SKKN Sử dụng hằng đẳng thức và hệ thức Vi-ét đảo rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai

 UỶ BAN NHÂN DÂN HUYỆN ĐAN PHƯỢNG
 TRƯỜNG THCS LƯƠNG THẾ VINH
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ HỆ THỨC VI- ÉT ĐẢO
 RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
 Lĩnh vực/ Môn: Toán
 Cấp học: THCS
 Tên Tác giả: Nguyễn Thị Lộc.
 Đơn vị công tác: Trường THCS Lương Thế Vinh.
 Chức vụ: Giáo viên.
 NĂM HỌC 2021-2022 2/15
2) Cơ sở thực tiễn của vấn đề:
 Cái khó ở đây là các em học bảy hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 8 viết dưới 
dạng biểu thức chứa chữ, không có chứa căn, mà ở lớp 9 bài tập rút gọn biểu 
thức thường cho dưới dạng căn thức bậc hai có liên quan đến bảy hằng đẳng 
thức đáng nhớ đã học ở lớp 8. Chính vì vậy một số em còn yếu không nhận thấy 
được ở điểm này nên không làm được bài tập rút gọn. Vì vậy ta phải làm sao 
cho học sinh nhận thấy được mối quan hệ qua lại giữa hằng đẳng thức đáng nhớ 
ở lớp 8 và hằng đẳng thức lớp 9 để các em có thể tự mình phát hiện và vận dụng 
nó vào việc giải bài tập. 
 Để khắc phục vấn đề đã nêu ở trên, ta cần cho học sinh học kỹ bảy hằng 
đẳng thức đã học ở lớp 8 (theo thứ tự):
 1) Bình phương một tổng : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
 2) Bình phương một hiệu : (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
 3) Hiệu hai bình phương : a2 – b2 = (a + b).(a – b)
 4) Lập phương một tổng : (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
 5) Lập phương một hiệu : (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
 6) Tổng hai lập phương : a3 + b3 = (a + b).(a2 - ab + b2)
 7) Hiệu hai lập phương : a3 - b3 = (a - b).(a2 + ab + b2)
Biết vận dụng nó để đưa ra những hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 9 (theo thứ 
tự) viết dưới dạng có dấu căn :
 2
1) a b a 2 ab b
 2
 2) a 1 a 2 a 1
 2 2
 3) a b a b a b . a b 
 3 3
 4) a a b b a b ( a b). a ab b 
 3
 5)1 a a 1 3 a (1 a). 1 a a 
 6) a b b a ab( a b)
 7) a a a( a 1)
*Chú ý : 
+ a ; b > 0
+ Hằng đẳng thức số 4; 5 ở lớp 8 ít được sử dụng ở lớp 9, nên tôi không đưa vào 
phần ghi nhớ ở lớp 9.
 Khi làm được điều này học sinh sẽ có căn cứ để giải bài tập rút gọn biểu 
thức có chứa căn thức bậc hai .
3) Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề: Trong phần này tôi sẽ 
trình bày hai nội dung chính : 4/15
 1 1 a 1
 M : Voi a 0 va a 1
 a a a 1 a 2 a 1
 2
Nhận xét : a a a( a 1) ; a 2 a 1 a 1 có dạng là hằng đẳng thức.
Áp dụng vào bài toán:
 Giải
 1 1 a 1 1 1 a 1
 M : : 2
 a a a 1 a 2 a 1 a a 1 a 1 
 a 1 
 2
 a 1
 1 a a 1 1 a 
 M : 2 .
 a a 1 a a 1 a 1
 a 1 
 a 1 1
 M 1 1 Vi a 0
 a a
Bài 75 (sgk trang 41): Chứng minh các đẳng thức sau
 a b b a 1
 c) : a b Voi a,b 0 ;a b
 ab a b
 a a a a 
 d) 1 . 1 1 a voi a 0 va a 1
 a 1 a 1 
Nhận xét : Hai câu trên gồm có các hđt số 6 & 7 lớp 9 :
 a b b a ab a b 
 a a a a 1 
 Áp dụng vào bài toán, ta biến đổi vế trái còn gặp thêm dạng hđt số 3 lớp 8 :
 Giải 
 a b b a 1 ab a b 2 2
 c)VT : . a b a b a b VP ðpcm
 ab a b ab
 a a a a a a 1 a a 1 
 d)VT 1 . 1 1 . 1 
 a 1 a 1 a 1 a 1 
 2
 1 a . 1 a 12 a 1 a VP ðpcm
Bài 76 (gk trang 41): Cho biểu thức
 a a b
 Q 1 : voi a b 0
 a2 b2 a2 b2 a a2 b2
 a) Rút gọn Q 
 b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b
Nhận xét : Bài toán cho có dạng hđt số 3 lớp 8 . Áp dụng vào bài toán ta rút gọn 
câu a: 6/15
 Giải
 1 1 a 1 a 2 
 a)Q : 
 a 1 a a 2 a 1 
 1 a 1 a 4 1 a 2 a 1 a 2 
 Q : . 
 a a 1 a 2 a 1 a a 1 3 3 a
 a 2 
 b) Q 0 0 vi 3 a 0(a 0) a 2 0 a 2 a 4
 3 a
Bài 105 (sbt trang 20): Chứng minh các đẳng thức (với a,b không âm và 
 a b )
 a b a b 2b 2 b
 a) 
 2 a 2 b 2 a 2 b b a a b
 2
 a a b b a b 
 b) ab 1
 a b a b 
 Nhận xét: Bài toán cho dưới dạng hằng đẳng thức số 3 và 4 lớp 9 kết hợp với 
 quy tắc đổi dấu. Áp dụng vào bài toán, biến đổi vế trái:
 Giải
 a b a b 2b a b a b 2b
 a)VT 
 2 a 2 b 2 a 2 b b a 2( a b) 2( a b) a b
 2 2
 a b a b 4b (a 2 ab b) (a 2 ab b) 4b
 2 a b 2 a b 
 4 ab 4b 4 b a b 2 b
 VP ðpcm
 2 a b 2 a b a b a b 
 2
 a a b b a b 
 b)VT ab 
 a b a b 
 2
 a b a ab b a b
 ab 
 a b a b a b 
 2
 1 2 1
 a 2 ab b a b . 1 VP ðpcm
 2
 a b a b 
Bài 106 (sbt trang 20): Cho biểu thức :
 2
 a b 4 ab a b b a
 A 
 a b ab
 a) Tìm điều kiện để A có nghĩa 
 b) Khi A có nghĩa . Chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a 
Nhận xét : Bài toán cho dưới dạng hằng đẳng thức sau : 8/15
Bài 108 (sbt trang 20): Cho biểu thức :
 x x 9 3 x 1 1 
 C : voi x 0 ; x 9
 3 x 9 x x 3 x x 
 a) Rút gọn C
 b) Tìm x sao cho C < -1
Nhận xét : Bài toán cho gồm có các hằng đẳng thức sau : 
 9 x 3 x 3 x 
 Áp dụng vào bài toán ta có :
 x 3 x x x 3 
 Giải 
 x x 9 3 x 1 1 
 a)C : 
 3 x 9 x x 3 x x 
 x x 9 3 x 1 1
 C : 
 3 x 3 x 3 x x x 3 x 
 x 3 x x 9 3 x 1 x 3 3 x x x 9 3 x 1 x 3
 C : : 
 3 x 3 x x x 3 3 x 3 x x x 3 
 3 x 3 2 x 4 3 x x 3 
 C : . 
 3 x 3 x x x 3 3 x 2 x 2 
 3 x x 3 3 x
 C . 
 x 3 2 x 2 2 x 2
 3 x 3 x 3 x 2 x 2 
 b) C 1 1 1 0 0
 2 x 2 2 x 2 2 x 2 
 4 x
 0 Vi 2 x 2 0 ( x 0) nên : 4 x 0 x 16
 2 x 2 
Bài 5 (sbt trang 148): Rút gọn :
 x x y y 2
 P x y voi x 0 ; y 0 ; x2 y2 0
 x y
Nhận xét : bài toán có hđt sau : x x y y x y x xy y . Áp dụng vào 
bài toán 
 Giải 
 x x y y 2 x y x xy y 
 P x y x 2 xy y 
 x y x y
 P x xy y x 2 xy y x xy y x 2 xy y xy 10/15
Nhận xét : bài toán cho có hằng đẳng thức :
 a b a b a b Áp dụng vào bài toán ta có :
 Giải 
 2 2
 a b a b 4b a b a b 4b
 a b a b a b a b a b 
 a 2 ab b a 2 ab b 4b 2a 2b 2 a b 
 2
 a b a b a b a b a b
Bài 2 : Cho biểu thức 
 a a a a 
 P 2 2 
 1 1 a 
 a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
 b) Trong điều kiện đó, hãy rút gọn P. 
Nhận xét : Bài toán cho có hđt : a a a( a 1) . Áp dụng vào bài toán ta có :
 Giải 
 a a a a 
 P 2 2 
 a 1 1 a 
 a) ĐK : a 0 ;a 1
 a a a a 
 b) P 2 2 
 a 1 1 a 
 a a 1 a 1 a 2
 P 2 2 a 2 2 a 22 a 4 a
 a 1 1 a 
Bài 3: Cho biểu thức 
 x 1 2 x 
 P 1 : voi x 0 ; x 1
 x 1 x 1 x x x x 1 
 a) Rút gọn P
 b) Tìm các giá trị của x sao cho P < 1
 c) Tính giá trị của P nếu x 2002 2 2001
Nhận xét : Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử rồi quy đồng mẫu thức ta sẽ 
có hđt dạng số 2 lớp 9:
Giải
 x 1 2 x x 1 x 1 2 x 
 a)P 1 : : 
 x 1 x 1 x x x x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 12/15
Chú ý : 
+ Để tìm hai số có tổng là S và tích là P ta sử dụng định lí sau :
" Nếu hai số a & b có tổng là S và tích là P thì hai số đó là nghiệm của phương 
trình bậc hai : X2 – SX + P = 0 " . Điều kiện tồn tại hai số a & b là : S 2 4P 0. 
Có thể cho học sinh giải nhẩm hoặc gặp trường hợp khó thì dùng máy tính casio 
fx-570 để giải phương trình bậc hai tìm hai số a & b cho nhanh .
+ Khi viết dưới dạng bình phương một hiệu ta nên viết hiệu đó có giá trị dương 
(số bị trừ lớn hơn số trừ) để khi khai phương, khỏi phải dùng dấu giá trị tuyệt 
đối. 
 Áp dụng các bước trên vào ví dụ, ta có lời giải sau :
 Giải
 4 2 3 4 2 3 3 2 3.1 1 3 2 3.1 1
 2 2 2 2
 3 2 3 12 3 2 3 12 3 1 3 1 
 3 1 3 1 2 3
Ví dụ 2 : bài tập 15 (sbt trang 5, tập 1): Chứng minh 
 a) 9 4 5 5 2 b) 23 8 7 7 4
Nhận xét : Trước dấu căn nhỏ của cả hai biểu thức dưới dấu căn lớn có thừa số 
đều khác 2 ( 4 5 & 8 7 ), vì vậy ta phải biến đổi chúng như sau ( dùng phương 
pháp đưa thừa số vào trong dấu căn ): 
Bước 1 :
 a) 9 4 5 9 2.2 5 9 2. 4.5 9 2. 20
 b) 23 8 7 23 2.4 7 23 2. 16.7 23 2. 112
Bước 2 : 
a) Tìm hai số biết tổng bằng 9 , tích bằng 20 => hai số đó là: 5 và 4 (dùng máy 
tính casio fx-500 giải phương trình : x2 9x 20 0 )
b) Tìm hai số biết tổng bằng 23 , tích bằng 112 => hai số đó là: 16 và 7
Bước 3 : Lấy căn bậc hai của từng số vừa tìm được rồi viết chúng dưới dạng 
bình phương một tổng hoặc một hiệu (Tùy theo dấu cộng hoặc trừ của biểu thức 
dưới dấu căn lớn)
 Giải
 2
 a)VT 9 4 5 5 5 2 5.4 4 5 5 4 5 5 2 5 2 VP ðpcm
 2
b)VT 23 8 7 7 16 2 16.7 7 7 16 7 7 4 7 7 4 VP ðpcm
Ví dụ 3 : Chứng minh đẳng thức (bài 98 sbt trang 18 tập 1)
 2 3 2 3 6