên, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh cách trình bày 
khác.
c. Bài tập tự luyện. Cho parabol (P): y x2 và đường thẳng (d) có phương trình: 
 y 2 m 1 x 3m 2. Tìm m để:
a. (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ cùng dấu.
b. (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu.
c. (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt cùng nằm về phía bên phải so với trục tung. 
d. (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt cùng nằm về phía bên trái so với trục tung.
3.4. Dạng 4. Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng và Parabol cắt nhau 
tại hai điểm phân biệt có hoành độ, tung độ giao điểm thỏa mãn điều kiện cho 
trước.
a. Phương pháp giải:
 Giả sử đường thẳng (d): y bx c và Parabol (P): y ax2 a 0 
- Bước 1: Xét PT hoành độ giao điểm của (d) và (P):
 ax2 bx c ax2 bx c 0 (1) Và xác định hệ số a, b, c
- Bước 2: Tính ' 
- Bước 3: Tìm điều kiện của tham số để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt 
 x1; x2 . PT(1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 ' 0 điều kiện *
 b
 x x 
 1 2 a
- Bước 4: Viết hệ thức Viet 
 c
 x  x 
 1 2 a 10/15
Ta có: m 2 4.1. 5 m 2 20 0 với mọi m.
 pt (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m
 đường thẳng (d) cắt parabol (P): y x2 tại hai điểm phân biệt có hoành độ
 lần lượt là x1, x2 ( với x1 x2 ) .
 x1 x2 m
Theo định lý Vi et ta có: 
 x1x2 5
 2 2 2 2
Theo đề bài: x1 x2 x1 x2 x1 x2 0 x1 x2 x1 x2 0
 x1 x2 0 ( vì x1 x2 x1 x2 0 ).
 m 0 . Vậy m < 0.
Cách 2: Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) : 
 x2 mx 5 x2 mx 5 0 (1) a 1 0;b m;c 5 
Ta có: a.c 1. 5 5 0 với mọi m
 pt (1) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu x1, x2 (với x1 x2 ) với mọi m
 đường thẳng (d) cắt parabol (P): y x2 tại hai điểm phân biệt có hoành độ 
lần lượt là x1, x2 ( với x1 x2 ) .
Vì x1, x2 trái dấu (với x1 x2 ) x1 0 x2 x1 x1 và x2 x2
 x1 x2 m
Theo định lý Viet ta có: 
 x1x2 5
 Ta có : x1 x2 x1 x2 x1 x2 0 m 0. Vậy m < 0
Ví dụ 3. (Đề thi vào lớp 10 THPT, thành phố Hà Nội năm học 2021 -2022)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho Parabol (P): y x2 và đường thẳng
 (d): y 2x m 2 . Tìm tất cả giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt 
có hoành độ x1; x2 sao cho x1 x2 2 .
Giải: + Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P):
 x2 2x m 2 x2 2x m 2 0 (1)
 a 1 0;b 2;b' 1;c m 2 
+ Có ' b' 2 ac 1 2 1. m 2 m 1 12/15
Bài 3: Cho (P): y x2 và đường thẳng (d): y mx 4 . Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 
điểm phân biệt A(x1; y1);B(x2; y2 ) sao cho x1; x2 thỏa mãn 2x1 x2 2 .
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) : y m 2 x 3
và parabol (P): y x2 .
 a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
 b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai 
 điểm phân biệt có hoành độ là các số nguyên.
3.5 Dạng 5: Bài toán có liên quan đến độ dài đoạn thẳng, diện tích tam giác.
a. Phương pháp giải
 Dạng bài (d), (P) không chứa tham số m: Nếu bài yêu cầu tính chu vi, 
 diện tích của tam giác, tứ giác ta cần:
 - Xác định tọa độ các đỉnh của hình
 - Dựa trên hệ tọa độ, tính độ dài các cạnh
 - Dùng công thức tính chu vi, diện tích các hình.
 Dạng bài (d), (P) chứa tham số m
 - Lập phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P). Tìm điều kiện của m 
 để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
 - Áp dụng hệ thức Vi – et vào pt hoành độ giao điểm ;
 - Xác định tọa đô các điểm liên quan theo các hoành độ giao điểm
 - Vận dụng công thức tính chu vi, diện tích các hình. Kết hợp điều kiện bài 
 toán và giải tìm m.
 ➢ Chú ý: 
 Nếu A Ox OA xA ;B Ox OB xB . Khi đó, AB xB xA
 Nếu A; B Ox thì hướng dẫn HS xây dựng tính AB qua Đ.L Pitago
 2 2
 AB (xB xA ) (yB yA )
b. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d): y x 2 và 
(P): y x2 . Gọi A, B là giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác ABC.
HD Giải: - Xác định tọa độ giao điểm của (d) và (P) : A 1;1 và B 2;4 
Gọi M (d)  Oy M (0;2) OM yM 2 
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên Oy nên H 0;1 và K 0;4 
 AH xA 1;BK xB 2;OH yH 1;OK yK 4
Có HM OM OH 1;KM OK OM 2
Ta có: